特训01 二次函数压轴题 Ⅰ（图像与性质+代数应用）-2025-2026学年九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训01 二次函数压轴题 Ⅰ（图像与性质+代数应用） 目录： 题型1：二次函数与一元二次方程 题型2：根据条件比较函数值的大小 题型3：二次函数的图像与性质综合辨析 题型4：双变量问题——比较大小 题型5：双变量问题——求参数范围 题型6：新定义题 题型7：交点问题及其应用 题型8：自变量的取值范围含参数问题 题型9：平移问题 题型10：旋转+翻折问题 题型11：二次函数的其他综合应用 题型1：二次函数与一元二次方程 1．已知抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ．若关于x的一元二次方程 有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与 轴及常函数 直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数 ，通过抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ．可以画出大致图象判断出直线 ，观察图象当 时，抛物线始终与 轴相交于 与 ．故自变量 的取值范围为 ．所以 可以取得整数 ，1，2共3个．由于 与 关于对称轴直线 对称，所以 与 对应一条平行于 轴的直线，， 时对应一条平行于 轴且过抛物线顶点的直线，从而确定 时， 的值应有2个． 【详解】解： 抛物线 的对称轴为直线 ， ，解得 ． 又 抛物线 与 轴的一个交点为 ， 把 代入 得， ， 解得： ． ． 对称轴 ，最大值 ． 如图所示， 顶点坐标为 ， 令 ， 即 ， 解得 或 ． 当 时，抛物线始终与 轴交于 与 ， ． 即常函数直线 ，由 ， ， 由图象得当 时， ，其中 为整数时， ，1，2． 一元二次方程 的整数解有3个． 又 与 关于直线 轴对称， 当 时，直线 恰好过抛物线顶点， 所以 值可以有2个． 故选：B． 2．已知抛物线 开口向下，过 ， 两点，且 ．甲同学认为：若点 ， 在抛物线上， ，且 ，则 ．乙同学认为：当 时，关于x的一元二次方程 必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意得， ， ，由点 ， 在抛物线上，可得 ，根据 ，可判断甲的正误；令 ，整理得， ，根据 ，可判断乙的正误．                【详解】解：∵抛物线 开口向下，过 ， 两点， ∴ ， ， ∵点 ， 在抛物线上， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ，甲正确，故符合要求； 令 ， 整理得， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴关于x的一元二次方程 必有两个不相等的实数根，乙正确，故符合要求； 故选：A．                      题型2：根据条件比较函数值的大小 3．已知二次函数 ，则下列结论正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】本题二次函数的图象与性质、二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点问题，理解并灵活运用相关知识是解答的关键．先构造差函数 ，再根据二次函数图象与性质，以及对应图象与x轴的交点问题求解即可． 【详解】解：设函数 ， 要使 ，只需 恒成立， 当 即 时，函数 是一次函数，显然 不恒成立， 当 即 时，二次函数y的图象开口向下， ∴ 不恒成立，故选项C、D不符合题意； ∴只需 ，且 恒成立， 当 时，满足 ，但b值不确定，当b很大时， 可能大于0，故选项A不符合题意； 当 时，满足 ， ， ∴ 恒成立，故选项B符合题意， 故选：B． 4．已知二次函数 （其中 ， ， 是常数，且 ）的图象过点 ， ， （　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及通过不等式的性质确定式子的范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由 与 轴的交点坐标为 ，又因为图象过 ，根据抛物线的对称性求得对称轴为 ，得到 ，将 ， 代入二次函数，得到 ， ，从而得到 ， ，通过 的范围，推出 的范围以及 的范围，从而推出 的范围． 【详解】将 代入 得到 ， 与 轴交点为 ， 又 该图像过 ， 抛物线的对称轴为直线 ， ， ， 将 ， 三个点代入二次函数，得 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 若 ，则 ， ， 若 ，则 ， 又 ， ， ． 故选：A． 题型3：二次函数的图像与性质综合辨析 5．如图，二次函数 的图象经过点 ，且与 轴交点的横坐标分别为 ， ，其中 ， ，顶点纵坐标大于 ．下列结论： EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 ； 若 ， （ ）是方程 的两个根，则 ， ．其中正确的结论有（   ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 轴交点情况可以判断 ，根据抛物线顶点纵坐标大于 ，可以判断 ，二次函数 的图象经过点 ，再根据图象当 时 可以判断 ，由 得 ，即函数 与 的交点，可以判断 ，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴ ， ∵抛物线交 轴于正半轴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故 正确， ∵顶点纵坐标大于 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故 正确； ∵二次函数 的图象经过点 ， ∴ ， ∴ ， 根据图象可知：当 时， ， ∴ ，故 正确； 由 得： ， 即函数 与 的交点， 如图， ∴ ， ，故 正确， 综上可知： 正确，共 个， 故选： ． 6．二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为 ，有下列结论： ① ②经过 两点的直线一定不经过第三象限 ③若方程 有两个根 ，且 ，则一定满足 ④若方程 有四个根，且这四个根的和为 其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴抛物线的解析式为 ， ∵抛物线开口向上， ∴ ，故①正确， ∴ ， ， ∴ 在 正半轴， 在第二象限 ∴经过 两点的直线一定不经过第三象限，故②正确， 由 ，当 时， 解得： ∴抛物线 交x轴于 ， ， ∴若方程 有两个根 ，且 ，则 ，正确，故③正确， 若方程 有四个根，设方程 的两根分别为 ， 则 ，可得 ， 设方程 的两根分别为 ， 则 ，可得 ， 所以这四个根的和为 ，故④错误， 故选：C． 7．已知 ，则下列说法正确的个数是（   ） ①若 的解集是 ，则 ； ②若 ，则二次函数 的图象与 轴始终有2个交点； ③若 ，则 的解集是 ； ④若二次函数 的图象上有两个点分别为 ，则方程 的一个解为 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 是常数， 与 轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． ①根据 的解集，找到函数图象与 轴的交点，将两个交点代入函数表达式，求得 的值；②判断函数图象与 轴的交点个数应判断 的正负性，根据 ，计算 ，因为 ，所以图象与 轴始终有两个交点；③将 代入函数表达式，整理表达式可得，当 时，并不能确定函数的正负性，所以并不符合题意；④将已知点代入函数表达式，求得函数表达式，将 代入，可以发现此时 ，所以并不符合题意． 【详解】解：①若 的解集是 ，则抛物线 的开口应向下，且与 轴的交点为 ， ∴函数可写作： ， ∴即 ， ∴解得： ；故①符合题意； ②若 ，则 ， ， ∴二次函数 的图象与 轴始终有2个交点，故②符合题意； ③若 ，则函数表达式为： ， 整理可得： ， 当 时， 不能确定正负号，故③不符合题意； ④将 代入函数表达式，即 ，解得： ， 即函数表达式为： ， 将 代入，解得： ，故④不符合题意； 综上所述：符合题意的是：①②； 故选：B． 8．已知二次函数 （a为非零常数， ），当 时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①若 时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点 ，则 ；③若 ， 是函数图象上的两点，则 ；④若图象上两点 ， 对一切正数n，总有 ，则 ． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解： 二次函数 为非零常数， ， 当 时， ， ， ． 又 当 时， 随 的增大而增大， ，开口向下． 当 时， 随 的增大而减小，故①正确； 又 对称轴为直线 ， ， ． 若 ， 是函数图象上的两点，2023离对称轴近些， 又抛物线开口向下， 则 ，故③正确； 若图象上两点 ， 对一切正数 ，总有 ， ， 又该函数与 轴的两个交点为 ， ， ． 解得 ，故④错误； 二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大， ． 若图象经过点 ，则 ，得 ． ， ， ，故②错误； ①③正确；②④错误， 故选：B． 题型4：双变量问题——比较大小 9．已知点 均在二次函数 图像上，若 则（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】依据题意，由二次函数为 ，从而对称轴是直线x 1，又 在二次函数 上，且 ，故 ，则 为二次函数的顶点，进而结合二次函数的性质逐个判断可以得解． 【详解】解：由题意， ∵二次函数为 ， ∴对称轴是直线 ， 又∵ 在二次函数 上，且 ， ∴ ． ∴ 为二次函数的顶点． ∴当 时，点 到顶点的距离比 到顶点的距离小，则若 时，则 ；若 时，则 ，故选项A错误，不符合题意； 若 ，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得 ，故选项B正确，符合题意 当 时，点 到顶点的距离比 到顶点的距离大，则若 时，则 ；若 时，则 ，故选项C错误，不符合题意； 若 ，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得 ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 10．已知二次函数 的图象上有两点 ， ，其中 ，则（    ） A．若 ，当 ，则 B．若 ，当 ，则 C．若 ，当 ，则 D．若 ，当 ，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由二次函数的解析式求得对称轴为直线 ，然后判断 与 的大小，即可判断每个选项正误，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数 得， 当 时， ， 解得 ， ， ∴二次函数 经过点 ， ， ∴对称轴为直线 ， 、若 ，当 时， ∴ ， 则 ，故不符合题意； 、若 ，当 时， ∴ ， 则 ，故不符合题意； 、若 ，当 时， ∴ ， 则 ，故符合题意； 、若 ，当 ， ∴ ， 则 ，故不符合题意； 故选： ． 题型5：双变量问题——求参数范围 11．已知二次函数 （ 是常数）的图象经过 ． (1)当 时，求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象经过 ， ①在（1）的条件下，当 时， ，求 的值； ②若 ，恒有 ，求 的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求解； （2）①先求得 ，即 可得 ，再代入求解即可；②先得出抛物线开口向上，可得 时，恒有 ，从而得出对称轴 ，得出不等式 ，再求解即可． 【详解】（1）解： ， 点坐标为 ， 二次函数的图象经过 ， ， 解得 ， 二次函数的表达式是 ； （2）解：① 当 时， ， ， ， ， ② 抛物线开口向上， ，恒有 ， ∴点M到对称轴的距离大于点 N到对称轴的距离， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ，抛物线顶点的纵坐标为 ． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若将抛物线向右平移 个单位长度后，图象恰好经过点 ，求 的值． (3)只取抛物线在 间的部分记为 ，将 在直线 上方的部分沿 翻折， 的其余部分保持不变．得到的新图象记为 ．设 的最高点、最低点的纵坐标分别为 ，若 ，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握平移规则，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出对称轴，根据顶点的纵坐标为 ，得到 时的函数值为 ，进行求解即可； （2）根据平移规则，求出新的解析式，待定系数法求出 的值即可； （3）设图象折叠后 的对应点为 ，点H是 时，函数所处的位置，图象Q为 区域，分点 在点 下方或与M平齐，以及点 在点 上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴对称轴为直线 ， ∵抛物线顶点的纵坐标为 ， ∴当 时， ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ， ∴将抛物线向右平移 个单位长度后，得到 ， ∵平移后的图象恰好经过点 ， ∴ ， 解得： 或 ； （3）设图象折叠后 的对应点为 ，点H是 时，函数所处的位置，图象Q为 区域， ∵ ，当 时， ∴点 ，点 ， ∴点 ， 当点 在点 下方或与M平齐时，图象Q的最低点为 ，最高点为N， 则 ， ， 依题意得： ． 解得 ， 当点 在点 上方时，函数Q的最高点为点 ，最低点为 ， 则 ， ，依题意得： ． 解得： ． 综上所述： ． 13．在平面直角坐标系中，拋物线 存在两点 ． (1) ； (2)求证：不论 为何值，该函数的图象与 轴没有公共点； (3)若点 也是抛物线上的点，记抛物线在 之间的部分为图象 （包括 两点），记图形 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为 ，若 ，则 的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 或 【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出 的值，从而可得点 的坐标，再利用两点之间的距离公式计算即可得； （2）根据一元二次方程根的判别式可得关于 的一元二次方程 没有实数根，由此即可得证； （3）先求出 ， ，再设点 关于对称轴的对称点为点 ，则 ，分两种情况：① 和② ，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将 代入 得： ， 将 代入 得： ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． （2）证明：∵关于 的一元二次方程 的根的判别式为 ， ∴这个一元二次方程没有实数根， ∴不论 为何值，函数 的图象与 轴没有公共点． （3）解：由（1）已得： ， ∴ ， 将点 代入 得： ， ∴ ， 二次函数 化成顶点式为 ， ∴其对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， 设点 关于对称轴的对称点为点 ，则 ， ∴抛物线在 之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为 ． 则分以下两种情况： ①如图，当点 在点 左侧时， ，即 ， 此时在图形 内， 随 的增大而减小， ∴点 的纵坐标最大，点 的纵坐标最小， ∴ ，即 ， 令 ，则当 时， ，解得 或 ， ∴二次函数 与 轴的交点坐标为 和 ，抛物线的开口向上，其对称轴为直线 ， ∴不等式 的解集为 或 （不符合题设，舍去）， ∴此时 的取值范围是 ； ②如图，当点 在点 右侧时， ，即 ， 此时在图形 内，点 的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小， ∴ ，即 ， 令 ，则当 时， ，解得 或 ， ∴二次函数 与 轴的交点坐标为 和 ，抛物线的开口向上，其对称轴为直线 ， ∴不等式 的解集为 或 （不符合题设，舍去）， ∴此时 的取值范围是 ； 综上， 的取值范围是 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式、利用二次函数解不等式，二次函数与一元二次方程等知识，难度较大，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 题型6：新定义题 14．我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数 和 所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．将抛物线解析式配方得到顶点坐标，根据顶点到直线 之间整点数分类讨论，从而得到有四个和两个整点时的a值，根据讨论可以得到围成区域内整点数与a的关系，从而进行判断． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标为： ， ∴顶点所在直线为： ， ①当 时，顶点坐标为： ， 此时，抛物线对称轴与 的交点为： ， 联立抛物线与直线得： ， 解得： 或 ， ∵ ， ∴对称轴左侧没有整点， ∵ ， 当 时，抛物线函数值为4，直线函数值为5，抛物线和直线间没有整点， ∴直线与抛物线围成区域内没有整点； ②当 时，顶点坐标为： ， 此时，抛物线对称轴与 的交点为： ， ∴对称轴上有一个整点， 联立抛物线与直线： ，解得： 或2， 如图： 当 时，抛物线的函数值为2，直线的函数值为4， 此时，抛物线与直线围成区域内的整点有： 和 ，共两个， ③当 时，顶点坐标为： ， 联立抛物线与直线方程： ，解得： ， 如图： 此时，围成区域内的整点有 ， ， ， ，共四个整点； 结合①②③的情况可知，a越小，围成的区域内整点数越多， ∴要使围成的封闭图形内共有4个整点，需要 ． 故选：B． 15．定义：若二次函数 的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数 图象上的点 ， 都是 的不动点，若函数 在 的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． 或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质，函数图象的交点问题，函数与方程的关系，本题恰当地运用转化思想是解题关键．由不动点的定义可令 ，即求在 内函数 与函数 有两个不同交点，即 ，整理后即可转化为 与 在 内有两个不同交点的问题，又 恒过点 ，画出两个函数 与 的图象，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：由不动点的定义可令 ， 即求在 内函数 与函数 有两个不同交点， ， ①， 即可转化为 与 在 内有两个不同交点， 又 恒过点 ， 画出两个函数 与 的图象如图所示， 当 过点 时， ，可得 ，此时符合题意， 对①方程整理可得 ，令△ ， 即 ，从而可得 ， 解得： ，又此时 ， 故 ． 当 时，无法满足题意，即 与 在 内不能产生两个交点． 故 的范围为 ． 故选：D． 16．定义：若x，y满足且 ， ，且 （t为常数），则称点 为“和谐点”，若有一个函数满足 ，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，函数图象上点的坐标特征和二次函数的增减性，根据题意得出 ，① ②得 ，由 ，得出 ，整理得 ，由 且 ，得出 ． 【详解】解：∵双曲线 存在“和谐点”， ∴ ， ① ②得 ， ， ， ， 整理得 ， ，且 ， ， 故选：D． 17．已知 是 的函数，若存在实数 ， （ ），当 时，对应函数值 的取值范围是 ，则称 为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数 ，当 时，对应函数值 的取值范围是 ，则称 为函数 的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数 （ ）有无数个“君子数对”；② 是二次函数 的“君子数对”；③ 是二次函数 的“君子数对”；正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数及二次函数图象与性质，解题的关键是弄清楚“君子数对”的定义．根据“君子数对”的定义结合有关函数的图象与性质进行解答即可． 【详解】①当 时，对应函数值 的取值范围是 ， 则函数图象过点 或点 ， 对于反比例函数 （ ）， 当函数图象过点 时，则有两个点符合要求，即 此时有两个“君子数对”； 当函数图象过点 时，由于反比例函数 （ ）的图象关于直线 对称，而 也关于直线 对称，则有无数个点符合要求， 此时有无数个“君子数对”； 故①正确； ②当 时， ，当 时， ， 又 EMBED Equation.DSMT4 的对称轴是直线 ，且 ， 当 时， 随 的增大而减小，且 ， EMBED Equation.DSMT4 是二次函数 的“君子数对”， 故②正确； ③ ， 又 EMBED Equation.DSMT4 的对称轴是直线 ，且 ， 当 时，且 不是二次函数 的“君子数对”， 故③错误； 故选：D 题型7：交点问题及其应用 18．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数 在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线 与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线 与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) 或 【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 , 是常数, )与x轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.也考查了二次函数图象与几何变换． （1）解方程: 得 ， ，然后求出直线 经过点 时 的值和当直线 与抛物线 有唯一公共点时 的值，从而得到直线 与图象 恰好有 个交点时， 的值. （2）求出直线 经过点 时 的值，结合（1）的结果即可得到直线 与图象 恰好有 个交点时 的取值范围. 【详解】（1）如图，当 时， ， 解得 ， 则 ， ， 当直线 经过 时, ， 解得 ； 当直线 与抛物线 有唯一公共点时， 方程 有相等的实数解， 解得 ， 所以当直线 与图象 恰好有 个交点时， 或 ． （2）当直线 经过点 时, 解得 观察图象，若直线 与图象 恰好有 个交点时， 的取值范围为 或 ． 19．已知抛物线 与 轴交于点 ． (1)当 ， ，求该抛物线与 轴交点坐标； (2)若 ，点 在二次函数抛物线 的图象上，且 ，试求 的值； (3)若点 的坐标是 ，当 时，抛物线与 轴只有一个公共点，求 的取值范围． 【答案】(1) ； (2) 或 ； (3) 或 或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解． （1）①由 ， 可得抛物线解析式，令 求解． ②根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，求出 时 的值，进而求解． （2）由抛物线恒在 轴下方可得 ，由符合条件的整数 只有三个可得 的取值范围，进而求解． （3）由点 坐标求出 的值为1，求出直线 ，直线 与抛物线的交点坐标，分类讨论 ， 两种情况，列不等式组求解． 【详解】（1）当 ， 时， ， 令 ，则 ， 解得 ， ， 抛物线与 轴交点坐标为 ， ； （2） ， 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线 ， 将 代入 得 ， 抛物线经过 ， 由抛物线对称性可得抛物线经过 ， 时， 随 增大而减小， 时， 随 增大而增大，且 ， 或 ． （3） 点 的坐标是 ， ， ， 时，抛物线与 轴只有一个公共点， 当 时， ， 直线 与抛物线交点坐标为 ， 当 时， ， 直线 与抛物线交点坐标为 ， ①当 时，抛物线顶点在 轴上，满足题意， 解得 （舍 或 ． ②当 时，若点 在 轴上或 轴下方，点 在 轴上方满足题意， 则 ， 解得 ， ③当 时，若 在 轴上方，点 在 轴下方满足题意， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 ． 综上所述， 或 或 ． 20．在平面直角坐标系中，二次函数 （ 都是正整数）的图象与 轴有两个不同的交点 ．若 和 都大于1，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 的最小值是25 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与 轴的交点坐标问题，根据 都是正整数，得到抛物线的开口向上，对称轴在 轴的左侧，根据 和 都大于1，得到 ，得到对称轴在 的左侧，进而得到 ，当 时， ，根据二次函数与一元二次方程的关系，结合根与系数的关系，得到 ， ，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数 （ 都是正整数）的图象与 轴有两个不同的交点 ． ∴ 是 的两个实数根， ∵ 都是正整数， ∴ ， ，抛物线的开口向上，对称轴直线 在 轴的左侧， ∵ 和 都大于1， ∴ ， ， ∴对称轴在 的左侧， ， ∴ ， ，故B选项错误，符合题意； ∴ ，故A选项正确，不符合题意， ∴当 时， ， 则 ，故C选项正确，不符合题意； ∵ ， ∴ ， ∵ 都是正整数， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 都是正整数， ， ∴ 的最小值为1， 当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为5， ∵ ， ∴ 的最小值也为5， ∴ 的最小值为： ；故D选项正确，不符合题意； 故选B． 21．二次函数 的图象经过点 ，向左平移 个单位长度后得到新抛物线，直线 与新抛物线有两个交点 ， ，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由当 时， ，故图象过 ，又过 ，可得抛物线的对称轴是直线 ，再向左平移 个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线 ．，又直线 与新抛物线有两个交点 ， ，可得 ，结合抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，从而 的离新抛物线的对称轴比 离新抛物线的对称轴远，即 的中点在对称轴的左侧，进而可得 ，最后计算即可得解． 【详解】解：由题意， 当 时， ， 二次函数 的图象过 ， 又∵二次函数 的图象过 ， 抛物线的对称轴是直线 ， 向左平移 个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线 ， 直线 与新抛物线有两个交点 ， ， ， ， ， ， 又∵抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 的离新抛物线的对称轴比 离新抛物线的对称轴远， 的中点在对称轴的左侧， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 又∵ ， ． 故选：D． 22．设函数 的图象为图象 ，已知点 在该函数图象上，且点 的横坐标 ，纵坐标为 ． (1)若图象 的对称轴为直线 ，求其顶点坐标； (2)证明：若将图象 向下平移4个单位后得到图象 ，则图象 与 轴有交点； (3)设 为常数 ，当 时，图象 与 轴无交点，结合函数图象，求 的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移， （1）先求出解析式，把 代入即可求解顶点坐标； （2）先求出平移后图象 的解析式为 ，由 ，则图象 最低点在 轴上，或在 轴下方，而图象 开口向上，故将图象 向下平移4个单位后得到图象 ，则图象 与 轴有交点； （3）利用二次函数的性质结合图象分析即可． 【详解】（1）解：∵图象 的对称轴为直线 ，在 中的二次项系数 ， ， ， 此时图象 对应的解析式为 ， 把 代入解析式，得 ， 顶点坐标为 ； （2）证明： ． 将图象 向下平移4个单位后得到图象 ， 图象 的解析式为 ， 图象 顶点纵坐标为 ，且 ， 图象 最低点在 轴上，或在 轴下方． 又 图象 开口向上， 若将图象 向下平移4个单位后得到图象 ，则图象 与 轴有交点． （3）解：∵在 中的二次项系数 ， 对称轴为 ， 点 的横坐标 ， 点 为图象 对应的抛物线的顶点． ， ， 抛物线 开口向上， 当顶点 的纵坐标 时，图象 与 轴无交点． 点 的横坐标 ，将其代入 中， 得点 的纵坐标 ，化简得 ． 是关于 的二次函数，其图象是抛物线，记作图象 ，对称轴是纵轴，开口向下， 画图象如下： 令 ，得 ，解得 ， ， 图象 与 轴的两个交点分别为 ， ， 结合图象可知：当 时， ， 又 ， ， 的最大值为 ． 综上所述，当 时，图象 与 轴无交点，则 的最大值为 ． 题型8：自变量的取值范围含参数问题 23．已知二次函数 ．当 时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为 ， 和 三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵ 开口向下，顶点为 ，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当 时，当 时，y随的x增大而增大， 那么 时取得最小值， 时取得最大值， 最小值为 ，最大值为 ， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得 ， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当 时， 此时 时取得最大值， 时取得最小值， 最大值为9，最小值为 ， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当 时， 此时 时取得最大值， 时取得最小值， 最大值为9，最小值为 ， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程 ， 解得 ， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为： ． 故选：B． 24．二次函数 的图象经过点 ，点 ． (1)若 ，求抛物线的顶点坐标； (2)若存在实数 ，使得 ，且 ，求 的取值范围； (3)当 时，随着 增大， 先减小再增大， 的最大值与 的最小值的和为 ，求 的值． 【答案】(1)顶点坐标 (2) (3) 的值是 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）当 时，把二次函数化为顶点式即可； （2）先计算 ，用 表示，进而可得 ，分别代入得出关于 的不等式组，解不等式即可； （3）根据当 时， 的值增大， 的值先减小再增大，可得点 抛物线对称轴 的左侧，点 抛物线对称轴 的右侧．当 时， 的最小值是 ．然后分两种情况讨论 的最大值，由该二次函数的最大值与最小值的和为 ，列出方程求解． 【详解】（1）解：若 ， 则 ，顶点坐标 ； （2）解：把 代入得： ， 把 代入得： ． ， ， ， ， ； （3）解：∵二次函数 的对称轴为 ， 当 时，随着 的值增大， 的值先减小再增大， ∴点 在抛物线对称轴 的左侧， 点 在抛物线对称轴 的右侧． ∴当 时， 的最小值是 ． 若 ，即 的最大值是 ， ， 解得： （舍去）． 若 ，即 的最大值是 ， ， 解得： （舍去）． 综上， 的值是 或 ． 题型9：平移问题 25．已知二次函数 的图像经过点 ，与 轴交于点 ． (1)求二次函数的表达式． (2)若在 范围内二次函数有最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿 轴平移 个单位，在自变量 的值满足 的情况下，与其对应的函数值 的最小值为 ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）将 ， 代入 ，利用待定系数法求出函数解析式； （2）先求得二次函数 的开口向上，顶点坐标为 ，当 时， ，由二次函数 的对称轴为直线 ，可得当 或 时， ，求出 的取值范围； （3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量 的值满足 的情况下，对应的函数 的最小值求出 的值． 【详解】（1）解：将 ， 代入 ，得： ，解得 ， 二次函数的表达式为 ； （2）解： ， 二次函数 的开口向上，顶点坐标为 ， 当 时， ， 二次函数 的对称轴为直线 ， 当 或 时， ， 在 范围内二次函数有最大值为 ，最小值为 ， ； （3）解：由（2）可得 的对称轴为1， 且抛物线 在 范围内 随 的增大而增大， 抛物线在 时有最小值为 ， ①向左平移 个单位，即当 时，存在与其对应的函数值 的最小值 ， ， 将 代入得： ， 或 ， 向左平移， ， ； ②向右平移 个单位，当平移后对称轴在2左边时，即 ，函数在 处取得最小值 ， 即 ， 解得： ， 都不符合题意； 当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值 ； 当平移后对称轴在3右边时，即 时，函数在 时，存在 的最小值 ， ， 解得： ， ，（舍去） ， 综上所述， 或 ． 26．定义：由两条与 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．    (1)【概念理解】抛物线 与抛物线 ________（填“能”或“不能”）围成“月牙线”． (2)【尝试应用】如图，抛物线 与抛物线 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线 与抛物线 与 轴有相同的交点 ， （点 在点 的左侧），与 轴的交点分别为 ， ，抛物线 的解析式为 ，抛物线 的解析式为 ． ①求 的长和 的值； ②将抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与 轴的交点记为 ， ，与 轴的交点记为 ， ，当 时，求平移的方向及相应的距离． 【答案】(1)能， (2)① ， ，②抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向右平移，或抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向右平移 个单位长度． 【分析】（1）分别求解两条抛物线与x轴的交点坐标，再根据交点坐标与开口方向进行判断即可； （2）①根据 先求解M，N的坐标，再求解 ，再把 代入 ，可得c的值；②当抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向右平移 个单位长度，可得平移后的分别解析式为 ， ，求解 的纵坐标为 ， 的纵坐标为 ，而 ，当抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向左平移 个单位长度，同理可得： ，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当 ，解得： ， ， 交点坐标为： ， ； 当 ，解得： ， ， 交点坐标为： ， ； 而两条抛物线的开口方向都向上， ∴抛物线 与抛物线 能围成“月牙线” （2）解：当 时， 解得： ， ， ∴ ， ， ∴ ， 把 代入 可得： ． ∴ ， ②∵ ， ， 当抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向右平移 个单位长度， ∴平移后的分别解析式为 ， ， 当 时， ， ，      ∴ 的纵坐标为 ， 的纵坐标为 ， 而 ， ∴ ， 解得： （负根舍去）， ∴此时抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向右平移 个单位长度； 当抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向左平移 个单位长度， 同理可得： ， 解得： （负根舍去）， ∴此时抛物线 与抛物线 所围成的“月牙线”向左平移 个单位长度． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，抛物线的平移，二次函数与一元二次方程的关系，理解题意，建立方程求解是解本题的关键． 题型10：旋转+翻折问题 27．已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线 ， （ 为常数）． (1)若抛物线 与 轴正半轴的交点落在抛物线 上，求 的值； (2)已知抛物线 可由抛物线 绕点 旋转 得到，求点 的坐标； (3)若在 的范围内，始终存在 ，求 的取值范围（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)点 坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴交点坐标，二次函数的几何变换，以及解绝对值方程等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）把 代入 ，解出 ， ，即可得出抛物线 与x轴正半轴的交点为 再代入 ，即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线 与抛物线 关于P成中心对称，抛物线 与抛物线 开口大小相同，开口方向不同，进而可得出a的值，再根据中点坐标公式即可求出点P的坐标． （3）根据题意可知， ，分别求出当 时和 时， 的值， 然后解绝对值方程即可得出答案． 【详解】（1）解：把 代入 ， 解得： ， ， ∴抛物线 与x轴正半轴的交点为 把 代入 ， 得： ， 解得： ． （2）解：由题意可知抛物线 与抛物线 关于P成中心对称， ∴抛物线 与抛物线 开口大小相同，开口方向不同， ∴ ， ∵ ，抛物线顶点坐标为 ， 的顶点坐标为： ， ∴点P的坐标为 ，即 ． （3）解：在 的范围内，始终存在 ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ， 当 时， 此时 ， 解得∶ ． 28．已知二次函数 的对称轴为直线 ． (1)若抛物线 经过点 ． ①求 的值． ②若抛物线与 轴交于点 ，将抛物线沿直线 翻折，得到的新抛物线的顶点到 轴的距离为1，求 的值． (2)对于抛物线上的任意两点 ， ，对于 ， 都有 ，求 的取值范围． 【答案】(1)① ；② 或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，点到坐标轴的距离，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①可证明抛物线经过点 ，则由对称性可求出对称轴；②根据①所求可得直线 解析式为 ；根据对称轴计算公式得到 ，进而得到原抛物线顶点坐标为 ，则新抛物线的顶点坐标为 ，根据题意可得 ，解之即可得到答案； （2）当 时，一定有 ；而当 时，点 到对称轴的距离一定小于 到对称轴的距离，即此时一定有 这种情况，当 ，一定存在点 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，即此时一定存在 这种情况，当 时，一定有 ，据此可得答案． 【详解】（1）解：①在 中，当 时， ， ∴抛物线经过点 ， 又∵抛物线经过点 ， ∴抛物线对称轴为直线 ， ∴ ； ②由①得 ， ∵ ， ∴直线 解析式为 ； ∵原抛物线对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 在 中，当 时， ， ∴原抛物线顶点坐标为 ， ∴新抛物线的顶点坐标为 ， ∵新抛物线的顶点到 轴的距离为1， ∴ ， 解得 或 ； （2）解：∵抛物线解析式为 ， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵ ， ， ∴ ， ∴当 时，一定有 ； 当 时，一定有 ， 当 时，点 到对称轴的距离一定小于 到对称轴的距离，即此时一定有 这种情况， 当 ，一定存在点 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，即此时一定存在 这种情况， 又∵对于抛物线上的任意两点 ， ，对于 ， 都有 ， ∴ ， 综上所述， ． 题型11：二次函数的其他综合应用 29．已知二次函数 （ 是实数）． (1)求函数顶点坐标（用含 的代数式表示）； (2)若 ，且函数顶点在 轴上，当 时，函数最大值为 ，求 的值； (3)对于该二次函数图象上的两点 ， ，当 时，始终有 成立．求 的取值范围． 【答案】(1) (2)1或8 (3) 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可解答； （2）先根据函数顶点在 轴上，结合 ，求出 ，得到二次函数表达式 ，进而得到二次函数图象的对称轴为 ，且开口向下，再根据二次函数的性质，分 ， ， 三种情况讨论即可； （3）由（1）知二次函数图象的对称轴为 ，且开口向下，根据 ，则有 ，求解即可． 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 ， 函数顶点坐标为 ； （2）解： 函数顶点在 轴上， ， 解得： 或 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 二次函数表达式为： ， ， 二次函数图象的对称轴为 ，且开口向下， EMBED Equation.DSMT4 时，函数最大值为 ， 当 时， ， 则 时，函数有最大值， 即 ， 解得： （舍去）； 当 时， 则 时，函数有最大值， 即 ， 解得： （舍去）； 当 时，函数最大值为0，不符合题意； 综上， 的值为1或8； （3）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为 ，且开口向下， 二次函数图象上的两点 ， ， 时，始终有 成立， ∴点A到对称轴的距离小于或等于B点到对称轴的距离， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， ， ， ，即 ， ， 解得： ， ， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程和不等式组解法，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 30．在平面直角坐标系中，设二次函数 ． (1)若 ，且二次函数 过 和 ． ①求二次函数 的解析式； ②当 时，求 的取值范围； (2)现有另一函数 ，若函数 的图象顶点在函数 的图象上，函数 的图象顶点在函数 的图象上，且 ，求a与d的数量关系； (3)若 顶点在 上，且顶点坐标为 ，图象过点 ，在函数图象上有三个点 ， ， ，当 时，直接写出m的取值范围为______． 【答案】(1)① ；②当 时，求 的取值范围为 ； (2) (3) 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②先求得二次函数 的最小值，再求得当 和 时， 的值，据此求解即可； （2）先根据顶点坐标公式得到两个函数的顶点坐标，再分别代入对应的解析式表示出来，最后通过化简，根据 ，即可得到答案； （3）先根据函数图象上有三个点 ， ， ， ，确定二次函数的开口方向，及对称轴范围，再根据 顶点在 上，且顶点坐标为 ，图象过点 ，利用对称性确定 的范围． 【详解】（1）解：①由题意得 ， ∵二次函数 过 和 ， ∴ ，解得 ， ∴ ； ② ， ∵ ， ∴当 时， 有最小值，最小值为 ， 当 时， ， 当 时， ， ∴当 时，求 的取值范围为 ； （2）解：根据题意可得： 二次函数 的顶点坐标为： ， 二次函数 的顶点坐标为： ， 函数 的图象的顶点在函数 的图象上，函数 的图象的顶点在函数 的图象上， ， ， 整理得： ， ， ， ， 得： ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， （3）解： EMBED Equation.DSMT4 函数图象上有三个点 ， ， ，且 ， 即在 上， 随x的增大，先减小后增大， 函数 的图象开口向上， 函数 图象的顶点在 上，且顶点坐标为 ， 函数 图象的对称轴为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 函数 图象的对称轴在y轴左侧，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， ， 函数 的顶点为 ，即 在函数 的图象上， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 函数 图象过点 ，且函数 的顶点坐标再y轴左侧， 令函数 ， 解得： ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，且 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 综上， ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，二次函数的顶点坐标公式，二次函数与不等式，利用数形结合解决问题是关键． 31．已知二次函数 （ 为常数， ）． (1)求证：无论 取任何实数时，函数与 轴总有交点； (2)若 为正整数，且函数图象与 轴两个交点的横坐标均为整数． ①已知 ， 是该函数图象上的两点，且 ，求实数 的取值范围； ②将抛物线向右平移 个单位，与 轴的两个交点分别为 ， ，若 ，请结合图象直接写出 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①实数 的取值范围为 或 ；② 【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论； （2）先根据 为正整数，且函数图象与 轴两个交点的横坐标均为整数，求出 的值，即可得到二次函数的解析式，①令 ，分别求出 与 的值，由 得到不等式 ，解不等式即可得到答案；②先求出平移后的抛物线的解析式，再求出平移之后的抛物线与 轴的交点，即 ，分别表示出 ， ，代入求出 的范围，从而即可得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意可得： ， 无论 取任何实数时，函数与 轴总有交点； （2）解：当 时， ， ， ，即 ， ， 函数图象与 轴两个交点的横坐标均为整数， ， EMBED Equation.DSMT4 为正整数， ， ， ①    当 时， ， 当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 解得： 或 ， 实数 的取值范围为： 或 ； ② 抛物线的解析式为： ， 抛物线向右平移 个单位后的解析式为： ， 令 ，则 ， 解得： ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，即 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，二次函数图象的平移，二次函数与 轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 二次函数压轴题 Ⅰ（图像与性质+代数应用） 目录： 题型1：二次函数与一元二次方程 题型2：根据条件比较函数值的大小 题型3：二次函数的图像与性质综合辨析 题型4：双变量问题——比较大小 题型5：双变量问题——求参数范围 题型6：新定义题 题型7：交点问题及其应用 题型8：自变量的取值范围含参数问题 题型9：平移问题 题型10：旋转+翻折问题 题型11：二次函数的其他综合应用 题型1：二次函数与一元二次方程 1．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2．已知抛物线开口向下，过，两点，且．甲同学认为：若点，在抛物线上，，且，则．乙同学认为：当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 题型2：根据条件比较函数值的大小 3．已知二次函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知二次函数（其中，，是常数，且）的图象过点，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型3：二次函数的图像与性质综合辨析 5．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ① ②经过两点的直线一定不经过第三象限 ③若方程有两个根，且，则一定满足 ④若方程有四个根，且这四个根的和为 其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①③ 7．已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①若时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 题型4：双变量问题——比较大小 9．已知点均在二次函数图像上，若则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知二次函数的图象上有两点，，其中，则（    ） A．若，当，则 B．若，当，则 C．若，当，则 D．若，当，则 题型5：双变量问题——求参数范围 11．已知二次函数（是常数）的图象经过． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象经过， ①在（1）的条件下，当时，，求的值； ②若，恒有，求的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线，抛物线顶点的纵坐标为． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若将抛物线向右平移个单位长度后，图象恰好经过点，求的值． (3)只取抛物线在间的部分记为，将在直线上方的部分沿翻折，的其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 13．在平面直角坐标系中，拋物线存在两点． (1) ； (2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ． 题型6：新定义题 14．我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 16．定义：若x，y满足且，，且（t为常数），则称点为“和谐点”，若有一个函数满足，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知是的函数，若存在实数，（），当时，对应函数值的取值范围是，则称为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数，当时，对应函数值的取值范围是，则称为函数的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数（）有无数个“君子数对”；②是二次函数的“君子数对”；③是二次函数的“君子数对”；正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 题型7：交点问题及其应用 18．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 19．已知抛物线与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若，点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的值； (3)若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．的最小值是25 21．二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．设函数的图象为图象，已知点在该函数图象上，且点的横坐标，纵坐标为． (1)若图象的对称轴为直线，求其顶点坐标； (2)证明：若将图象向下平移4个单位后得到图象，则图象与轴有交点； (3)设为常数，当时，图象与轴无交点，结合函数图象，求的最大值． 题型8：自变量的取值范围含参数问题 23．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．二次函数的图象经过点，点． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若存在实数，使得，且，求的取值范围； (3)当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值． 题型9：平移问题 25．已知二次函数的图像经过点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 26．定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．    (1)【概念理解】抛物线与抛物线________（填“能”或“不能”）围成“月牙线”． (2)【尝试应用】如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，抛物线的解析式为，抛物线的解析式为． ①求的长和的值； ②将抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与轴的交点记为，，与轴的交点记为，，当时，求平移的方向及相应的距离． 题型10：旋转+翻折问题 27．已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． (1)若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； (2)已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； (3)若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 28．已知二次函数的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求的值． ②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值． (2)对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围． 题型11：二次函数的其他综合应用 29．已知二次函数（是实数）． (1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值； (3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围． 30．在平面直角坐标系中，设二次函数． (1)若，且二次函数过和． ①求二次函数的解析式； ②当时，求的取值范围； (2)现有另一函数，若函数的图象顶点在函数的图象上，函数的图象顶点在函数的图象上，且，求a与d的数量关系； (3)若顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，在函数图象上有三个点，，，当时，直接写出m的取值范围为______． 31．已知二次函数（为常数，）． (1)求证：无论取任何实数时，函数与轴总有交点； (2)若为正整数，且函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数． ①已知，是该函数图象上的两点，且，求实数的取值范围； ②将抛物线向右平移个单位，与轴的两个交点分别为，，若，请结合图象直接写出的取值范围． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$