精品解析：山东省百师联盟2024-2025学年高二6月联考数学试题

2024—2025学年度高二6月联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 10 C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，代入数值即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 2. 已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，得到预测值，再由残差=观测值-预测值，即可得出答案 【详解】因为经验回归方程为， 所以当时，预测值， 又样本点为， 所以残差为 故选：C 3. 用数字1~5组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先求出从数字1~5中取出3个数字的种数，然后求满足要求的种数，最后根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】从数字1~5中取出3个数字，有种取法； 将取出的3个数字中最大的一个作十位上的数字，另外2个数字分别作百位和个位上的数字，有种方法. 由分步乘法计数原理，得符合题意的三位数有个. 故选：B. 4. 某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（ ） A. 0.64 B. 0.512 C. 0.384 D. 0.128 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式即可得到答案． 详解】篮球爱好者投3分篮3次得6分，则其投中2次， 概率为. 故选：C. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 经验回归直线必经过样本点中心 B. 样本相关系数的值越大，两个变量的相关程度越强 C. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【解析】 【分析】利用回归直线的性质判断A；利用相关系数的意义判断B；利用残差图的特征判断C；利用独立性检验判断D. 【详解】对于A，经验回归方程必经过样本点中心，A正确； 对于B，样本相关系数的绝对值越大，两个变量的相关程度越强，B错误； 对于C，在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，C错误； 对于D，由，根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断与有关联，即无关，D错误. 故选：A 6. 随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,Eξ=1,则Dξ等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合期望的公式可先求出，再由方差公式即可求出结果. 【详解】设, 则由题意可得P(ξ=2)=，又，所以,所以，即，所以，所以. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，属于基础题型. 7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率为 （ ） A. 0.05 B. 0.475 C. 0.525 D. 0.45 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解. 【详解】设“接收信号为1”，“发送信号为1”，则“发送信号为0”， 依题意，，，， 则， 所以接收信号为1的概率为0.525. 故选：C 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数恒成立条件，分析构成函数得两个函数的单调性情况和零点的情况，分别计算两个函数的零点，写出零点之间的关系式方程，再构造函数求出代数式的最小值. 【详解】由题意知，则，因为函数在定义域上单调递增，函数在定义域上也单调递增. 当在区间上，函数与有相同的零点，且符号相同，就满足函数恒成立. 解，得，解，得， 所以，解，得，所以，所以. 令，则， 解，得，解，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （ ） A. B. -3 C. 1 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】设切点为，求得，得到切线方程为，根据切线过点，求得，由切线有2条，利用，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】设切点为，由函数，可得， 则切线的斜率，切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 因为切线有2条，所以，解得或， 结合选项知，选项A、D符合题意. 故选：AD. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两点分布定义直接计算可得A正确，利用方差性质计算可得B正确，由二项分布公式计算可得C错误，结合正态分布对称性计算可得D正确. 【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，，可得， 则，故A正确； 对于B，若随机变量的方差，则，故B正确； 对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C错误； 对于D，若随机变量服正态分布，，则， 所以，故D正确， 故选：ABD. 11. 已知集合，现随机选取集合中4个元素组成集合的4元子集（记为）.记该子集中的最小数为，则下列说法正确的有（ ） A. 不同的个数为 B. 的取值范围是 C. 在所有集合中随机取1个，则取到的的概率为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式判断A；求出的所有可能值判断B；求出古典概率判断C；求出期望判断D. 【详解】对于A，从10个不同元素中取出4个就构成1个，不同的个数为，A正确； 对于B，当集合时，，B错误； 对于C，由，得中其他3元素均比4大，则其他3个元素取值集合为， 当时，的个数为，因此取到的的概率为，C正确， 对于D，的可能值为1，2，3，4，5，6，7，则，， 由离散型随机变量的均值，得， 而，， 因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理求出展开项的通项公式求指定项的系数即可. 【详解】的二项展开式的通项公式为：， 因为， 故的展开式中含项为： 其系数为. 故答案为：. 13. 已知变量满足线性相关关系，一组观测值如下表，且经验回归方程为.现有一对观测数据为，若该数据的残差为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据统计所得数据，可以先求出其样本中心点，代入可求得，进而可求得当时的预测值，再根据残差，即可求得观测值. 【详解】由题意可知，，， 将代入，得，解得， 所以. 当时，预测值，则. 故答案为：. 14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过指对互化把原不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性，从而得，令，利用导数求解最值求得，即可得解. 【详解】因为，对恒成立，所以，， 所以，所以， 令，则， 因，所以在上为增函数，所以， 所以，令，则， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，即，所以， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，利用指对互化对不等式同构变形，然后利用导数研究单调性和最值，分离参数，再利用导数研究最值即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. （1）若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. （2）参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】（1）83； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性求出，再根据期望方差，得到平均成绩；（2）利用二项分布的数学期望、方差公式与性质计算即得. 【小问1详解】 因为， 又正态分布中，， 所以本次知识竞赛预期平均成绩大约为86-3=83； 【小问2详解】 记小王答对题的数量为，则， 由题意得， 则， 所以， . 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出导数，利用给定的极值点求出，进而求出单调区间. （2）由（1）结合已知，利用单调区间求出最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由在处取得极值，得，解得， 则，由，得或； 由，得，则为的极小值点，符合题意 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 因此，而， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 17. 某赛事结束后，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到如下不完整列联表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ （2）用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意补全列联表，再由条件计算卡方进行独立性检验可得； （2）先求出男、女性对服务非常满意的概率，列出可能的取值，计算相应概率，列出分布列，再由期望公式求解可得. 【小问1详解】 根据题意，完整的列联表如下 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 30 20 50 非常满意 30 40 70 合计 60 60 120 零假设为：不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异. 根据列联表中的数据，计算得， 依据小概率值独立性检验，我们推断不成立，即认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异. 【小问2详解】 由列联表，得女性对服务非常满意的概率为，男性对服务非常满意的概率为. 由题意可知，可能的取值为0，1，2. ，，， 故的分布列为 0 1 2 故的数学期望. 18. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用频数、频率、样本容量的关系列式推理得证. （2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算即得. （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 甲工厂试生产的件零件的合格率为80%，则合格零件为件； 乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件， 混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件， 依题意，，化简得，即. 【小问2详解】 设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”， 则，， 所以所求概率. 【小问3详解】 由（2）知，任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂的概率是， 依题意，的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望. 19. 已知函数（e为自然对数的底数），其中． （1）试讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为k，同：是否存在a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； （2）不存在；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分和分别讨论值的符号作答. （2）根据给定条件，求出斜率k，在成立时可得，分析整理并构造函数，利用函数探讨单调性质即可推理作答. 【小问1详解】 函数定义域为R，求导得，而， 则当时，即在R上为增函数， 当时，由，得，即，解得或， 则有或，由，解得， 所以在上递减，在和上递增． 小问2详解】 依题意，，求导得， 有两个极值点，即在上有两个不等根和，则，且， 因为， 则，若存在a，使得，则， 即，不妨令，亦即成立， 令，，，因此在上递增， ，于是得当时，不成立， 所以不存在a，使得. 【点睛】思路点睛：涉及的双变量函数问题，不管待证的是两个变量的等式或不等式，还是导函数的值的等式或不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度高二6月联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A B. 10 C. D. 11 2. 已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 用数字1~5组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 4. 某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（ ） A. 0.64 B. 0.512 C. 0.384 D. 0.128 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 经验回归直线必经过样本点中心 B. 样本相关系数的值越大，两个变量的相关程度越强 C. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 6. 随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,Eξ=1,则Dξ等于(　　) A. B. C. D. 7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率为 （ ） A. 0.05 B. 0.475 C. 0.525 D. 0.45 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点的曲线的切线有2条，则的值可能是 （ ） A. B. -3 C. 1 D. 3 10. 下列结论正确有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 11. 已知集合，现随机选取集合中4个元素组成集合的4元子集（记为）.记该子集中的最小数为，则下列说法正确的有（ ） A. 不同的个数为 B. 取值范围是 C. 在所有集合中随机取1个，则取到的的概率为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______. 13. 已知变量满足线性相关关系，一组观测值如下表，且经验回归方程为.现有一对观测数据为，若该数据的残差为，则______. 14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. （1）若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. （2）参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 17. 某赛事结束后，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到如下不完整列联表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ （2）用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 19. 已知函数（e为自然对数的底数），其中． （1）试讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为k，同：是否存在a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$