1.2 一定是直角三角形吗（培优教学课件）数学北师大版2024八年级上册

1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 北师大版2024·八年级上册 章节导读 1.1.1探索勾股定理 1.1.2 验证勾股定理 1.2一定是直角三角形吗？ 1.3勾股定理的应用 勾股定理的初步认识 利用勾股定理进行计算 勾股定理的简单应用 勾股定理的验证 勾股定理的逆定理 勾股数 立体图形中两点之间的最短距离 勾股定理的实际应用 学 习 目 标 1 2 1.探索并证明勾股定理的逆定理. 2.能运用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形. 知识回顾 1.勾股定理的前提条件是什么？ 直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方 条件：在Rt△ABC 中，∠C = 90°. 结论：a2+b2 = c2. A B C c a b 知识回顾 A B C c a b 2.反过来，如果一个三角形满足了“两直角边的平方和等于斜边的平方”，那么它一定是直角三角形吗？ 条件：△ABC 中 a2+b2 = c2. ？ 结论：Rt△ABC ，∠C=90°. 新知探究 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 新知探究 这三组数在数量关系上有什么相同点？ 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. a2 + b2 = c2 新知探究 思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？ 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 新知探究 ？ A　 B　 C　 a b c 如图，已知△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ ∠C是直角　 △ABC是直角三角形　 △ABC≌△ A′B′C′ 新知探究 简要说明： 作一个直角∠MC1N， 在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB， 在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA， 连接 A1B1. 在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得 A1B12 = a2 + b2 = AB2. 所以 A1B1 = AB. 所以△ABC≌△A1B1C1 (SSS). 所以∠C =∠C1 = 90°. 所以△ABC 是直角三角形. a c b A C B b C1 M N B1 A1 新知探究 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足a2+b2 =c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 特别说明： 符号语言： 在△ABC 中，若 a2 + b2 = c2 则△ABC 是直角三角形. 新知探究 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. A B C c a b 常见的勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k（k 为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数. 典例分析 你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？ 方法技巧 例1.一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 典例分析 解：在△ABD中，AB2 + AD2 = 9+16= 25=BD2， 所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角. 在△BCD 中，BD2 + BC2 = 25+144=169 = CD2， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求. D A B C 4 3 5 13 12 典例分析 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 方法技巧 例2.下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a = 15，b = 8，c = 17； 解：因为 152+82 = 289，172 = 289，所以 152+82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角. (2) a = 13，b = 14，c = 15； 解：因为 132 + 142 = 365，152 = 225，所以 132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形. 典例分析 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 方法技巧 例2.下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (3) a∶b∶c = 3∶4∶5. 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k。 因为 a2 + b2 = (3k)2 + (4k)2 = 25k2，c2 = (5k)2 = 25k2， 所以 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C 是直角. 小明 方法技巧 利用勾股定理的逆定理，找出三边之间的关系，并求求CD的长 利用勾股定理及其逆定理求线段长 题型一 题型探究 小明 例3.如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求 CD 的长. A B D C 勾股定理的逆定理 △ABD为直角三角形 △ACD为直角三角形 求CD 方法技巧 勾股定理在实际生活中的运用 题型一 题型探究 小明 解：因为AB ＝13，AD ＝12，BD＝5， 所以 AD2＋BD2 ＝122＋52＝169＝132＝AB2. 所以△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝ 90°. 所以∠ADC ＝ 180°－∠ADB＝ 90°. 所以△ACD 是直角三角形. 根据勾股定理， 得 CD2 ＝AC2－AD2＝152－122＝81， 所以 CD ＝ 9. A B D C 利用勾股定理的逆定理，找出三边之间的关系，并求求CD的长 课堂小结 一定是直角三角形吗 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形 勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c 变式训练 1.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 A 变式训练 2.若△ABC 的三边 a，b，c满足a2 +b2 +c2 +50=6a+8b+10c. 试判断 △ABC 的形状. 解：因为 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c， 所以 a2 - 6a + 9 + b2 -8b+16+c2 -10c+25=0， 即 (a－3)² + (b－4)² + (c－5)² = 0. 所以 a = 3，b = 4，c = 5. 所以 a2 + b2 = c2. 所以△ABC 是直角三角形. 变式训练 3.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积. 解：连接BD. 在Rt△ABD中,由勾股定理, 得 BD2=AB2+AD2，∴BD=5m， 又∵ CD=12cm，BC=13cm ∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形. S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD = BD•CD－ AB•AD = (5×12－3×4)=24 m2． C B A D 感谢聆听! $$