10.2 实数（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

10.2 实数 题型一：判断是否为无理数 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）在实数，，，，3.14159，，0.2323323332中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数是无限不循环小数这一特征，能准确区分有理数和无理数． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】1．：无法表示为整数之比，是无理数，负号不影响性质，故为无理数； 2．：是无理数，除以2后仍为无限不循环小数，故为无理数； 3．：，是整数，属于有理数； 4．：分数形式，可表示为整数之比，属于有理数； 5.3．14159：有限小数，可化为分数，属于有理数； 6．：，是整数，属于有理数； 7.0．2323323332：题目中为有限小数，属于有理数． 综上，无理数有2个（和）， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）在下列各数：，，，，，，中，无理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数的属性． 【详解】解：为无限不循环小数，是无理数；是有理数；0.2为有限小数，是有理数；是无理数，其倒数仍为无理数；7不是完全平方数，是无理数；为分数，是有理数；，是整数，属于有理数． 综上，无理数有3个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）在实数、、、中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数，求一个数的算术平方根，立方根，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可． 【详解】解：，3是整数，属于有理数． 是分数，属于有理数． ，2是整数，属于有理数． 无法表示为整数或分数，且是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D 4．（24-25七年级下·广东湛江·期中）在实数，，，，，0，这七个实数中，有理数的个数是（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，逐一判断各数是否为有理数即可． 【详解】解：，是整数，为有理数； 是无理数，仍为无理数； 是分数，为有理数； 为无理数； 是有限小数，为有理数； 0是整数，为有理数； ，是整数，为有理数； 综上，有理数有，，，0，，共5个， 故选：B． 5．（24-25七年级下·四川南充·期中）实数，3.14，0，，，，0.1616616661，在这7个数中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数为：，， 故选：D． 6．（24-25七年级下·河南商丘·期中）在数中，无理数共有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解；由无理数的定义可得，无理数有，共2个， 故答案为：2． 7．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列各数中：，，，0，，，，，，，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．无理数的个数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的概念，立方根与算术平方根，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．先化简，再根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．． 【详解】解：是分数，不是无理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； ，是无理数，符合题意； 0是整数，不是无理数，不符合题意； 是整数，不是无理数，不符合题意； 是小数，不是无理数，不符合题意； 是小数，不是无理数，不符合题意； 是整数，不是无理数，不符合题意； 是整数，不是无理数，不符合题意； ，是无理数，符合题意； 0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无理数，符合题意； 故无理数的个数有4个， 故答案为：4． 题型二：利用实数的概念进行判断 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误． ∴正确的是②③共2个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可． 【详解】解：①实数包括有理数、无理数，0属于有理数，故错误； ②实数和数轴上的点一一对应，故错误； ③无理数都是无限小数，故正确； ④，故错误； ⑤平方根等于它本身的数有：0，立方根等于它本身的数有：0、1、，则平方根、立方根都等于它本身的数为0，故错误； 正确结论的个数是1． 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数，绝对值，实数的分类，近似数，实数和数轴的知识点，根据这些知识点注意判断即可． 【详解】解：无理数都是无限不循环小数，所以①正确； 数轴上的点与实数一一对应，所以②错误； 绝对值等于本身的数是0或正数，所以③错误； 是无理数，所以④错误； 近似数所表示的准确数a的范围是：，所以⑤正确． 故正确的有2个， 故答案为：2． 7．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 【答案】2 【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答． 【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误； ②有理数分为正数、负数和0,故②错误； ③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误； ④非负数包含正数和0，故④错误； ⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 综上，正确的有⑤和⑥，共2个． 故答案为2． 题型三：实数的分类 1．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                    }； 负分数：{                    }； 整数：{                    }． 【答案】①⑥；②③⑦；④⑤． 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． 【详解】解：无理数：{， } 负分数：{，，} 整数：{，} 故答案为：①⑥；②③⑦；④⑤． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，． (1)无理数集合{              …}； (2)整数集合{              …}； (3)分数集合{              …}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，实数的分类，熟练掌握立方根的定义以及实数的分类是解题的关键； （1）根据无理数的定义，可得是无理数； （2）根据立方根可得，是整数； （3）根据，是分数，即可求解． 【详解】（1）解：无理数集合{ …}； 故答案为：． （2） 整数集合{ …}； 故答案为：． （3）分数集合{…}． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤ 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的分类及无理数的概念． 根据整数、非负实数和无理数的概念进行分类即可． 【详解】解：整数：{①，⑧…}； 非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}； 无理数：{②，④，⑤…}． 4．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． （1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可； （2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可； （3）根据有理数包括整数和分数解答即可； （4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可． 【详解】（1）正实数：{，…}． 故答案为：； （2）负实数：{，…}， 故答案为：； （3）有理数：{，…} 故答案为：； （4）无理数：{，…}， 故答案为：． 5．（2025七年级下·贵州·专题练习）将下列各数填入相应的集合中： 有理数集合：{____________……}； 无理数集合：{____________ ……}； 整数集合：{____________……}； 分数集合：{____________……}． 【答案】见解析 【分析】本题考查实数的分类，根据有理数包括分数和整数，无理数是无限不循环小数，整数包括正整数，负整数和0，分数包括有限小数和无限循环小数，进行作答即可． 【详解】解：有理数集合：； 无理数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 6．（2025七年级下·贵州·专题练习）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． (1)正无理数集合：{____________…}； (2)负无理数集合：{____________…}； (3)整数集合：{____________…}； (4)正实数集合：{____________…}； (5)负实数集合：{____________…}． 【答案】(1)(2)(3)4)(5) 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数统称为实数，是解题的关键： （1）根据正无理数是大于0的无限不循环小数，作答即可； （2）根据负无理数是小于0的无限不循环小数，作答即可； （3）根据整数包括正整数，负整数和0，作答即可； （4）根据正实数包括正有理数和正无理数，作答即可； （5）根据负实数包括负有理数和负无理数，作答即可； 【详解】（1）解：正无理数集合：{…}； （2）负无理数集合：{…} （3）整数集合：{…} （4）正实数集合：{…}； （5）负实数集合：{…}． 7．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）把下列各数的序号填在相应横线上：①0；②；③；④；⑤；⑥（每两个5之间依次增加一个2）；⑦． （1）整数： ； （2）负实数： ； （3）无理数： ． 【答案】（1）①③⑤；（2）④⑤⑦；（3）②④⑥ 【分析】本题主要考查了实数的分类，求一个数的算术平方根，熟知实数的分类方法是解题的关键． （1）先计算乘方和算术平方根，再根据整数的定义求解即可； （2）根据负实数的定义求解即可； （3）根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：（1），， ∴整数有①③⑤； （2）负实数有④⑤⑦； （3）无理数有②④⑥． 题型四：实数与数轴综合应用 1．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在数轴上，点、分别表示实数、，且．若，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离计算，二元一次方程组的应用；根据数轴上的点所表示的数的特点可知，即，又便可解决问题． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∵，， 则， 故，． 所以点表示的数为：． 故选：B． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为6的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的面积，实数与数轴，熟记正方形的面积公式是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据作法可得，从而得出结果． 【详解】解：∵正方形的面积为6， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是2， ∴点E所表示的数为， 故选：D． 4．（2025·广西·二模）如图所示，将三个数，，表示在数轴上，则被图中表示的解集包含的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴表示解集，无理数的估值．由数轴先确定解集，再确定每个无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，解集为， ∵，，， ∴被图中表示的解集包含的数是． 故答案为： 5．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，直径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点，则的长度为 ；若点对应的数是，则点对应的数是 ． 【答案】 个单位长度 【分析】本题考查了实数与数轴，根据题意可知的长度即为圆的周长，进而可求出点对应的数，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的长度为个单位长度， ∵点对应的数是， ∴点对应的数是， 故答案为：个单位长度，． 6．（24-25七年级下·四川自贡·期中）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B． (1)A点表示数 ，B点表示数 ； (2)若A为中点，求C点表示的数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，用圆心表示的数减去半径可得点A表示的数，圆心表示的数加上半径可得点B表示的数； （2）求出点A和点B的距离，根据线段中点的定义可得点A和点C的距离，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ∵A为中点， ∴， ∴点C表示的数为． 7．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度到达点，再爬向点停止．已知点所表示的数为，点所表示的数为．设点所表示的数为，求： (1)的值． (2)的长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示实数，数轴上两点之间的距离，掌握数轴的特点是解题的关键． （1）根据数轴表示实数，数轴上点的移动计算即可； （2）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，向右爬个单位长度到达点， ∴点表示的数为， ∴； （2）解：∵点所表示的数为，点表示的数为， ∴． 题型五：实数的大小比较 1．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）写一个比小的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数的定义，立方根，实数的大小比较．先根据立方根的定义求出，再根据无理数的定义结合实数的大小比较，直接写出一个符合条件的无理数即可． 【详解】解：∵，， ∴比小的无理数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，实数的大小比较，掌握立方根的概念是解题的关键． 先求出，再比较大小即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 3．（2025·湖北·模拟预测）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数及无理数的大小比较；根据题意写出一个无理数即可． 【详解】解：； 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较大小是解题的关键．利用作差法比较大小即可． 【详解】解：， ∵，即， ∴， ∴． 故答案为：＞． 5．（24-25八年级下·广东阳江·期中）比较大小： ．（填“” “”或“” ） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较． （1）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； （2）先确定和的范围，即可比较． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，， 所以． 7．（24-25七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“>”，“<”或“=”连接： (1)______； (2)______； (3)1______． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查比较实数的大小，熟练掌握比较实数的大小方法：作差法，估算法，平方法，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）估算法比较大小即可； （3）估算法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ， 即：； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型六：实数的混合运算（计算题） 1．（24-25七年级下·吉林白城·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根和绝对值是解题的关键． 根据算术平方根、立方根和绝对值的相关概念计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，实数的混合运算等知识．熟练掌握算术平方根，立方根，实数的混合运算是解题的关键． （1）先分别求算术平方根，立方根，然后进行减法运算即可； （2）先分别求立方根，绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定计算顺序和方法． 分别计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： 4．（24-25七年级下·四川自贡·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简绝对值，求立方根，算术平方根，最后再计算实数的加减运算即可． 【详解】解： 5．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据乘方、立方根的定义，算术平方根和绝对值的性质分别化简，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 6．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 7．（24-25七年级下·河南开封·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，算术平方根和平方，再计算绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0(2) 【分析】本题考查了实数的运算，涉及求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算算术平方根，立方根，再进行加减计算； （2）分别计算立方根，化简绝对值，算术平方根，再进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七：实数的实际应用 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 4．（24-25八年级上·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 题型八：实数综合应用 1．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1)(2)1(3)的算术平方根为4 【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根平方根的含义等知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴； （2）解：由数轴可知：， ∴，， ∴； （3）解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的算术平方根． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)求实数的值； (2)若数轴上，两点分别表示实数，，且的立方根是，，求的算术平方根并将其在数轴上用点表示； 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示数． 根据数轴上两点之间的距离公式，可得：，移项、合并同类项即可求出的值； 根据平方根的定义和立方根的定义求出、，从而可知，再根据算术平方根的定义求出的算术平方根，并表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：，点表示的数为，点表示的数为， ， ； （2）解：的立方根是， ， 解得：， ， ， ， 的算术平方根是， 表示在数轴上如下图所示： 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上点平移的性质即可得解； （2）将，代入代数式，根据绝对值的性质化简即可得解． 【详解】（1）解：∵，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为， ∴实数m的值是； 故答案为：． （2） ． 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)(2)6(3) 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离求解即可． （2）根据绝对值的意义化简绝对值，再进行运算即可． （3）根据相反数的定义以及非负数的性质得到e，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m， ∴， 解得：； 故答案为： （2）解：，则， ； 答：的值为6． （3）解：与互为相反数， ， ，且， 解得：， ， 的平方根为． 答：的平方根为． 5．（24-25七年级下·江西上饶·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． (1)81的四次方根为______；32的五次方根为______； (2)若有意义，则______； (3)求x的值：． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （2）根据四次方根，绝对值和五次方根的意义求解即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 6．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 【答案】(1)(2)0和1(3)5和25（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答； （3）根据25的算术平方根是5，5的算术平方根是即可得到答案. 【详解】（1）解：当输入的x值为16时，取算术平方根，即，4是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，2是有理数， 第三次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值； 故答案为：0和1； （3）解：25的算术平方根是5，5的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是5和25； 故答案为：5和25（答案不唯一）. 7．（24-25七年级下·四川广元·期中）如图，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b，c， (1)化简： (2)若，，．且满足与互为相反数，是绝对值最小的负整数，，互为倒数，试求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由数轴判断数，，的大小关系，继而求得，，，再结合算术平方根和绝对值的性质化简，整理即可； （2）由相反数的定义得，由绝对值的性质得到，由倒数的性质得到，再利用有理数的加减乘除法则，分别解出，，的值，继而解题． 【详解】（1）解：由数轴可知： ，，， ； （2）解：由题意可知：，，， ，，， ． 题型一：数轴中实数比较字母或代数式的大小 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数和数轴，根据点在数轴上的位置，确定数的大小关系，根据不等式的性质，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， 综上，只有选项C正确， 故选：C． 2．（2025·广东深圳·三模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用数轴比较实数的大小，实数的加法及乘法运算，熟练掌握数轴及运算法则是解题的关键． 由数轴可知，实数a，b，c之间的大小关系，从而判断四个选项的对错即可． 【详解】解：由实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置可知： ，故A不正确； 故，，故B、C不正确； ，， ，故D正确； 故选：D． 3．（2025·北京东城·二模）若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小比较，有理数的乘法，有理数的加法运算的符号确定，本题先得到，再逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，点A和点B表示的数分别为a和b，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，根据数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，由数轴得，，据此逐项判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，， A、，，故A选项错误； B、，，，， ，故B选项错误； C、，，，故C选项错误； D、，，，故D选项正确． 故选：D． 6．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，绝对值的几何意义，利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可． 观察数轴可知：，，，然后根据有理数的加法法则、乘法法则和乘方的意义判断各个选项的正确即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ，，， 故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意， 故选：C． 7．（2025·江苏南京·二模）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意，得到，结合实数的运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意，， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 8．（2025·四川南充·二模）如图，是实数在数轴上的对应点位置．下列结论，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值实数与数轴，由图可知，a在与之间，b在1与2之间，在这基础上用实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由图可知，a在与之间，b在1与2之间， ∴，；， ∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 题型二：与实数相关的规律问题（选填） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，通过计算出，，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 4．（2024九年级下·重庆北碚·学业考试）按顺序排列的一列数：，，，，是正整数，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数之差，即：，，，则下列说法：当且且时，；若，则；代数式的值恒为负；若，则其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的性质，实数运算的规律，实数的运算，根据题意逐项即可，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 【详解】设，则， ， ， ，，，可以发现每四个次循环， 则，故正确； 若，则可得，，，，，可见每四个次循环，从而 ， ，故正确； 由题意得，，，， 故， ∵对于任意实数都有， ∴为非正数，当时为，故错误； 由题意得：，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上正确， 故选：． 5．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 题型三：新定义下的实数运算 1．（24-25七年级下·广东湛江·期中）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下实数的运算，算术平方根，先依据定义列出算式，然后再进行计算即可，正确理解计算公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·云南玉溪·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（    ）． A． B． C．14 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，算术平方根的意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新定义的运算规则，分别计算和的值，再求它们的差． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选D． 3．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）对于a，b规定一种新运算：，例如：．已知，若，则m的值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题中所给新定义运算；由题中所给新定义运算可得，求出，然后再根据，将代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧． 分别求得的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可． 【详解】解：由题意得：， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ． 分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束． ， 故答案为：2024． 5．（上海市交大附中附属嘉定洪德中学2024-2025学年六年级下学期期末联考数学试题）现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 【答案】(1)①④(2)(3) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式． （1）根据“关联”定义逐项进行判断即可； （2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可； （3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出的关系，进而可求出的值． 【详解】（1）解：①， ∴被“关联”； ② ∴未被“关联”； ③ ∴未被“关联”； ④ ∴被“关联”； 故答案为：①④； （2）解：根据题意得， 解方程组得； （3）解：根据题意得， 得，即， 将代入①得， 将和代入③得， ， 根据题意可得， ， 整理得， 将代入得，， ∴， 解得， 所以，数对为． 6．（24-25七年级下·青海海东·期中）对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 【答案】(1)1(2)1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果； （2）利用已知的新定义分步列出算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·北京·期中）已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”． (1)写出的一个“有序表示” ； (2)若是的一个“有序表示”，求的平方根； (3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)x存在“有序表示”，见解析 【分析】本题考查与新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义列出式子即可求解； （2）根据题意得，进而求出，，代入，再计算平方根即可； （3）根据题意得，，进而得到，求出（满足条件），设是x的“有序表示”，则 ，其中 为有理数，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， 则只要满足的都是有序数对， ∴（答案不唯一）； （2）解：， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； （3）解：，， ∴，， ∴， ∴（满足条件）， 此时，，即， ∵均为有理数，为有理数， 设是x的“有序表示”， ∴，其中为有理数， ∵为有理数， 当或等均可满足， ∴x存在“有序表示”． 8．（24-25七年级下·福建福州·期中）阅读并回答下列问题：当，都是实数，且满足，就称点为“耀威点”． (1)判断点是否为“耀威点”，并说明理由； (2)若点是“耀威点”，请求出的值； (3)已知，为有理数，且关于，的方程组解为坐标的点是“耀威点”，求，的值． 【答案】(1)点是“耀威点”，理由见解析(2)(3) 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，解得，再根据“耀威点”的定义验证即可； （2）当时，解得，再根据“耀威点”的定义建立方程求解即可； （3）根据定义可得，再解方程组得到，则有，根据p、q都是有理数，可得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：点是“耀威点”，理由如下： 当时，解得， ∴， ∴点是“耀威点”； （2）解：当时，解得， ∵点是“耀威点”， ∴， ∴， ∴； （3）解； ∵， ∴， 得：， ∵关于，的方程组解为坐标的点是“耀威点”， ∴， ∴， ∵p、q都是有理数， ∴， ∴． 题型四：程序设计与实数的运算 1．（24-25七年级下·陕西安康·期中）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故选B． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 3．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：A． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与实数运算，算术平方根的计算，无理数的判断，读懂程序计算的过程是解题的关键． 读懂程序计算过程，把代入程序中计算，判断结果是否是无理数，不是则继续输入，直至得到算术平方根为无理数，再输出． 【详解】解：由所示的程序可得：的算术平方根是，是有理数， 继续输入，则9的算术平方根为，3是有理数， 继续输入，则3的算术平方根为，是无理数，则输出， 故答案为：． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并根据相关运算的逆运算求解是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：∵输出的数是， ∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是， 故x的值为， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·周测）有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与流程图的计算，根据流程图计算即可． 【详解】解：， ∵8不是无理数， ∴， ∵2不是无理数， ∴2的算术平方根式， ∵是无理数， ∴， 故答案为：． 题型五：实数综合应用之规律探索题（解答） 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子进行计算即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律即可； （3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵第1个：； 第2个：； 第3个：； …… ∴； （2）解：由（1）可得第个等式为：； （3）解： ． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1) ； (2) ； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；见解析 【分析】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键． （1）设式子等于S，将方程两边都乘以2后进行计算即可； （2）设式子等于S，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案； （3）设式子等于S，将方程两边都乘以a后进行计算即可. 【详解】（1）解：令，  则， 得，， 解得：． （2）解：令，则， 得，， 解得：． （3）解：当时，； 当时，令，则， 得，， ∴． 综上所述：当时，； 当时，． 4．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 5．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究； （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 故答案为：． （2），理由如下， ∵， ∴， 6．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 7．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2，(2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法，熟练掌握利用乘方比较根式大小、负数比较大小的规则是解题的关键．分别对每个选项中的数，利用立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法来判断． 【详解】解： A、因为，，且，根据“若（为实数），则”，可得，故此选项不符合题意； B、因为，，且，根据“若（为非负实数），则”，可得，故此选项不符合题意； C、因为，，又，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得，故此选项符合题意． D、因为，，且，所以，故此选项不符合题意；． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）估计的值应在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．5到6之间 D．到之间 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、无理数的大小估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先计算原式，根据，可得，根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知三个实数a，b，c，满足，，，则（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的是实数的性质，不等式的性质，由条件可得，可得，，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故选：C． 4．（2025·河南周口·二模）如图，数轴上四点表示的数是不等式组的解的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，求出每个不等式的解集，找出公共部分即可得到不等式组的解集，然后根据数轴上点的位置判断即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式的， ∴不等式组的解集为， 可得数轴上c的值满足不等式组， 故选：C． 5．（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 6．（2025·北京·一模）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题实数与数轴，实数的运算，不等式的性质，根据点在数轴上的位置，判断数的大小，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ， ∴，故选项D正确； 故选D． 7．（24-25七年级下·北京·期中）如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点，，设点，表示的数为，，则以下说法正确的是（   ） A． B．表示数的点在线段上 C．是无理数 D．是有理数 【答案】B 【分析】此题考查了实数在数轴的上表示方法，首先求出正方形对角线的长度，然后得出，，逐一判断即可，解题的关键是根据题意求出正方形对角线的长度． 【详解】解：由题意可得：正方形的对角线长为， ∴，，故A选项不符合题意； ∵， ∴表示数的点在线段上，故B选项符合题意； ∵， ∴是有理数，故C选项不符合题意； ∵， ∴是无理数，故D选项不符合题意； 故选：B． 8．（24-25七年级下·福建厦门·期中）直接写出结果： （1）的平方根是 ；            （2）的立方根是 ； （3）的相反数是 ；        （4）的绝对值是 ； （5） ；            （6）写出一个小于的无理数： ． 【答案】 / （答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的性质，分类以及实数的混合运算，立方根，算术平方根； （1）根据平方根的定义，进行计算即可求解； （2）根据立方根的定义，计算即可求解； （3）根据相反数的定义，即可求解； （4）根据立方根的定义以及绝对值的意义，即可求解； （5）根据实数的加法进行计算即可求解． （6）根据题意写出一个小于的无理，即可求解． 【详解】解：（1）的平方根是；   故答案为：． （2）的立方根是； 故答案为：． （3）的相反数是； 故答案为：． （4）的绝对值是； 故答案为：． （5）； 故答案为：．             （6）写出一个小于的无理数：． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，从标注的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“”得，则标注“？”的圆圈中的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义运算，根据题意得，解得，则顺时针方向按的规律转换，再把时代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴顺时针方向按的规律转换后得到下一个圆圈中的数， ∴当时，， 故标注“？”的圆圈中的数是， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，数字变化的规律，利用新定义的规定，从第一个数开始，每4个数的和为0，则，再利用幂的乘方与积的乘方法则运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·天津滨海新·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（2025·河北·模拟预测）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． (1)计算：； (2)若，求这个三位数． 【答案】(1)148；(2)274． 【分析】本题考查了实数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）根据定义求出，分别讨论求出，，从而可得结论． 【详解】（1）解：； （2）解： a，b均为正整数 若，则，a不为整数，此种情况不成立 若，则此时， 综上这个三位数为274 15．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点到达点，设点表示的数为． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)(2)3 【分析】本题考查了实数与数轴，立方根和算术平方根，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键． （1）求出圆的周长即可求出a的值； （2）把a的值代入化简即可． 【详解】（1）解：∵圆的直径为2 ∴圆的周长为，点A在原点左边， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵9的算术平方根是， ∴的算术平方根是3． 16．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）己知关于的方程组满足且它的解是一对负数． (1)试用m表示方程组的解； (2)求m的取值范围； (3)已知：，求的值． 【答案】(1)(2)(3)4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，实数的运算，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可得到答案； （2）根据方程组的解为负数得到，解不等式组即可得到答案； （3）根据（2）所求去绝对值后求出n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 得：， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵关于的方程组满足且它的解是一对负数， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 17．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2 实数 题型一：判断是否为无理数 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）在实数，，，，3.14159，，0.2323323332中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）在下列各数：，，，，，，中，无理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）在实数、、、中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东湛江·期中）在实数，，，，，0，这七个实数中，有理数的个数是（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（24-25七年级下·四川南充·期中）实数，3.14，0，，，，0.1616616661，在这7个数中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（24-25七年级下·河南商丘·期中）在数中，无理数共有 个． 7．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列各数中：，，，0，，，，，，，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．无理数的个数有 个． 题型二：利用实数的概念进行判断 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 4．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 7．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 题型三：实数的分类 1．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                    }； 负分数：{                    }； 整数：{                    }． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，． (1)无理数集合{              …}； (2)整数集合{              …}； (3)分数集合{              …}． 3．（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 4．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 5．（2025七年级下·贵州·专题练习）将下列各数填入相应的集合中： 有理数集合：{____________……}； 无理数集合：{____________ ……}； 整数集合：{____________……}； 分数集合：{____________……}． 6．（2025七年级下·贵州·专题练习）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． (1)正无理数集合：{____________…}； (2)负无理数集合：{____________…}； (3)整数集合：{____________…}； (4)正实数集合：{____________…}； (5)负实数集合：{____________…}． 7．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）把下列各数的序号填在相应横线上：①0；②；③；④；⑤；⑥（每两个5之间依次增加一个2）；⑦． （1）整数： ； （2）负实数： ； （3）无理数： ． 题型四：实数与数轴综合应用 1．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在数轴上，点、分别表示实数、，且．若，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为6的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西·二模）如图所示，将三个数，，表示在数轴上，则被图中表示的解集包含的数是 ． 5．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，直径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点，则的长度为 ；若点对应的数是，则点对应的数是 ． 6．（24-25七年级下·四川自贡·期中）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B． (1)A点表示数 ，B点表示数 ； (2)若A为中点，求C点表示的数． 7．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度到达点，再爬向点停止．已知点所表示的数为，点所表示的数为．设点所表示的数为，求： (1)的值． (2)的长． 题型五：实数的大小比较 1．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）写一个比小的无理数 ． 2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）比较大小： ．（填“”或“”） 3．（2025·湖北·模拟预测）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）比较大小： （填“＞”或“＜”）． 5．（24-25八年级下·广东阳江·期中）比较大小： ．（填“” “”或“” ） 6．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 7．（24-25七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“>”，“<”或“=”连接： (1)______； (2)______； (3)1______． 题型六：实数的混合运算（计算题） 1．（24-25七年级下·吉林白城·期中）计算：． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）计算 (1) (2) 3．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）计算： 4．（24-25七年级下·四川自贡·期中）计算： 5．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）计算： 6．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）计算： (1)； (2)． 7．（24-25七年级下·河南开封·期中）计算： (1)． (2)． 8．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）计算： (1) (2) 题型七：实数的实际应用 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 4．（24-25八年级上·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 题型八：实数综合应用 1．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)求实数的值； (2)若数轴上，两点分别表示实数，，且的立方根是，，求的算术平方根并将其在数轴上用点表示； 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值． 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 5．（24-25七年级下·江西上饶·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． (1)81的四次方根为______；32的五次方根为______； (2)若有意义，则______； (3)求x的值：． 6．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 7．（24-25七年级下·四川广元·期中）如图，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b，c， (1)化简： (2)若，，．且满足与互为相反数，是绝对值最小的负整数，，互为倒数，试求的值． 题型一：数轴中实数比较字母或代数式的大小 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，两个实数在数轴上对应的点如图所示，则下列说法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·三模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·北京东城·二模）若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，点A和点B表示的数分别为a和b，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是(    )    A． B． C． D． 7．（2025·江苏南京·二模）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·四川南充·二模）如图，是实数在数轴上的对应点位置．下列结论，错误的是（   ） A． B． C． D． 题型二：与实数相关的规律问题（选填） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 4．（2024九年级下·重庆北碚·学业考试）按顺序排列的一列数：，，，，是正整数，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数之差，即：，，，则下列说法：当且且时，；若，则；代数式的值恒为负；若，则其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为 ． 题型三：新定义下的实数运算 1．（24-25七年级下·广东湛江·期中）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 2．（24-25七年级下·云南玉溪·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（    ）． A． B． C．14 D．10 3．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）对于a，b规定一种新运算：，例如：．已知，若，则m的值是（   ） A． B．0 C． D．1 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 5．（上海市交大附中附属嘉定洪德中学2024-2025学年六年级下学期期末联考数学试题）现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 6．（24-25七年级下·青海海东·期中）对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 7．（24-25七年级下·北京·期中）已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”． (1)写出的一个“有序表示” ； (2)若是的一个“有序表示”，求的平方根； (3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由． 8．（24-25七年级下·福建福州·期中）阅读并回答下列问题：当，都是实数，且满足，就称点为“耀威点”． (1)判断点是否为“耀威点”，并说明理由； (2)若点是“耀威点”，请求出的值； (3)已知，为有理数，且关于，的方程组解为坐标的点是“耀威点”，求，的值． 题型四：程序设计与实数的运算 1．（24-25七年级下·陕西安康·期中）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的值是 ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 6．（24-25七年级下·全国·周测）有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ． 题型五：实数综合应用之规律探索题（解答） 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 3．（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1) ； (2) ； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 4．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 5．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 6．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 7．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）估计的值应在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．5到6之间 D．到之间 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知三个实数a，b，c，满足，，，则（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（2025·河南周口·二模）如图，数轴上四点表示的数是不等式组的解的是（　　） A．a B．b C．c D．d 5．（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·一模）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·北京·期中）如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点，，设点，表示的数为，，则以下说法正确的是（   ） A． B．表示数的点在线段上 C．是无理数 D．是有理数 8．（24-25七年级下·福建厦门·期中）直接写出结果： （1）的平方根是 ；            （2）的立方根是 ； （3）的相反数是 ；        （4）的绝对值是 ； （5） ；            （6）写出一个小于的无理数： ． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，从标注的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“”得，则标注“？”的圆圈中的数是 ． 10．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 11．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·福建漳州·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，那么 ． 13．（24-25七年级下·天津滨海新·期中）计算： (1) (2) 14．（2025·河北·模拟预测）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． (1)计算：； (2)若，求这个三位数． 15．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点到达点，设点表示的数为． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 16．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）己知关于的方程组满足且它的解是一对负数． (1)试用m表示方程组的解； (2)求m的取值范围； (3)已知：，求的值． 17．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $$