专题08 相似三角形、锐角三角函数（5大题型）（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题16 相似三角形、锐角三角函数 题型概览 题型01 相似三角形的判定与性质综合 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 位似 题型04 解直角三角形 题型05 解直角三角形的应用 ( 题型01 )相似三角形的判定与性质综合 1．（2025·甘肃·二模）如图，D为中边上的中点，，若，与交于点F，，则的长是（　　） A．4 B．3 C． D． 2．（2025·甘肃·二模）如图，在中，是边上的高，，交的延长线于点E，交边的延长线于点F．若，，，则的长为 ． 3．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ． 4．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，D是的中点，E是上的点，连接，的平分线交于点F，连接．若，，则的长为 ． 5．（2025·甘肃·二模）如图，在中，点E在边上，，的延长线交于点F，若，，则 ． 6．（2025·甘肃·二模）在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于分别是的中点，连接，若，则的长度为（　　） A． B．3 C． D． 7．（2025·甘肃·二模）如图，在中，、分别是、的中点，则 ． 8．（2025·甘肃·二模）在和中，，，，旋转，使点在内． (1)如图1，求证：； (2)当时，延长交于点． ①如图2，若，，求的长； ②如图3，连接，若点是的中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． ( 题型02 )利用相似三角形的性质求解 9．（2025·甘肃白银·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若，则 ． 10．（2025·甘肃·二模）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A． B．4 C． D．5 11．（2025·甘肃·二模）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ． ( 题型03 )位似 12．（2025·甘肃·二模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 13．（2025·甘肃·二模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． ( 题型0 4 )解直角三角形 14．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　） A． B． C． D． 15．（2025·甘肃·二模）如图，矩形中，，点P为上一动点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点A落在点E处，连接，连接交于点F，交于点G，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则的长为 C．若，则长度的最小值为1.8 D．和不可能全等 16．（2025·甘肃·二模）如图，在菱形中，，，点在射线上，当是直角三角形时，则的长为 ．    17．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是 ． 18．（2025·甘肃·二模）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论： ①为等腰三角形；②四边形AECF是平行四边形 ③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③ 19．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． ( 题型0 5 )解直角三角形的应用 20．（2025·甘肃·二模）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 21．（2025·甘肃白银·二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁交于点，求房屋的高．（点在同一水平线上）．（参考数据：， 22．（2025·甘肃平凉·二模）甘肃黄河楼，耸立在黄河之滨，见证了母亲河的壮丽与传奇，是弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，小军想利用无人机测量黄河楼的高度BC，无人机在点A处测得黄河楼顶部点B的俯角为，黄河楼底端点C的俯角为，此时无人机与黄河楼的水平距离为，点D、B、C在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求黄河楼的高度BC．（参考数据：，，） 23．（2025·甘肃·二模）图1为某大型商场的自动扶梯，图2中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示图，小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度比为，顶端到一楼地面的高度是．求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 24．（2025·甘肃陇南·二模）如图是某森林公园两山之间一段索道的示意图，点，点分别是索道终点和起点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离与地面垂直且．．在同一平面内，结果精确到，参考数据：） (1)求点到地面的距离； (2)求索道的长． 25．（2025·甘肃·二模）如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点，测得A，B均在的北偏东方向上，沿正东方向行走60米至观测点，测得在的北偏西方向上，在的北偏西方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：，，，，，，） 26．（2025·甘肃·二模）如图，我国南部某海域有A，B两个小岛，相距海里，小岛B在小岛A的东北方向，点C处有一艘海警船，该海警船在小岛A的北偏西方向，在小岛B的北偏西方向，求海警船C与小岛B之间的距离？（结果保留整数，参考数据：，，，） 27．（2025·甘肃平凉·二模）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是，楼底点D与点A，B共线，且，求黄河楼的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 28．（2025·甘肃·二模）如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业，在距离试验田（为水平状态）高度为的点处测得边界处的俯角为，无人机垂直下降至处，又测得边界处俯角为．已知点，，，在同一平面内，求试验田边界，之间的距离（参考数据：，，，，结果精确到）． 29．（2025·甘肃·二模）中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据） 30．（2025·甘肃·二模）如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 31．（2025·甘肃·二模）如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展开到，求、两点之间的距离．（结果精确到，参考数据：） 32．（2025·甘肃·二模）如图，已知四边形是某公园中的小池塘，点和点分别在点的正东与正南方向，点位于点北偏西方向，点位于点北偏东方向，经测量得米，米，求小池塘的边的长．（参考数据：，，，，结果精确到0.1米） 33．（2025·甘肃陇南·二模）某校进行应急演练，处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的救护人员立即出发，计划由处的救护人员赶到处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，到达处急救中心接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上．求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）． 34．（2025·甘肃白银·二模）数学兴趣小组想测量会宁县会师门的高度（如图1），测量小组将无人机在点处竖直上升后飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，如图2，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处分别测得塔顶和点的俯角均为，点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．根据以上数据，求会师门的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 相似三角形、锐角三角函数 题型概览 题型01 相似三角形的判定与性质综合 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 位似 题型04 解直角三角形 题型05 解直角三角形的应用 ( 题型01 )相似三角形的判定与性质综合 1．（2025·甘肃·二模）如图，D为中边上的中点，，若，与交于点F，，则的长是（　　） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键．先利用全等三角形的性质得到，，，，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到，进而得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ，，，， ∴， ， ， ， ， ∴， ∵D为中边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·甘肃·二模）如图，在中，是边上的高，，交的延长线于点E，交边的延长线于点F．若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：作延长线于G，易得，则；设，则，根据勾股定理可得，即、；根据等角对等边可得；设，则，再根据勾股定理可得，即；由，即，设，则，，证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，即；然后再根据正弦的定义求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：作延长线于G， ∵是边上的高，即， ∴， ∴， ∵在中，， ∴设，则， ∵，即，解得：（舍弃负值）， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，即，解得：（经检验不是增根）， ∴， ∵在中，， ∴在中，，即，解得：， ∴． 故答案为：． 3．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是截图关键． 连接交于点，通过直角三角形的性质得，结合折叠的性质证得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 点为的中点，， ， ， ， ， 将沿着折叠，使点落在边的中点处， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，D是的中点，E是上的点，连接，的平分线交于点F，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理．过D作，交于点H，由三角形中位线定理可得，得到，求得，再根据勾股求出，线段和差得到，，延长交于点M，由平行线分线段成比例可得，求出，，再由角平分线性质定理可得，最后过F作于点T，易得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点M，过D作，交于点H， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴，， ∴， 在中，5， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵平分， ∴，即， 解得， 过F作于点T，则，， ∴， 在中，； 故答案为：． 5．（2025·甘肃·二模）如图，在中，点E在边上，，的延长线交于点F，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出．由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，于是得到，进一步可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． ∴， 故答案为：8． 6．（2025·甘肃·二模）在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于分别是的中点，连接，若，则的长度为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定定理和性质，以及勾股定理．熟练掌握相关性质是解题的关键． 先证明，利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合线段中点性质，以及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的中点， ， ． 故选：D． 7．（2025·甘肃·二模）如图，在中，、分别是、的中点，则 ． 【答案】/0.25 【分析】此题重点考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵分别是的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2025·甘肃·二模）在和中，，，，旋转，使点在内． (1)如图1，求证：； (2)当时，延长交于点． ①如图2，若，，求的长； ②如图3，连接，若点是的中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）证明，再利用已知，，即可证明结论； （2）①求出，．证明．则．得到，由（1）可知，，即可得到答案；②延长交于点．证明四边形是正方形．则，．证明，得到．得到，．即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． ∵，， ∴． （2）解：①∵， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ 同（1）可知，， ∴． ②，理由如下： 如图3，延长交于点． ∵， ∴，． ∴． ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． ∴，． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． ( 题型02 )利用相似三角形的性质求解 9．（2025·甘肃白银·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，得到△，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 10．（2025·甘肃·二模）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 11．（2025·甘肃·二模）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ． 【答案】 【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD， ， ∴ ∴ 由， ∴ 设 则 故答案为： ( 题型03 )位似 12．（2025·甘肃·二模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 【答案】375 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：375． 13．（2025·甘肃·二模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 【答案】250 【分析】本题考查中心投影，位似图形的性质，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：250． ( 题型0 4 )解直角三角形 14．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，延长交于点E，连接，交于点M，此时周长最小．设，，证明得到，由正切定义和勾股定理求得，，根据切线性质得，证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接，交于点M， ∵，， ∴垂直平分，则， ∴，此时周长最小． 设，， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 设于相切于点F，连接， 则，又， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、轴对称求最短路线、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等问题，解题的关键在于正确找到M点位置． 15．（2025·甘肃·二模）如图，矩形中，，点P为上一动点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点A落在点E处，连接，连接交于点F，交于点G，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则的长为 C．若，则长度的最小值为1.8 D．和不可能全等 【答案】B 【分析】本题考查矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，是解题的关键．根据数量关系和折叠的性质，得到，判断A，设，，得到，，根据矩形的性质，折叠的性质，以及等角的余角相等，推出，进而得到，求出，进而得到，根据，得到，进而推出，在中，由勾股定理求出的值，进而求出的值，得到的值，再利用勾股定理求出的长，判断B，连接，勾股定理求出的长，利用，判断C，根据折叠的性质，结合对顶角相等，得到当时，，判断D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴；故选项A错误，不符合题意； 同上可知：，， ∵， ∴设，，则：，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（舍去）或或（舍去）； ∴， ∴， 在中，；故选项B正确，符合题意； 当时，连接，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴的最小值为2；故选项C错误，不符合题意； ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴当时，；故选项D错误，不符合题意； 故选B． 16．（2025·甘肃·二模）如图，在菱形中，，，点在射线上，当是直角三角形时，则的长为 ．    【答案】或或 【分析】分三种情况求解：①当时，②当时，③当时． 【详解】①当时，如图，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． ②当时，如图，    ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ③当时，如图，则，    作于点M，作于点N， 则，， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 解得， ∴．     综上可知，的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 17．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，，将从点A出发沿底边中线方向平移得到，当时，重叠部分的周长是 ． 【答案】 【分析】在中，，，，求出，根据直角三角形的性质得出，从而得出，即可得，根据，得出，，根据平移可得，证明是等边三角形，得出，证明，即可得，，即可求出三角形的周长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据平移可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的周长， 故答案为：． 【点睛】该题考查了平移的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（2025·甘肃·二模）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论： ①为等腰三角形；②四边形AECF是平行四边形 ③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴， 设正方形的边长为， 则， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∴， ∴，即是的中点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴， ∴，故③错误； ∴， ∴， 连接，如图所示， ∵，，， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的为：①②④． 故选：B． 19．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，因为于点E，所以，即可证明是的切线； （2）由，得，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则的半径长为3． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E，交的延长线于点F， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的半径长为3． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． ( 题型0 5 )解直角三角形的应用 20．（2025·甘肃·二模）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】古树的高度为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点，过点作，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，解直角三角形，求出的长，根据，进行计算即可． 【详解】解：延长交于点，过点作，由题意，得：， 则四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵斜坡的坡度i为，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由题意，得：， ∴， ∴； 答：古树的高度为米． 21．（2025·甘肃白银·二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁交于点，求房屋的高．（点在同一水平线上）．（参考数据：， 【答案】约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长度．过点作，根据题意得，设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，， ∴，， ∴． 过点作，垂足为， 设． ∵， 在中，． ∵， 在中， ． ∵， ． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：房屋的高约． 22．（2025·甘肃平凉·二模）甘肃黄河楼，耸立在黄河之滨，见证了母亲河的壮丽与传奇，是弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，小军想利用无人机测量黄河楼的高度BC，无人机在点A处测得黄河楼顶部点B的俯角为，黄河楼底端点C的俯角为，此时无人机与黄河楼的水平距离为，点D、B、C在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求黄河楼的高度BC．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在和中，分别利用锐角三角函数求出的长，即可得的长． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 在中，， ， 解得， ． ∴黄河楼的高度为． 23．（2025·甘肃·二模）图1为某大型商场的自动扶梯，图2中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示图，小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度比为，顶端到一楼地面的高度是．求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的定义以及构造直角三角形是解题的关键；过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点．则四边形，是矩形，根据的坡度比为，，得出，进而求得，解，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点． ∴四边形，是矩形， ∵的坡度比为，， ∴． 根据题意，得：，， ∴，，， ， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∴日光灯到一楼地面的高度约为． 24．（2025·甘肃陇南·二模）如图是某森林公园两山之间一段索道的示意图，点，点分别是索道终点和起点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离与地面垂直且．．在同一平面内，结果精确到，参考数据：） (1)求点到地面的距离； (2)求索道的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过作于，则，在中，由即可解答； （2）过作于，证明四边形是矩形，所以，求得，由得，在中，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， 在中， ，， ， ， 点到地面的距离约为； （2）如图，过作于，则， ， 四边形是矩形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， 索道的长约为． 25．（2025·甘肃·二模）如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点，测得A，B均在的北偏东方向上，沿正东方向行走60米至观测点，测得在的北偏西方向上，在的北偏西方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：，，，，，，） 【答案】42米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键． 先求出，进而得到，解求出米，然后再解求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵A，B均在的北偏东方向上，在的北偏西方向上， ∴， ∴， 在中，， ∴（米） ∵在的北偏西方向上，在的北偏西方向上， ∴， 在中，， ∴（米）； 答：A，B两点间的距离约为42米． 26．（2025·甘肃·二模）如图，我国南部某海域有A，B两个小岛，相距海里，小岛B在小岛A的东北方向，点C处有一艘海警船，该海警船在小岛A的北偏西方向，在小岛B的北偏西方向，求海警船C与小岛B之间的距离？（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】20海里 【分析】利用方位角作辅助线构建矩形与直角三角形，利用矩形性质得线段关系．在中，根据已知条件求长度， 由方位角推出角度关系，判定为等腰三角形，得，设，在相关直角三角形中用表示线段，结合三角函数列方程求解即长度． 【详解】过点A水平线l，过点A作垂直于l的直线m，过点B作垂直于l的直线n，交直线于点D，过点C分别作垂直于l的直线p，交于点E和平行于直线l的直线q，与交直线m，n交于点F，G， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ， ∵在中，， ， ∴ ∵海警船在小岛A的北偏西方向，在小岛B的北偏西方向， ∴，， ∵小岛B在小岛A的东北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， 在中 ， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴． 答：海警船C与小岛B之间的距离为20海里， 【点睛】本题考查方位角概念、直角三角形及矩形性质、等腰三角形判定、三角函数应用；解题关键是通过作辅助线构建几何图形，利用角度关系判定等腰三角形，结合三角函数建立方程求解 ． 27．（2025·甘肃平凉·二模）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是，楼底点D与点A，B共线，且，求黄河楼的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 【答案】黄河楼高为95.7米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设黄河楼高为米，解直角三角形得出米，求出米，最后再解直角三角形即可得解． 【详解】解：设黄河楼高为米， 在中，， ∴米， 由题意可得：米， ∴米， ∵， ∴， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴黄河楼高为95.7米． 28．（2025·甘肃·二模）如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业，在距离试验田（为水平状态）高度为的点处测得边界处的俯角为，无人机垂直下降至处，又测得边界处俯角为．已知点，，，在同一平面内，求试验田边界，之间的距离（参考数据：，，，，结果精确到）． 【答案】试验田边界，之间的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键．延长交于点，在和在中，利用锐角三角函数定义求得、即可求解． 【详解】解：延长交于点，由题意得： ，，， ， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 试验田边界，之间的距离约为． 29．（2025·甘肃·二模）中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据） 【答案】中华文字博物馆大门的高度约为20米 【分析】本题主要考查了解直角三角形，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题成为解题的关键． 如图，在中解直角三角形可得，进而得到，易得，再在Rt中解直角三角形可得的长即可解答． 【详解】解：如图，在中，， ， ． 由题知， 在Rt中， ． 中华文字博物馆大门的高度约为20米． 30．（2025·甘肃·二模）如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 【答案】该船继续向西航行是安全的 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点B作于点B，在和中，利用正切函数分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点B作于点B，设海里． 在中，， 在中，， 由得， 解方程，得． 答：该船继续向西航行是安全的． 31．（2025·甘肃·二模）如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展开到，求、两点之间的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】、两点之间的距离约为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作辅助线，在中，求出，，然后根据勾股定理求出答案即可．正确作出辅助线是解答本题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接， ， ， 在中，，，， 解得：，， ， 在中，， 、两点之间的距离约为． 32．（2025·甘肃·二模）如图，已知四边形是某公园中的小池塘，点和点分别在点的正东与正南方向，点位于点北偏西方向，点位于点北偏东方向，经测量得米，米，求小池塘的边的长．（参考数据：，，，，结果精确到0.1米） 【答案】小池塘的边的长约为42.1米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，数形结合、正确计算是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到，，然后解直角三角形求出，然后求出，，然后在中，利用求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， 米，． 由题意知，， 是等腰直角三角形， ， （米）， 米，（米）． 在中，， （米）， （米）． 答：小池塘的边的长约为42.1米． 33．（2025·甘肃陇南·二模）某校进行应急演练，处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的救护人员立即出发，计划由处的救护人员赶到处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，到达处急救中心接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上．求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】米． 【分析】本题考查了解直角三角形及其应用．过点A作的垂线，交的延长线于点D，先解得到米，米，再解得到米即可得到答案． 【详解】解：过点A作的垂线，交的延长线于点D， 由题意可知，，，米， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴米，米， 在中，米， ∴米． 34．（2025·甘肃白银·二模）数学兴趣小组想测量会宁县会师门的高度（如图1），测量小组将无人机在点处竖直上升后飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，如图2，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处分别测得塔顶和点的俯角均为，点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．根据以上数据，求会师门的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】古塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交的延长线于点F，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交的延长线于点F， 由题意得：， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， ∴古塔的高度约为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$