专题07 尺规作图、图形的变化（8大题型）（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题07 尺规作图、图形的变化 题型概览 题型01 作角平分线 题型02 作垂线 题型03 平移 题型04 利用轴对称的性质求解 题型05 画轴对称图形 题型06 旋转的性质 题型07 中心对称 题型08 投影与视图 ( 题型01 )作角平分线 1．（2025·甘肃·二模）如图，已知． (1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的度数． 2．（2025·甘肃·二模）如图，在中，， (1)在边上找一个点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． ( 题型02 )作垂线 3．（2025·甘肃定西·二模）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题： 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交于点D，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． (1)请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，则四边形的面积是__________． 4．（2025·甘肃平凉·二模）【问题背景】在古代文明中，古埃及人就已经运用了一些类似尺规作图的方法来进行土地测量和建筑设计．古巴比伦人也在一定程度上使用简单的工具进行几何图形的构建． 【实践与操作】如图，在中，， (1)请用尺规作边上的高，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：若，，求的长． 5．（2025·甘肃·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 6．（2025·甘肃白银·二模）数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题．化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形． 如图，已知矩形，通过尺规作图完成“化矩形为正方形”问题．以下为作图过程： ①以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点； ②分别以点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，连接交于点，则为的中点； ③以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点； ④以为边，在边右侧作正方形，即“化矩形为正方形”． (1)请按照作图过程，用无刻度的直尺和圆规完成作图．（保留作图痕迹） (2)根据已补充完整的图形解决问题： 在矩形中，若，，则________，________，进而求得正方形的边________．由此可得，即达到“化矩形为方”的目的． 7．（2025·甘肃陇南·二模）如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上找一点（点，不重合），使得为等腰三角形（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明：． ( 题型03 )平移 8．（2025·甘肃·二模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形． (1)将先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到； (2)将绕格点O顺时针旋转，得到． 9．（2025·甘肃武威·二模）的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． (1)将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到； (2)画出关于点成中心对称的； 10．（2025·甘肃·二模）如图，在的网格中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为，，，且点与点关于原点对称． (1)请在图中画出； (2)连接，，求的面积． ( 题型0 4 )利用轴对称的性质求解 11．（2025·甘肃·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（   ） A． B． C．2 D． 12．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ． 13．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )画轴对称图形 14．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)画出关于轴对称的图形； (3)画出绕点顺时针旋转后的图形． 15．（2025·甘肃·二模）如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图． (1)若与关于直线成轴对称，作出． (2)作线段关于点对称的线段． (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形． ( 题型0 6 )旋转的性质 16．（2025·甘肃·二模）如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 17．（2025·甘肃·二模）如图，把以点B为中心顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D、E，且点D恰好在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·甘肃平凉·二模）【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，点E、F分别在边上，连接，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在正方形中，，在四边形中，，，连接交边于点M，交边于点N，连接，求的周长． 19．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，是的中点，将绕点旋转得到， 连接．当 时，的长为 ． 20．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，则的度数为 ． 21．（2025·甘肃武威·二模）已知点是菱形边的中点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，使点A的对应点E落在线段上，边经过点．若，求的长． 22．（2025·甘肃·二模）如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·甘肃·二模）如图，是正方形的对角线，将绕着点A逆时针旋转得到． (1)求证：B，D，E三点共线； (2)连接，交于点G，求的度数． 24．（2025·甘肃·二模）如图，是等腰直角三角形的边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． ( 题型0 7 )中心对称 25．（2025·甘肃武威·二模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 26．（2025·甘肃武威·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 27．（2025·甘肃·二模）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 28．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕原点逆时针旋转，画出旋转后的； (2)若是内部的任意一点，则其在内部的对应点的坐标为_____； (3)画出关于点成中心对称的． 29．（2025·甘肃·二模）如图，在中，已知点，，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的． 30．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 31．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．将关于原点中心对称后得到，且点，，的对应点分别为，，． (1)请在图中画出； (2)点的坐标为______________． ( 题型0 8 )投影与视图 32．（2025·甘肃平凉·二模）如图所示的直三棱柱的主视图是（   ） A． B． C． D． 33．（2025·甘肃·二模）如图是一个已知表面积大小的长方体（长、宽、高均不相等，且长度未知），由8个大小相同的这种长方体搭成的几何体中，能求得其表面积的是（    ） A． B． C． D． 34．（2025·甘肃·二模）如图所示的零件的俯视图是（   ） A． B． C． D． 35．（2025·甘肃·二模）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·甘肃·二模）某几何体的三视图如图所示，则几何体为（   ） A．圆锥 B．四棱锥 C．圆柱 D．四棱柱 37．（2025·甘肃·二模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·甘肃·二模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 39．（2025·甘肃白银·二模）“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料．如图，这是某种型号的“月壤砖”的示意图，其主视图是（   ） A． B． C． D． 40．（2025·甘肃·二模）有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 41．（2025·甘肃·二模）下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其俯视图为（   ）    A．   B．   C．   D．   2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 尺规作图、图形的变化 题型概览 题型01 作角平分线 题型02 作垂线 题型03 平移 题型04 利用轴对称的性质求解 题型05 画轴对称图形 题型06 旋转的性质 题型07 中心对称 题型08 投影与视图 ( 题型01 )作角平分线 1．（2025·甘肃·二模）如图，已知． (1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； （2）由，，证明， 可得，，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键． 2．（2025·甘肃·二模）如图，在中，， (1)在边上找一个点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）由勾股定理求得，根据角平分线的性质得，即可求得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：在中，， 过点作，垂足为， 由（1）可得：，， ， 设，则， 在中，， 解得：， ． 【点睛】本题考查了作图-角平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． ( 题型02 )作垂线 3．（2025·甘肃定西·二模）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题： 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交于点D，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． (1)请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，则四边形的面积是__________． 【答案】(1)图见解析 (2)80 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作线段，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据题干给出的作图方法作图即可； （2）证明四边形为菱形，菱形的性质结合勾股定理，求出菱形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：根据作图可得，垂直平分， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：80． 4．（2025·甘肃平凉·二模）【问题背景】在古代文明中，古埃及人就已经运用了一些类似尺规作图的方法来进行土地测量和建筑设计．古巴比伦人也在一定程度上使用简单的工具进行几何图形的构建． 【实践与操作】如图，在中，， (1)请用尺规作边上的高，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图作图—作垂线，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作的垂线即可得解； （2）由勾股定理可得，再由等面积法计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为边上的高． （2）解：，，， ， ， 即， ． 5．（2025·甘肃·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：A． 6．（2025·甘肃白银·二模）数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题．化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形． 如图，已知矩形，通过尺规作图完成“化矩形为正方形”问题．以下为作图过程： ①以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点； ②分别以点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，连接交于点，则为的中点； ③以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点； ④以为边，在边右侧作正方形，即“化矩形为正方形”． (1)请按照作图过程，用无刻度的直尺和圆规完成作图．（保留作图痕迹） (2)根据已补充完整的图形解决问题： 在矩形中，若，，则________，________，进而求得正方形的边________．由此可得，即达到“化矩形为方”的目的． 【答案】(1)见解析 (2)2，3， 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、正方形的性质等知识点，掌握基本作图方法是解决本题的关键． （1）根据基本作图方法将所给图形补充完整即可； （2）由作图过程可得是的垂直平分线，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图：正方形即为所求． （2）解：∵， ∴， 由作图过程可知：直线是AE的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，3，． 7．（2025·甘肃陇南·二模）如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上找一点（点，不重合），使得为等腰三角形（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，尺规作图－作垂线，三角形内角和定理． （1）作的垂直平分线，交于点D，连接，此时，为等腰三角形； （2）由（1）知，，则，，由，可求，进而可证． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接，，点D即为所求： ； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ( 题型03 )平移 8．（2025·甘肃·二模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的三个顶点都是格点，请按要求画出三角形． (1)将先上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度，得到； (2)将绕格点O顺时针旋转，得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照几何变换确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到几何变换后的图形． （1）依据平移的方向和距离，即可得到； （2）依据旋转方向，旋转角度以及旋转中心，即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 9．（2025·甘肃武威·二模）的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图． (1)将向左平移三个单位长度，再向下平移个单位长度得到； (2)画出关于点成中心对称的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了图形的平移，中心对称图形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图形平移的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 10．（2025·甘肃·二模）如图，在的网格中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为，，，且点与点关于原点对称． (1)请在图中画出； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题考查了点关于原点对称的坐标变化规律、图形的平移以及利用割补法求三角形面积，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）由点与点关于原点对称，得，然后得平移规律是：向右平移个单位，向下平移个单位， 按照此平移规律求、，依次连接这三点，即可． （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：画出如图所示； （2）点与点关于原点对称， 点的坐标为， 平移方式为将向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度， 点的坐标为， ． ( 题型0 4 )利用轴对称的性质求解 11．（2025·甘肃·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】当时，取得最小值，设，得到，，得到，即可求出答案． 【详解】解：当时，取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∵将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上． ∴， ∴，， 设，则， 故点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， 即的长为， 故选：A 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质是解题的关键． 12．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是截图关键． 连接交于点，通过直角三角形的性质得，结合折叠的性质证得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 点为的中点，， ， ， ， ， 将沿着折叠，使点落在边的中点处， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：D． ( 题型0 5 )画轴对称图形 14．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)画出关于轴对称的图形； (3)画出绕点顺时针旋转后的图形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查作图——轴对称变换、旋转变换，熟练掌握旋转和轴对称的性质是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中分别画出，，，依次连接即可； （2）根据轴对称的性质，分别画出点，，关于轴对称的对应点，，，依次连接即可； （3）根据旋转的性质，分别连接点与点，，，然后顺时针旋转，画出对应点，，，依次连接即可． 【详解】（1）解：根据题意，如下图所示即为所求： （2）解：分别画出点，，关于轴对称的对应点，，，依次连接， 如下图所示即为所求： （3）解：分别连接点与点，，，然后顺时针旋转，画出对应点，，，依次连接，如下图所示即为所求： 15．（2025·甘肃·二模）如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图． (1)若与关于直线成轴对称，作出． (2)作线段关于点对称的线段． (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形、画旋转图形，解题关键是熟练掌握相关图形的画法． （1）根据轴对称的性质确定、、的对应点，顺次连线即可； （2）先找到、关于点对称的对应点，连线即可； （3）找到、绕点顺时针旋转后的对应点，连线后即可作正方形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：如图，线段及正方形即为所求． ( 题型0 6 )旋转的性质 16．（2025·甘肃·二模）如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再由，，可得． （2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论． 【详解】（1）是等边三角形 ， ， 由旋转的性质得 ∴ ． （2）由旋转的性质得， 是等边三角形， ，， ， ， 17．（2025·甘肃·二模）如图，把以点B为中心顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D、E，且点D恰好在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据旋转的性质、等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质逐项判定即可． 【详解】解：A．由旋转可知，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意； B．∵把以点B为中心顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即B选项正确，符合题意； C．∵， ∴，故该选项错误，不符合题意； D．由不能证明平分，即不能证明，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 18．（2025·甘肃平凉·二模）【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，点E、F分别在边上，连接，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在正方形中，，在四边形中，，，连接交边于点M，交边于点N，连接，求的周长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及正方形、菱形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及正方形、菱形的性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，则可知，进而问题可求证； （2）延长，交于点H，由题意易得四边形是正方形，然后可得，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）， ∴四边形是菱形， ， ∴四边形是正方形， ． 延长，交于点H，如图， 在正方形中，， ， ， ， ． ， ， ， 的周长 ． 19．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，是的中点，将绕点旋转得到， 连接．当 时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；先证明是等腰直角三角形，过点作于点，得出，分当在的上方时，当在的下方时，分别画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，是的中点， ∴， ∵点旋转得到， ∴是等腰直角三角形，， ∵ ∴， ∴， 如图，当在的上方时， ∴在中， ∴， 如图，当在的下方时， 同理可得， 故答案为：或． 20．（2025·甘肃·二模）如图，在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，则的度数为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明，，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 21．（2025·甘肃武威·二模）已知点是菱形边的中点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，使点A的对应点E落在线段上，边经过点．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据形的性质以及旋转的性质得出根据三角形内角和定理得出，即可得证； (2)根据旋转的性质得出，设，在中， ，根据得出，即可求解. 【详解】解：由旋转可知：， ， ， ， ， 又， ， 设，在中，， ， ， ， ， 的长为． 22．（2025·甘肃·二模）如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，等边对等角．根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出，据此求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 23．（2025·甘肃·二模）如图，是正方形的对角线，将绕着点A逆时针旋转得到． (1)求证：B，D，E三点共线； (2)连接，交于点G，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，，，证明为等边三角形，可得，证明，，可得是的垂直平分线，可得，进一步可得结论． （2）由旋转可得：，，，可得，，求解，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ∵由旋转可得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴三点共线． （2）解：∵正方形， ∴，，， 由旋转可得：，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24．（2025·甘肃·二模）如图，是等腰直角三角形的边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义以及和性质等知识．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等腰直角三角形的性质求得值即可求解． 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． ( 题型0 7 )中心对称 25．（2025·甘肃武威·二模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图标不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图标是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图标不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图标既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 26．（2025·甘肃武威·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 27．（2025·甘肃·二模）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别与中心对称图形的识别，根据轴对称图形与中心对称图形定义逐个判断即可得到答案； 【详解】解：A选项图形既是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意， B选项图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意， C选项图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意， D选项图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 28．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕原点逆时针旋转，画出旋转后的； (2)若是内部的任意一点，则其在内部的对应点的坐标为_____； (3)画出关于点成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了画旋转图形以及关于原点对称的图形． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据（1）的结论写出点的坐标即可； （3）先找出的顶点关于点成中心对称的位置，然后再顺次连接即可得出答案． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：若是内部的任意一点，则其在内部的对应点的坐标为； 故答案为：； （3）解：如图所示． 29．（2025·甘肃·二模）如图，在中，已知点，，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了在坐标系中画图形的平移、旋转与轴对称图形，掌握相减变换的性质是解题的关键； （1）根据坐标系中点右移坐标加的特点，画出三个顶点平移后的对应点，再依次连接即可； （2）根据关于x轴对称，点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，确定三个顶点关于x轴对称的坐标并描点，再依次连接即可； （3）根据坐标系中关于原点对称的点的特征：横纵坐标变为其相反数，确定三个顶点绕原点旋转后的坐标并描点，再依次连接即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：如图，为所作． 30．（2025·甘肃·二模）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 31．（2025·甘肃·二模）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．将关于原点中心对称后得到，且点，，的对应点分别为，，． (1)请在图中画出； (2)点的坐标为______________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可得点的坐标为． ( 题型0 8 )投影与视图 32．（2025·甘肃平凉·二模）如图所示的直三棱柱的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的三视图，解题的关键是掌握三视图的概念． 利用三视图的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项不是图形的主视图，故不符合题意； B.该选项是图形的左视图，故不符合题意； C. 该选项是图形的主视图，故符合题意； D. 该选项是图形的俯视图，故不符合题意； 故选：C． 33．（2025·甘肃·二模）如图是一个已知表面积大小的长方体（长、宽、高均不相等，且长度未知），由8个大小相同的这种长方体搭成的几何体中，能求得其表面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查长方体表面积的计算以及对组合体表面积的分析求解能力． 【详解】设小长方体的长、宽、高分别为（ ），已知单个小长方体表面积． A：该组合体表面积．由，可进而求出． B：该组合体表面积 ，仅知道 ，无法由确定． C：该组合体表面积 ，仅根据 ，不能求出． D：该组合体表面积 ，仅由 ，无法得出． 故选：A． 34．（2025·甘肃·二模）如图所示的零件的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可． 【详解】 解：根据俯视图是从上往下看可得出零件的俯视图是， 故选：B 35．（2025·甘肃·二模）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从上面往下看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边往下看，右下是一个正方形，上面一排是三个正方形， 故选：D． 36．（2025·甘肃·二模）某几何体的三视图如图所示，则几何体为（   ） A．圆锥 B．四棱锥 C．圆柱 D．四棱柱 【答案】B 【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】解：主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为四边形的几何体为四棱锥． 故选B 37．（2025·甘肃·二模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，解题的关键是正确地得到几何体的形状，这样才可以求体积．根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 该工件的体积是． 故选：A 38．（2025·甘肃·二模）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 【答案】250 【分析】本题考查中心投影，位似图形的性质，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：250． 39．（2025·甘肃白银·二模）“月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料．如图，这是某种型号的“月壤砖”的示意图，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义进行解答即可． 【详解】 解：的主视图为， 故选：D． 40．（2025·甘肃·二模）有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三视图，理解三视图的定义是解题关键． 根据从上面看到的图形是俯视图，即可得答案． 【详解】 解：的俯视图是， 故选：D． 41．（2025·甘肃·二模）下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其俯视图为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从上往下看到的图形是俯视图，且看不到的轮廓线画为虚线可得答案． 【详解】 解：由图知，几何体俯视图为  ， 故选：D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$