12.4 定理（第2课时）课件 -2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学下册

配套初中数学苏科版 「第12章」定义 命题 证明 12.4 定理 第2课时 1.探索并证明多边形的内角和与外角和定理，体会转化思想在几何 中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的思考认识问题的方法. 2.掌握多边形的内角和与外角和公式，并能用其解决一些简单的 问题. 3.通过动手操作、交流讨论激发学生的学习热情，体验从猜想到 证明的成就感，并从中体会数学学习是一个充满探索的过程. 学习目标 三角形、正方形、长方形的内角和是多少度？ 180° 360° 360° 思考：任意一个四边形的内角和都等于360°吗? 情境导入 你能利用三角形的内角和求四边形的内角和呢？ A B C D 将四边形分割成2个三角形. 180° 180° A B C D 将四边形分割成4个三角形. O 180°× 4-360°=360° 活动一：探究多边形内角和定理 情境导入 你能求出任意一个五边形、六边形的内角和吗？ 活动一：探究多边形内角和定理 五边形的内角和： 180°×5-360°=180°×(5-2)=540°. A B C D E A B C D E F 六边形的内角和： 180°×6-360°=180°×(6-2)=720°. 思考：对于n边形的内角和，你有什么猜想? 探究新知 活动一：探究多边形内角和定理 解：如图所示，在n边形内任取一点P， 连接PA1，PA2，…，PAn. A4 A5 An A1 A2 A3 P 对于n边形的内角和，你有什么猜想? 把n边形分成n个三角形， 所以n边形的内角和n×180°−360°=(n−2)·180°. 还有不同想法吗？ 探究新知 活动一：探究多边形内角和定理 解：如图所示，在n边形边上任取一点P，连接PA1，PA2，PA3，PA6，…，PAn. 对于n边形的内角和，你有什么猜想? A4 A5 An A1 A2 A3 P n边形的内角和：(n-1)×180°−180°=(n−2)·180°. 把n边形分成(n-1)个三角形， 探究新知 活动一：探究多边形内角和定理 解：从n边形的一个顶点引出 条对角线， 对于n边形的内角和，你有什么猜想? A4 A5 An A1 A2 A3 (n−3) (n−3)条对角线把n边形分成 个三角形， n边形的内角和为(n−2)⋅180°. (n−2) 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)⋅180°. 探究新知 活动二：探究多边形外角和定理 多边形有内角，也有外角，如图，延长CD， 得到射线CF，∠EDF是五边形ABCDE的一 个外角. 顺次延长多边形的各边：AB，BC， CD，…，在每个顶点处得到一个外角， 这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 思考：内角和有一般规律，外角和也有一般规律吗? 探究新知 活动二：探究多边形外角和定理 仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和? 还有不同方法吗？ 三角形的外角和 由三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和得： ∠γ= ∠1+ ∠2，∠β= ∠1+∠3，∠α= ∠2+ ∠3 又：∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠γ+∠β+ረα=2（∠1+∠2+∠3）=360°. 探究新知 活动二：探究多边形外角和定理 仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和? 如图，△ABC的3个内角及3个对应外角 共形成3个平角. 因为三角形的内角和为180°， 四边形的外角和等于多少度？ 三角形的外角和 所以三角形的外角和是180°×3-180°=360°. 探究新知 活动二：探究多边形外角和定理 仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和? 如图，四边形ABCD的4个内角及4个对应外 角共形成4个平角. 因为四边形的内角和为360°， 所以四边形的外角和180°×4-360°=360°. 四边形的外角和 思考：五边形的外角和等于多少度？ 六边形呢？ 180°×5-540°=360°. 180°×6-720°=360°. n边形的外角和是多少？ 探究新知 活动二：探究多边形外角和定理 n边形的外角和 仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和? =180°·n-多边形的内角和 =180°·n-180°·(n-2) =180°×2 =360°. 多边形外角和定理：n边形的外角和等于360°. 探究新知   一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是(     ) A.四边形          B.五边形       C.六边形          D.七边形 设这个多边形的边数为n . 由多边形的内角和定理得(n−2)⋅180°=720° ， 解得n=6 .所以选C. C 经典例题 应用新知 一个多边形截去一个内角之后，形成的另一个多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数. 思考：一个多边形截去一个内角，可以怎么截呢？以四边形为例. 三角形 四边形 五边形 思考：一个n边形截去一个内角后，边数有什么变化呢？ 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1. 应用新知 一个多边形截去一个内角之后，形成的另一个多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数. 解：设原多边形的边数为n. ①截取一个内角后形成的多边形的边数为n-1. 根据多边形内角和定理得（n-1-2）×180°=2520°，解得n=17. ②截取一个内角后形成的多边形的边数为n. 根据多边形内角和定理得（n-2)×180°=2520°,解得n=16. ③截取一个内角后形成的多边形的边数为n+1. 根据多边形内角和定理得（n+1-2)×180°=2520°,解得n=15. 原多边形的边数可能为15，16，17. 应用新知 如图所示，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角,若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ______.    如图，因为∠EAB=120°， 所以∠5=180°−∠EAB=180°−120°=60°. 因为多边形的外角和为360°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360−∠5=300° . 300° 5 应用新知 （1）一个多边形的每一个外角都等于30°，它的边数是        ； （2）一个多边形的每一个内角都等于144°，它的边数是         ； 10 12 (1) 如果多边形(边数为n)的每个外角都相等，则n×每个外角的度数=360°． (2) 设此多边形边数为n，可以根据“(n-2)× 180°=用每一个内角的度数×边数n．还可以先求每个外角的度数，再根据n×每个外角的度数360°来求. 应用新知 多边形中小于120°的内角最多有几个? 解：设小于120°的内角有x个， 则这些内角对应的外角和就大于60°x.  ∵多边形的外角和等于360°， ∴60°x＜360°，解得x＜6. ∵x为正整数，∴x=5. ∴多边形中小于120°的内角最多有5个. 课堂练习 限时训练 1.在四边形ABCD中，若∠A与∠C互补， 则它的另一组对角∠B与∠D的关系为            . 互补 A B C D ∵∠A∠B∠C∠D360°， 又∠A∠C  180°， ∴∠B∠D  360°(∠A∠C)  180°. 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组 对角也互补. 总结 课堂练习 限时训练 3.一个多边形的内角和不可能是 （　   ）　 　A.360°　　　　B.910°　　　　C.1080°　　 　D.1800° B 由n边形的内角和为(n−2)⋅180°可知多边形的内角和一定是180的正整数倍. 2.如果一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形的边数是 （　  ）　 　A.8　　　　B.9　　 　　C.10　 　D.11 C 课堂练习 限时训练 F M G E H D A B C 解：由外角的性质可知：∠AGH=∠A+∠B，∠CMG=∠C+∠D，∠EHM=∠E+∠F， 由三角形的外角和为360º，得 ∠AGH+∠CMG+∠EHM=360º． 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360º． 4.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 课堂练习 5.如图，S是六边形草地ABCDEF的边AB上一点，小明从点S出发，沿 着它的边步行1周，仍回到点S处，小明转过的角度是         ；若六边形 草地ABCDEF的每边长为5米，小明走了       米. 限时训练 360° 30 求小明步行六边形草地一周转过的角度 就是求六边形的外角和. 课堂练习 归纳总结 $$