12.4 定理（第1课时）课件-2024-2025学年 苏科版（2024）七年级数学下册

配套初中数学苏科版 「第12章」定义 命题 证明 12.4 定理 第1课时 1.了解定理、推理的意义，初步理解定理在公理体系中的作用. 2. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理. 3.掌握三角形内角和定理及其推论，并会利用它们进行证明或计算. 4.继续感受数学的严谨性和数学结论的确定性，树立言之有理、落笔有据的推理意识. 学习目标 三角形三个内角的和是多少？ 三角形的内角和等于180°. 测量法： 思考：你还记得这个结论是如何探索的吗？ 60°＋48°＋72°＝180° 48° 72° 60° 情境导入 撕角法： 这种“撕角”的办法，其基本思 路是：把三角形的三个内角“搬” 到一起组成一个平角. 三角形三个内角的和是多少？ 三角形的内角和等于180°. 思考：你还记得这个结论是如何探索的吗？ 情境导入 活动一：探究三角形内角和定理 证明：三角形三个内角的和等于180°. 思考：证明命题的基本步骤是什么？ 1.理解题意，分清命题的已知条件，求证结论. 2.需要画图的画出图形，写出已知、求证. 3.写出证明过程. 证明的一般步骤 探究新知 从“撕角”拼图得到启发，需要添加辅助线， 将三个角合并成一个平角． 活动一：探究三角形内角和定理 A B C 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：三角形三个内角的和等于180°. 过某一顶点作该顶点所对的边所在直线的平行 线，利用平行线的性质，将三个角合并成一个平角． 探究新知 活动一：探究三角形内角和定理 A B C 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. D E 证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB. ∵CE∥AB， ∴∠1= ∠A (两直线平行，内错角相等)， ∠2= ∠B (两直线平行，同位角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB =180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换). 2 1 你还能用其他方法证明 三角形内角和定理吗? 探究新知 活动一：探究三角形内角和定理 A B C 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. F E 证明：过点A作EF∥BC，如图. ∵EF∥BC， ∴∠B =∠2(两直线平行，内错角相等)， ∠C =∠1(两直线平行，内错角相等). ∵∠2+∠1+∠BAC = 180°(平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换). 2 1 探究新知 活动一：探究三角形内角和定理 A B C 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. E 证明：过点A作AE∥BC，如图. ∵AE∥BC， ∴∠B =∠EAB (两直线平行，内错角相等), ∠EAC+∠C =180°(两直线平行，同旁内角互补) , ∴∠EAB +∠BAC +∠C =180°. ∴∠B +∠BAC +∠C =180°(等量代换). 探究新知 活动一：探究三角形内角和定理 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 运用平行线的性质，将三角形的三个角转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法. 总结 A B C D E 2 1 A B C F E 2 1 E A B C 探究新知 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. A B C 符号语言： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据. 活动一：探究三角形内角和定理 探究新知 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角， ∠A，∠B 是与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD=∠A+∠B. ∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义)， ∠A+∠B+∠ACB =180°(三角形内角和定理)， ∴∠ACD =180°－∠ACB，∠A+∠B=180°－∠ACB(等式的性质). ∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换). 证明： 活动二：探究三角形内角和定理的推论 探究新知 根据三角形内角和定理推出了一个新结论. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形内角和定理的推论 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论. 它和定理一样,也可以作为后续证明的依据 . 符号语言： ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD=∠A+∠B. 活动二：探究三角形内角和定理的推论 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 注意 探究新知 拓展 名称 定义 作用 定理 推论 人们在长期生产和生活实践中总结出来的，公认的一些真命题称为基本事实. 基本事实是不需要推理论证的真命题，也可以作为判定其它命题真假的依据. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理. 由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论. 定理、推论和基本事实可以 作为后续证明的依据. 活动二：探究三角形内角和定理的推论 探究新知 经典例题 如图， ∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度? 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和得: ∠1= ∠ABC+ ∠ACB， ∠2= ∠BAC+ ∠ACB， ∠3= ∠ABC+ ∠BAC. 又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180 °(三角形内角和定理)， ∴∠1+∠2+∠3=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=360 °(等式的性质). 应用新知 要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 经典例题 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. A C D B E 如何利用“同位角相等”或 “同旁内角互补” 证明？ 应用新知 要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 经典例题 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. A C D B E 证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和)，∠B=∠C (已知)，∴∠EAC=2∠C(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知).∴∠EAC=2∠DAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180°,即 ∠B+∠DAB =180°(等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行). 应用新知 要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 经典例题 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. A C D B E 应用新知 1. 已知：如图，AC，BD相交于点O. 求证：∠A+∠B = ∠C+∠D. 证明：在△ABO中， ∠A+∠B+∠1 =180°， ∴∠A+∠B=180 ° －∠1. 同理：∠C+∠D=180 ° －∠2， 又∵∠1 = ∠2 ， ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D. 1 2 你还能用其他方法证明? 课堂练习 1. 已知：如图，AC，BD相交于点O. 求证：∠A+∠B = ∠C+∠D. 证明： ∵∠BOC是△ABO的外角， ∴∠BOC=∠A+∠B. 同理可得∠BOC= ∠C+∠D， ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D. 课堂练习 2. 写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明. 解：逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形. 这个逆命题是真命题. 已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°.求证：△ABC是直角三角形. 证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠C=180°－∠A－∠B. ∵∠A＋∠B=90°， ∴ ∠C=90°，即△ABC是直角三角形. 课堂练习 限时训练 1. 在△ABC中，若∠C=40°，∠A:∠B=1:6，则∠A等于（　　） A．20° B．120° C．40° D．100° A 2.如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于 ( ) A.60° B.37° C.63° D.26° F A B E C D D 课堂练习 限时训练 3. 如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=40°，∠AOB=75°， 则∠C=________°. 65 在△AOB中，∠A+∠B+∠C=180°且∠A=40°，∠AOB=75°， ∴ ∠B=180°－∠A－∠AOB=65°， ∵AB∥CD，∴∠C=∠B =65°. 课堂练习 限时训练 4.如图，已知CE⊥AB，MN⊥AB，∠EDC+∠ACB=180°. 求证:∠1=∠2. 解：∵CE⊥AB，MN⊥AB， ∴MN // CE（垂直于同一条直线的两直线平行）， ∴∠2=∠BCE（两直线平行，同位角相等）. ∵∠EDC+∠ACB=180°. ∴ED//BC（同旁内角互补，两直线平行）, ∴∠1=∠BCE（两直线平行，内错角相等）, ∴∠1=∠2. 总结 要说明两个角相等，可借助平行线的性质，通过第三个角进行等角转化. 课堂练习 归纳总结 $$