12.4 定理（第1课时）教案 2024-2025学年 苏科版（2024）七年级数学下册

第12章 定义 命题 证明 12.4定理 第1课时   一、教材分析 本节课具有重要的教学价值，它不仅是数学知识体系中的关键环节，更是培养学生逻辑思维和推理能力的重要载体．教材通过精心设计的例题和练习，引导学生逐步理解定理的内涵和证明方法，帮助学生建立起严谨的数学思维模式．例如，在学习三角形内角和定理时，教材引导学生回忆小学探究三角形内角和定理的过程，引出本节课证明是三角形内角和的思路，让学生更容易添加辅助线的必要性，又利用三角形内角定理得到三角形内角和定理的推论,让学生更好的理解推论的含义.在教学过程中，教师需要注重引导学生理解定理的条件和结论，帮助学生掌握定理的证明思路和方法．教材中的定理证明部分，采用了多种证明方法，教师可以通过讲解和示范，让学生学会如何运用这些方法进行推理和证明，培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力．同时，教师还应注重引导学生将定理应用到实际问题中，帮助学生理解定理的实用性和价值．教师应充分挖掘教材资源，精心设计教学活动，引导学生深入理解和掌握定理知识，提高学生的数学学习能力和综合素质．   二、学情分析 学生已经具备了一定的数学基础知识，如基本的几何图形概念、简单的代数运算等，这些为理解定理的表述和应用奠定了初步基础．然而，对于定理的严谨性、逻辑性和抽象性，部分学生可能会感到陌生和困惑． 从学习能力来看，学生在思维活跃度和学习积极性方面表现出明显的个体差异．一些学生能够较快地接受新知识，通过自主探究和小组讨论，能够主动发现定理的应用场景，并尝试运用定理解决简单的实际问题．然而，也有部分学生在学习过程中较为被动，对定理的理解停留在表面，难以将其与实际问题联系起来．在课堂练习中，这些学生往往需要教师的反复指导和提示，才能逐步掌握定理的应用方法． 在学习态度方面，大部分学生对数学学习持有积极的态度，但也有少数学生对数学存在畏难情绪．在学习定理时，他们可能会因为遇到抽象的概念和复杂的证明过程而产生抵触心理，其严谨的证明过程和多种判定方法可能会让学生感到压力较大，从而影响学习效果．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习态度，通过创设生动有趣的情境、设计富有挑战性的任务等方式，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服畏难情绪，增强学习信心，从而更好地掌握定理知识，提高数学素养．   三、学习目标 　　1.了解定理、推理的意义，初步理解定理在公理体系中的作用. 　　2. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理. 　　3.掌握三角形内角和定理及其推论，并会利用它们进行证明或计算. 　　4.继续感受数学的严谨性和数学结论的确定性，树立言之有理、落笔有据的推理意识.   四、教学重难点 重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理. 难点：掌握三角形内角和定理及其推论，并会利用它们进行证明或计算   五、教学过程 · 情境导入 问题：三角形三个内角的和是多少？ 答：三角形的内角和等于180°. 思考：你还记得这个结论是如何探索的吗？ 答：测量法：任意画一个三角形，用量角器量出各内角的度数，并求它们的和为180°． 撕角法： 师小结：这种“撕角”的办法，其基本思路是：把三角形的三个内角“搬”到一起组成一个平角. 师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答. 设计意图：引导学生回顾原来的探究与验证三角形角和的过程，力图从验证活动中获取证明三角形内角的的证明思路. · 新知探究 活动一：探究三角形内角和定理 问题：证明“三角形三个内角的和等于180°. 思考：证明命题的基本步骤是什么？ 答： 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 分析：从“撕角”拼图得到启发，需要添加辅助线，将三个角合并成一个平角．过某一顶点作该顶点所对的边所在直线的平行线，利用平行线的性质，将三个角合并成一个平角． 证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB. ∵CE∥AB， ∴∠1= ∠A (两直线平行，内错角相等)， ∠2= ∠B (两直线平行，同位角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB =180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换). 师追问：你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗? 答： 证明：过点A作EF∥BC，如图. ∵EF∥BC， ∴∠B =∠2(两直线平行，内错角相等)， ∠C =∠1(两直线平行，内错角相等). ∵∠2+∠1+∠BAC = 180°(平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换). 证明：过点A作AE∥BC,如图. ∵AE∥BC, ∴∠B =∠EAB (两直线平行，内错角相等), ∠EAC+∠C =180°(两直线平行，同旁内角互补) ,即∠EAB +∠BAC +∠C =180°. ∴∠B +∠BAC +∠C =180°(等量代换). 师总结：运用平行线的性质，将三角形的三个角转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理．定理可以作为证明后续命题的依据． 师生活动：师生共同完成，互动交流． 设计意图：感悟证明方法的多样性．如果时间允许，教师可引导学生反思、评价自己或他人的推理过程，在探求多种思路中，重点是理解定理的意义和作用，掌握证明的形式与规则．理解“定理”的描述性定义.从理论上看，所有经过证明的真命题都可以作为定理，为了简化理论体系，教材会对定理有所选择，选择的依据是《课标（2022年版）》和教学的必要性. 活动二：探究三角形内角和定理的推论 问题：证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 答： 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A，∠B 是与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义)， ∠A+∠B+∠ACB =180°(三角形内角和定理)， ∴∠ACD =180°－∠ACB， ∠A+∠B=180°－∠ACB(等式的性质). ∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换). 师总结：们根据三角形内角和定理推出了一个新结论. 由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.它和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD=∠A+∠B. 注意：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 拓展：人们在长期生产和生活实践中总结出来的，公认的一些真命题称为基本事实.基本事实是不需要推理论证的真命题，也可以作为判定其它命题真假的依据. 师生活动：学生先独立思考，学生代表回答，然后教师写在黑板上，师给予适当的评价. 设计意图：让学生进一步体会定理是后续推理的依据，数学中，我们常常把由定理直接推出的、重要的真命题作为推论，推论的作用与定理一样，可以作为后继推理的依据．进一步认清三角形的外角，借用三角形内角和推论对于解决与外角相关的证明和计算尤为重要. · 应用新知 例1 如图， ∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度? 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得: ∠1= ∠ABC+ ∠ACB， ∠2= ∠BAC+ ∠ACB， ∠3= ∠ABC+ ∠BAC. 又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180 °(三角形内角和定理)， ∴∠1+∠2+∠3=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=360 °(等式的性质). 师总结：三角形的外角和为360°. 例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 分析：要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 证明：∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)， ∠B=∠C (已知)， ∴∠C=∠EAC(等式的性质). ∵AD平分∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行). 师追问：如何利用“同位角相等”或“同旁内角互补” 证明？ （利用同旁内角互补证明）∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和)，∠B=∠C (已知)， ∴∠EAC=2∠C(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知).∴∠EAC=2∠DAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180°,即 ∠B+∠DAB =180°(等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行). （利用同位角证明）证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和)，∠B=∠C (已知)， ∴∠B=∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠EAD=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠EAD=∠B(等量代换). ∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行). 师生活动：学生先独立思考，完成在练习本上，然后师生共同校对答案． 设计意图：通过例题讲解，帮助学生熟练应用三角形内角和定理及其推论解决问题，数形结合，培养学生的分析和解决问题的能力，同时加深对三角形内角和定理及其推论的理解． · 课堂练习 1. 已知：如图，AC，BD相交于点O.求证：∠A+∠B = ∠C+∠D. 2. 写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明. 　　　答：1. 证明：（方法一） 在△ABO中， ∠A+∠B+∠1 =180°， ∴∠A+∠B=180 °－∠1. 同理：∠C+∠D=180 °－∠2， 又∵∠1 = ∠2 ， ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D. 证明：（方法二） ∵∠BOC是△ABO的外角， ∴∠BOC=∠A+∠B. 同理：∠BOC= ∠C+∠D. ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D. 2. 逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 这个逆命题是真命题. 已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°且∠A＋∠B=90°， ∴ ∠C=180°－∠A－∠B=90°， 即△ABC是直角三角形. 师生活动：学生独立完成，教师批阅. 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用. · 限时训练 1.在△ABC中，若∠C=40°，∠A：∠B=1：6，则∠A等于（　　） A．20° B．120° C．40° D．100° 2.如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于 ( ) 3. 如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=40°，∠AOB=75°，则∠C= °. 4.如图，已知CE⊥AB，MN⊥AB，∠EDC+∠ACB=180°. 求证:∠1=∠2. 答：1.A 2.D 3.65° 4.解：∵CE⊥AB，MN⊥AB， ∴MN // CE（垂直于同一条直线的两直线平行）， ∴∠2=∠BCE（两直线平行，同位角相等）. ∵∠EDC+∠ACB=180°. ∴ED//BC（同旁内角互补，两直线平行）, ∴∠1=∠BCE（两直线平行，内错角相等）, ∴∠1=∠2. 师生活动：学生独立完成，教师批阅. 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用. · 课堂小结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.   六、板书设计 第1课时 学科网（北京）股份有限公司 $$