微专题03 三角形外角和定理九大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

微专题03 三角形的外角和定理九大题型 题型一 三角形的外角定义 1. 外角：三角形一边与另一边延长线组成的角； 2. 特征：顶点在三角形顶点，一边为边、一边为延长线； 3. 一个三角形有6 个外角，3 对相等。 1．下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可． 【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意； 故选D． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，分别是，上的点，与交于点，下列是的外角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的定义，掌握三角形的外角是解题的关键； 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，可知是的外角，即可解决． 【详解】解：∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， ∴是的外角， 故选：B． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角定义．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，由此即可得到答案． 【详解】解：图形中是的外角的是． 故选：B． 4．如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断． 【详解】解：属于△ABC外角的有∠4共1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 5．如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    【答案】 4 【分析】本题考查了三角形的认识及三角形外角的定义，熟记三角形的定义：“三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”及三角形外角的定义：“三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角”是解题的关键． 【详解】解：根据图形可得：是和的外角； 以为一边长的三角形有：，，，，共4个； 故答案为：；；4． 题型二 由三角形的外角性质求角的度数 1. 核心性质：外角 = 不相邻的两个内角和； 2. 外角大于任意一个不相邻内角 3. 直接代入已知角，或设未知数列方程求解。 1．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质，即“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，由此求解即可． 【详解】解：∵，， 又∵是的一个外角， ∴， ∴． ∴的度数为． 故选：A． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角，即，根据，等量代换，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是上的一点，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，掌握相关性质定理是解题的关键．先根据内角和定理求出和的度数，再利用外角性质求解的度数，进而得解． 【详解】解：，， ， 又，， ， ， ． 5．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段： （1）由三角形外角的定义及性质可得再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 题型三 三角形外角的实际应用 1. 把实际图形抽象为三角形外角模型； 2. 识别外角、内角，套用外角性质； 3. 列式计算，注意单位和实际意义。 1．（2025·河北唐山·二模）如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得，，则直线与所夹锐角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了三角形外角的性质，根据直线与所夹锐角的大小求解即可． 【详解】解：∵，， ∴直线与所夹锐角的大小， 故选：D． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据平行线的性质定理得到，再由三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（2026·山西太原·一模）如图1，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点E，根据两直线平行，同位角相等得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴ 4．（2025·山西太原·一模）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长交n于K，由三角形的外角性质得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：延长交n于K， ∵平面镜与挡板n形成的锐角为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．（2024·湖北荆州·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行同旁内角互补是本题的关键． 由于平行，，已知 ，可得的度数，又因，可得的度数，对顶角相等，可得的度数． 【详解】解：由于平行，， ， ， ， ， ， 故选：C． 题型四 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 1. 平行线性质：同位角、内错角相等，同旁内角互补； 2. 找外角与平行线形成的等角关系； 3. 结合 “外角 = 两不相邻内角和” 计算。 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·月考）如图，，与交于，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得，再根据三角形外角的性质即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的度数是． 故选：B． 2．（2025·江苏南通·二模）如图，中，，点B在直线b上．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查的是平行线的性质，三角形外角性质，先根据平行线的性质得出，再由三角形外角即可得出结论． 【详解】解：延长交直线b于， ∵，， ∴， ∵中，， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，直线，点A在直线上，点在直线上，且，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，角平分线定义，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，由，，可得，通过平行线的性质可得，最后通过角平分线定义和三角形外角性质即可求解； 【详解】解：延长交直线于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：． 4．（23-24七年级下·江苏徐州·周测）如图，直线，在中，点在直线上，若，，则 __________． 【答案】23 【分析】由平行线的性质可得，再根据三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，的平分线交于点D，E为边上一点，连接． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的判定，三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是关键； （1）由角平分线的定义得，结合得，由平行线的判定即可证明； （2）在中，由，可得，结合，可求得的度数，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 即， ∵， 解得：． ∵是的外角， ∴． 题型五 由三角形的外角性质解决翻折中的问题 1. 翻折前后对应角相等； 2. 标出相等角，找到外角； 3. 利用外角性质和内角和 180° 列方程。 1．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（　　）度． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质：两个底角相等，及三角形内角和定理．求得角之间的关系式正确解答本题的关键．把图展开后，可知，，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得的度数． 【详解】解：如图： 由题意知：， ∵， ∴，即， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对折的性质，三角形的外角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握对折的性质是解题的关键． 先由题意易得，由对折的性质可得，，再由三角形的外角的定义可得，最后由三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，沿所在直线对折得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角定理，三角形的外角性质，由折叠得，得出，利用外角性质求出结论． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴ ， 故答案为：C． 4．如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【答案】38 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形的外角，根据折叠的性质，求出，三角形的内角和与外角的性质，分别求出，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，，， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：38． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 题型六 由三角形的外角性质求三角板中角的度数 1. 熟记三角板角度：30°、60°、90°；45°、45°、90°； 2. 找出图形中的外角和内角； 1．（2025·河南平顶山·一模）一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由图可得，，再利用三角形外角性质计算即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据平行线的性质，外角的性质解题即可． 【详解】解：如图：设与相交于点G， ， ， ∵， ， 故选：A． 3．（2025·江苏苏州·二模）如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，先根据三角形的外角的性质得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·四川自贡·期末）把矩形小尺与直角三角板按如图放置，，，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质、三角形外角的性质，根据四边形是矩形，可知，根据直角三角形两锐角互余可知，根据三角形外角的性质可以求出． 【详解】解：如下图所示， 四边形是矩形， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 故选：C． 5．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 【答案】15 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 题型七 三角形的外角性质与角平分线的综合 1. 角平分线把角分成两个相等的角； 2. 用外角性质表示外角 = 两内角和； 3. 代入角平分线关系，化简求解。 1．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角，运用方程思想是解题的关键；设，根据三角形的内角和定理，三角形的外角分别求出 ， ，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ， ， ，， ， ，分别是的外角，的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，求出，则，即可求解． 【详解】 解：平分，平分， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【分析】由E为角平分线的延长线上一点，得，则，因为，所以，由于点D，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C． (1)如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．通过知识的综合运用，帮助探究出点A、B运动过程中的度数变化规律． （1）根据题意，研究当时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是利用角平分线性质转化角的关系，结合三角形内角和定理推导． （2）本题需探究当且平分时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是通过角平分线性质和邻补角关系，建立与的直接联系． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴． 题型八 与三角形的外角性质有关的新定义问题 1. 读懂题目新定义，转化为外角相关模型； 2. 套用外角性质、内角和定理； 3. 按定义列式、推导、验证。 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【详解】（1）解： 为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【答案】（1）①是；②见解析；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意． （1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“优美三角形”的概念判断； ②根据“优美三角形”的概念证明即可； （2）根据比较的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）①解：， ， ， ， 为“优美三角形”， 故答案为：是； ②证明：，， ， ， 为“优美三角形”； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“优美三角形”， ， ， ． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 【答案】(1)30°，是 (2)是“灵动三角形” (3)或或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【详解】（1）解: ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为；是； （2）解: 是“灵动三角形” 理由: ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是“灵动三角形”； （3）解: ∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 4．（24-25八年级上·河北张家口·期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 【答案】[理解]20；[应用] ；[拓展] 或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，掌握分类讨论思想、方程思想、数形结合思想成为解题的关键． [理解]设的最小，则，然后根据三角形的内角和即可解答； [应用]由是“二倍角三角形”的最小角，不妨假设，则，，由三角形的内角和得，由此可得出，进而解得，据此即可解答； [拓展]先设，再用的代数式表示出，然后根据“二倍角三角形”的定义进行分类讨论即可解答． 【详解】解：[理解] 设的最小，则， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：20． [应用] 不妨假设，则，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，解得：， ∴的最大取值为． [拓展] 设， ∵为的平分线， ∴， ∵是是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：， 又∵是二倍角三角形， ∴有以下六种情况： ①当时，则，解得：， ； ②当时，则，解得：，不合题意，舍去； ③当时，则，解得：，不合题意，舍去； ④当时，则，此方程无解； ⑤当时，则，解得：， ∴； ⑥当时，则，解得：， ∴． 综上所述：当或或时，是二倍角三角形． 5．（25-26八年级上·全国·寒假作业）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　 ，　　 （填“是”或“不是” “和谐三角形”； （2）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是（2）见解析（3）或者 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或者 或者． 题型九 与三角形的外角性质有关的探究问题 1. 从特殊情况入手，先算简单数值； 2. 观察规律，猜想一般结论； 3. 用外角性质、内角和定理证明猜想。 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和” 是解答本题的关键． （1）利用三角形外角的性质求出的度数，再结合三角形内角和定理计算的度数； （2）连续两次运用三角形外角的性质，进行等量代换，即可完成证明． 【详解】（1）解：，， ， ，且， ． （2）证明：，且， ． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，平分，． (1)若，求的度数； (2)点F在上，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质求得，进而利用三角形的外角性质求解即可； （2）先利用同角的补角相等得到，则，然后利用平行线的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）如图，已知在中，，直线分别交和的延长线于点． (1)若，，求的度数． (2)选择题：与的关系是___________． A．        B． C．        D． 【答案】(1) (2)A 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质得，即可求出答案； （2）先根据三角形的外角的性质得， 再结合可得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 所以A符合题意． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图（1），点D在内部．求证： (1)； (2) (3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，由此即可证明问题； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此即可证明问题； （3）由三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：延长，交于点E，如下图 ， ． （2）证明：如图（1） ， ． （3）解：，理由如下： 连接，如下图 ，， ， ． 5．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 三角形的外角和定理九大题型 题型一 三角形的外角定义 1. 外角：三角形一边与另一边延长线组成的角； 2. 特征：顶点在三角形顶点，一边为边、一边为延长线； 3. 一个三角形有6 个外角，3 对相等。 1．下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，分别是，上的点，与交于点，下列是的外角的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    题型二 由三角形的外角性质求角的度数 1. 核心性质：外角 = 不相邻的两个内角和； 2. 外角大于任意一个不相邻内角 3. 直接代入已知角，或设未知数列方程求解。 1．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是上的一点，，，，求的度数． 5．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 题型三 三角形外角的实际应用 1. 把实际图形抽象为三角形外角模型； 2. 识别外角、内角，套用外角性质； 3. 列式计算，注意单位和实际意义。 1．（2025·河北唐山·二模）如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得，，则直线与所夹锐角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西太原·一模）如图1，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西太原·一模）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·湖北荆州·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 题型四 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 1. 平行线性质：同位角、内错角相等，同旁内角互补； 2. 找外角与平行线形成的等角关系； 3. 结合 “外角 = 两不相邻内角和” 计算。 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·月考）如图，，与交于，，则的度数（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·二模）如图，中，，点B在直线b上．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，直线，点A在直线上，点在直线上，且，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏徐州·周测）如图，直线，在中，点在直线上，若，，则 __________． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，的平分线交于点D，E为边上一点，连接． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 题型五 由三角形的外角性质解决翻折中的问题 1. 翻折前后对应角相等； 2. 标出相等角，找到外角； 3. 利用外角性质和内角和 180° 列方程。 1．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（　　）度． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 题型六 由三角形的外角性质求三角板中角的度数 1. 熟记三角板角度：30°、60°、90°；45°、45°、90°； 2. 找出图形中的外角和内角； 1．（2025·河南平顶山·一模）一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·二模）如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川自贡·期末）把矩形小尺与直角三角板按如图放置，，，若，则为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 题型七 三角形的外角性质与角平分线的综合 1. 角平分线把角分成两个相等的角； 2. 用外角性质表示外角 = 两内角和； 3. 代入角平分线关系，化简求解。 1．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 3．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C． (1)如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 题型八 与三角形的外角性质有关的新定义问题 1. 读懂题目新定义，转化为外角相关模型； 2. 套用外角性质、内角和定理； 3. 按定义列式、推导、验证。 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 4．（24-25八年级上·河北张家口·期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 5．（25-26八年级上·全国·寒假作业）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　 ，　　 （填“是”或“不是” “和谐三角形”； （2）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 题型九 与三角形的外角性质有关的探究问题 1. 从特殊情况入手，先算简单数值； 2. 观察规律，猜想一般结论； 3. 用外角性质、内角和定理证明猜想。 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，平分，． (1)若，求的度数； (2)点F在上，，求证：． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）如图，已知在中，，直线分别交和的延长线于点． (1)若，，求的度数． (2)选择题：与的关系是___________． A．        B． C．        D． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图（1），点D在内部．求证： (1)； (2) (3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 5．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $