精品解析：2025届浙江省绍兴市部分重点中学高三下学期第二次联合调测数学试题

2025届绍兴市部分重点中学第二次联合调测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的 1. 已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知虚数数列，则其前4n项和为（ ） A. B. C. D. 3. 现有某个运算器，输入x后有的概率输出，有的概率输出．将5个这样的运算器串联在一起，初始输入有的概率为1，有的概率为0．则在最后输出为0的条件下，初始输入为1的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆，双曲线．A，B分别为的左，右顶点．过A作直线l与及的右支分别交于点P，Q．若，则Q点的横坐标为（ ） A. B. C. 5 D. 5. 在等腰直角三角形ABC中，．P为其内部一点，满足，，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 在函数中，其定义域内每一个x都有一个确定的y值与之对应．而在绘制其反函数或的图象时可能会出现一个x对应多个y值的情况．此时取|y|最小时所对应的y值，并且在此条件下优先取正数．已知函数，则其定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在△ABC中，．P是其内部一点，满足最小．设．则t的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 8. 已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题： 本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的定义域为，且在定义域内连续．则下列说法正确的是（ ） A. 设的定义域为D，则D B. 设的定义域为D，则D C. 若单调，则单调 D. 一定存在定义域为的偶函数与奇函数，使 10. 某考试有20道三项选择题．某同学通过某种手段提前知道了这20道选择题的答案中没有连续相同的选项．试卷下发后，更是发现自己一题也不会做．于是他按照“没有连续相同的选项”猜答案．设其答对第n题的概率是．则下列说法正确的是（ ） A. P（猜对第n+1题|猜对第n题） B. P（猜对第n+1题|猜错第n题） C. D. 全部猜对的概率为 11. 已知曲线，满足且．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是关于的函数 B. 当时，是关于的函数 C. 曲线C的对称中心为 D. 曲线C与直线相切 三、填空题： 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 甲乙丙丁等二十人排队，并从左至右依次编号1～20．甲乙丙丁所对应的编号为a，b，c，d．则满足c＞b＞a＞d的概率为______． 13. 在椭圆Γ：内有一点．过P作直线，分别与Γ交于A，C与B，D．且．若直线CD的斜率恒为，则Γ的离心率为______．(用k表示) 14. 已知，定义，，，，以此类推．记为，当趋向于时，趋向于_____． 四、解答题： 本大题共 5 小题， 共 77 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四面体中，， （1）证明：． （2）求四面体体积的最大值． 16. 已知函数． （1）设， （i）证明：，并由此求(精确到)． （ii）比较与的大小并说明理由． （2）求证：当趋于0时，． 17. 已知数列满足，且.为等差数列，其前项的和为，有． （1）设． （i）求，并证明为等差数列． （ii）在的前5项中随机取3项，设其小于的项数为X．求X的分布列与数学期望． （2）证明： 18. 在以O为中心的平面直角坐标系X中有圆Г：．A，B，C为Г上三点．过C作AB的平行线交Г于D，过D作BC的平行线交Г于E． （1）若A，C为定点且关于原点对称，求证．直线DE过定点． （2）若A，B，C，D，E互不重合且已知A(0，2)．现有另一平面直角坐标系Y，且X，Y的轴相互平行，．将X中各个点投影至Y中，A，B，C，D，E的投影点分别为A1，B1，C1，D1，E1． （i）若C为定点，B为动点．求证：直线D1E1过定点． （ii）求A1到直线D1E1距离的取值范围． 19. 已知以下定义：①对于集合．．．若,,,．．．则记．．．，②若，满足，则称A为B的伪元素，并记集合B的伪元素个数为W(B)，已知.． （1）若的最大值为3，求A中元素个数． （2）求． （3）的最大值为m，且．集合B为所有满足条件的所构成的集合．当时，求．（允许多次换元表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届绍兴市部分重点中学第二次联合调测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的 1. 已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件. 故选：A 2. 已知虚数数列，则其前4n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列通项得到、、，观察法有，最后应用等比数列的前n项和即可得. 【详解】由题设，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ， 依次类推，， 所以其前4n项和为. 故选：B. 3. 现有某个运算器，输入x后有的概率输出，有的概率输出．将5个这样的运算器串联在一起，初始输入有的概率为1，有的概率为0．则在最后输出为0的条件下，初始输入为1的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意输出结果只能是或者，且当次的输出结果只和输入有关，可以结合数列相关知识计算最后出现某个输出结果的概率，再结合条件概率相关的公式即可得到答案. 【详解】由题意输出结果只能是或者，且每个计算器的输出结果只与输入有关，且上一次的输出即为下一次的输入，可以设第次输入为的概率为，有. 化简得：；构造公比为的等比数列，； 代入可求得：，即；可得：，. 记第一次输入为事件，最后输出为事件. 由已知，代入，，可得. 第一次输入为，最后输出即事件发生的条件下事件发生的概率，可代入，计算，得到. 则已知最后输出结果为，第一次输入为的概率可计算如下： . 故选：C 4. 已知椭圆，双曲线．A，B分别为的左，右顶点．过A作直线l与及的右支分别交于点P，Q．若，则Q点的横坐标为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求出直线方程，分别联立椭圆和双曲线方程得到坐标，再由解出斜率可得. 【详解】 由题意可得直线l的斜率存在，设为，设， 由直线过点可得直线方程为， 联立，消去可得， ，， 代入直线方程可得， 所以 同理，联立，消去可得， ，， 代入直线方程可得， 所以， 因为，所以， 即， 即， 解得， 所以. 故选：D. 5. 在等腰直角三角形ABC中，．P为其内部一点，满足，，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，利用边角关系结合正弦定理建立方程即可求出的正切值. 【详解】 由已知，设，则，， ，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 即， 所以. 故选：A. 6. 在函数中，其定义域内每一个x都有一个确定的y值与之对应．而在绘制其反函数或的图象时可能会出现一个x对应多个y值的情况．此时取|y|最小时所对应的y值，并且在此条件下优先取正数．已知函数，则其定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，令并建立方程，取对数并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】当时，令，则，显然， 两边取对数得，即，令函数， 求导得，当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，解得， 所以所求定义域为. 故选：B. 7. 已知在△ABC中，．P是其内部一点，满足最小．设．则t的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合费马点定理，设，，, ，得到，再结合，结合基本不等式即可求解. 【详解】先证：费马点：如图1，点为内任意一点，连接，当与三个顶点连线的夹角为120°时，的值最小. 注意：上述结论成立的条件是的最大的角要小于，若最大的角大于或等于，此时费马点就是最大角的顶点.（通常只考查三角形的最大顶角小于） 证明：如图2，以为一边向外作等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接．∵为等边三角形，∴，．而， ∴． 在与， ∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接．由△AMB≌△ENB知，． ∵，，∴为等边三角形． ∴．∴． ∴当四点共线时，的值最小． 此时，；；得证； 由已知可得， 即， 所以，整理得， 所以由正弦定理可得， 所以. 所以三个内角都小于， 则由费马点的定义可知， 设，，, ， 则由得， 由余弦定理可得， ， ， 所以由得， 即， 则，且，令，则， 所以， 当且仅当即时，取等号. 所以的最小值为. 故选：C 8. 已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面中过作，连接，根据题设中的数量积可得的轨迹为以为直径的球面，故可求与平面所成角正切值的最大值. 【详解】 在平面中过作，连接， 则四边形为平行四边形，且， 故与平面所成角即为与平面所成的角. 而，故， 故即即，故， 不妨设的边长为， 则的轨迹为以为直径的球面（除去平面中以为直径的圆），如图， 设为的中点，连接， 当在球面上且平面平面时，与平面所成的角最大且为， 此时，故， 故此时， 故选：D. 二、选择题： 本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的定义域为，且在定义域内连续．则下列说法正确的是（ ） A. 设的定义域为D，则D B. 设的定义域为D，则D C. 若单调，则单调 D. 一定存在定义域为的偶函数与奇函数，使 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可判断A；利用复合函数的定义域可判断B；利用复合函数的单调性可判断C；应用奇偶函数分解定理，结合题目条件验证可判断D. 【详解】对于A，设，且，在定义域内连续， 则由得，解得，的定义域为， 因为，故A错误； 对于B，对于复合函数，设，那么，， 由于是使得才能使有意义，而是取自的定义域中 的，所以的定义域一定是的子集，故B正确； 对于C，若的单调递增，设，则， 那么，单调递增； 若的单调递减，设，则， 那么，单调递增，故C正确； 对于D，对称区间上的任意函数均可分解为 ，且，为偶函数， ，且，为奇函数， 时，，满足题意，故D正确. 故选：BCD. 10. 某考试有20道三项选择题．某同学通过某种手段提前知道了这20道选择题的答案中没有连续相同的选项．试卷下发后，更是发现自己一题也不会做．于是他按照“没有连续相同的选项”猜答案．设其答对第n题的概率是．则下列说法正确的是（ ） A. P（猜对第n+1题|猜对第n题） B. P（猜对第n+1题|猜错第n题） C. D. 全部猜对的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】用表示第题答对，设每道题的选项为，在第题的正确答案为的假设下列举即可判断A选项；在第题的正确答案为，第题的正确答案为的假设下列举即可判断B选项；列出即可求出数列是各项均为的常数列，进而判断C选项；利用即可判断D选项. 【详解】用表示第题答对，则表示第题答错，， 设每道题的选项为， 不妨设第题的正确答案为， 则在猜对第题的条件下，该同学第题可能选择或两种情况， 又由没有连续相同的选项可知，第题的正确答案必为中的一个， 则，故A选项正确； 由于没有连续相同的选项，不妨设第题的正确答案为，第题的正确答案为， 则在该同学第题答错的条件下， 该同学这两道题的选项可能为， 其中第题答对的是， 故，故B选项错误； 容易得出，则， 又，则，则数列是各项均为的常数列， 则，故C正确； 全部猜对的概率，故D错误. 故选：AC 11. 已知曲线，满足且．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是关于的函数 B. 当时，是关于的函数 C. 曲线C的对称中心为 D. 曲线C与直线相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，先设，构造函数研究其单调性，由的对应关系可得；B项，令可得至少个值可知；C项，证明即可得；D项，借助方程两边求导，结合切点满足关系式可求切线斜率与直线方程. 【详解】A项，设，则， 则方程可化为， 设，则， 由及且， 则有， 故， 所以函数连续且单调递增， 又当；当， 故由可知，对任意函数值，都有唯一与之对应， 进而给定任意，由可知，都有唯一值与之对应， 即是的函数，故A项正确； B项，取，满足条件及且， 此时曲线，令， 则有，显然是方程的根. 设， 由，， 则函数在区间至少存在一个零点， 综上可知，对曲线，给定，至少存在个的值与之对应， 故不是的函数，故B项错误； C项，设， 由， 则 ，， 故曲线C的对称中心为，C项正确； D项，由方程组化简可得， 则有或 解得，或，其中. 故曲线C与直线存在公共点. 设， 设切点，则， 设，则， 对方程两边关于求导，（其中由A项可知是的函数） 则， 在切点处，代入， 可得， 解得，即在切点处切线的斜率. 又切点也为直线与曲线的公共点，故满足，且， 所以，故曲线在切点的切线斜率， 因此曲线C与直线相切，故D项正确； 故选：ACD. 三、填空题： 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 甲乙丙丁等二十人排队，并从左至右依次编号1～20．甲乙丙丁所对应的编号为a，b，c，d．则满足c＞b＞a＞d的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式，结合排列数的计算即可的答案. 【详解】二十人排队共有种排列方法， 因为甲乙丙丁排列顺序唯一确定，则满足条件的情况数为， 所以满足条件的概率为， 故答案为：. 13. 在椭圆Γ：内有一点．过P作直线，分别与Γ交于A，C与B，D．且．若直线CD的斜率恒为，则Γ的离心率为______．(用k表示) 【答案】 【解析】 【分析】由于，则，设，则，.设出点的坐标，根据向量的倍数关系得出点的坐标之间的关系式，再利用“点差法”得出，结合直线的斜率关系推出，即可得之间的关系，即可求得答案. 【详解】由于，则， 设，则，. 由题意可设，，，，且，， 因为，且，所以，即， 同理有， 将A，B两点坐标代入椭圆方程得，化简得， ，即， 同理，， 由于，，则，所以， 即， 即， ①＋②得，， 即，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知，定义，，，，以此类推．记为，当趋向于时，趋向于_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构建递推式，接着利用三角换元，得出角的关系，继而可化简，根据当趋向于0时，趋向于可求. 【详解】由题知，令，， 则，即， 又，，，， 依此类推，所以可设，，， 则，即， 又，，， 所以，即，， 即 ， 又当趋向于时，趋向于0，趋向于， 趋向于， 故答案为：. 四、解答题： 本大题共 5 小题， 共 77 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四面体中，， （1）证明：． （2）求四面体体积的最大值． 【答案】（1）取中点，连接，因为，所以， 因为，所以，平面， 所以平面，平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，由题意可证得，，再由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理即可得出. （2）设，表示出，设到平面的距离为，由此表示出四面体体积，再由导数求出最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，所以， 设四面体的高为，即到平面的距离为， 所以， 所以四面体体积为： ， 令， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以. 所以. 所以，所以四面体体积的最大值为. 16. 已知函数． （1）设， （i）证明：，并由此求(精确到)． （ii）比较与的大小并说明理由． （2）求证：当趋于0时，． 【答案】（1） （i）由题意得的导数一定存在， 结合导数的定义可得， 则， 故得证. （ii），理由： 由题意得的定义域为， 构造，则， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得， 即，得到，即得证. （2） 我们欲证当趋于0时，，则证即可， 即证即可，故证即可， 则证即可，令，故证即可， 因为，所以，令， 得到，令得，，令得，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，得到时，， 即当时，，故， 可得，故原命题得证. 【解析】 【分析】（1）（i）利用导数的定义结合合理变形得到结论，再利用结论估值计算即可. （ii）合理构造函数，利用导数判断其最大值，最后得到要求证明不等式即可. （2）对原目标式子合理变形，转化为证明，再构造函数并利用导数求出，进而证明出，判断出原目标式子成立. 【小问1详解】 （i）由题意得， 当时，，故， 则，，符合， 因为， 所以， 因为要进行估计，不妨取，所以. （ii）略 【小问2详解】 略 17. 已知数列满足，且.为等差数列，其前项的和为，有． （1）设． （i）求，并证明为等差数列． （ii）在的前5项中随机取3项，设其小于的项数为X．求X的分布列与数学期望． （2）证明： 【答案】（1）（i）因为等差数列，故设其公差为，， 则， 则 ， 则， 解得，故， 因，且，则，， 由此归纳出，现用数学归纳法证明： 当时，满足上式， 假设当时上式成立，即， 则当时，，满足等式， 综上所述，可知， 得， 则， 则，故是等差数列. （ii） 数学期望为 （2）欲证， 只需证， 即， 现证明， 令，则， 则在上单调递减，则，故成立， 因，则，即， 则， 故成立. 【解析】 【分析】（1）（i）设等差数列的公差为，，化简，列出方程组，求解即可求出和，再利用数学归纳法求出，进而求出，最后利用等差数列的定义即可证明； （ii）列出数列的前项，利用排列组合的知识求出分布列，再利用期望公式求解即可； （2）先利用分析法得出需证明，接着证明，即可得出，进而命题得证. 【小问1详解】 （i）略 （ii）由（i）可知，， 其中小于的有项，大于的有项， 则随机变量的可能取值为， ，，， 则的分布列为 则. 【小问2详解】 略 18. 在以O为中心的平面直角坐标系X中有圆Г：．A，B，C为Г上三点．过C作AB的平行线交Г于D，过D作BC的平行线交Г于E． （1）若A，C为定点且关于原点对称，求证．直线DE过定点． （2）若A，B，C，D，E互不重合且已知A(0，2)．现有另一平面直角坐标系Y，且X，Y的轴相互平行，．将X中各个点投影至Y中，A，B，C，D，E的投影点分别为A1，B1，C1，D1，E1． （i）若C为定点，B为动点．求证：直线D1E1过定点． （ii）求A1到直线D1E1距离的取值范围． 【答案】（1）证明： （2）（i）证明： （ii） 【解析】 【小问1详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 【小问2详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 19. 已知以下定义：①对于集合．．．若,,,．．．则记．．．，②若，满足，则称A为B的伪元素，并记集合B的伪元素个数为W(B)，已知.． （1）若的最大值为3，求A中元素个数． （2）求． （3）的最大值为m，且．集合B为所有满足条件的所构成的集合．当时，求．（允许多次换元表示） 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 【小问2详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 【小问3详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $