精品解析：贵州铜仁市2025-2026学年高二下学期期末质量监测数学试题

铜仁市2026年7月质量监测试题 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上. 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚.在试题卷上作答无效. 3．本试题卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回. 第I卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】由，得复数对应的点位于第四象限． 2. 已知集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再根据交集的定义求解. 【详解】由得，所以 即，， 所以． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，，则， 若，则，解得． 4. 若方程表示圆，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 5. 已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用等差数列求和公式及通项公式计算得出通项公式及求和，最后应用二次函数最值计算求解. 【详解】由题意，可求得，， ，故时取的最小值为． 6. 从1，2，3，4，5这5个数字中任取两个不同的数字，事件 “和为偶数”，事件 “积为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，，， 则． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得. 8. 已知奇函数是定义在R上的单调函数.若正实数a，b满足，则的最小值是 （ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数是奇函数及单调性得出，再应用常值代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】∵是定义在R上的奇函数， ∴， 又是定义在R上的单调函数，故，即． 又均为正数，所以， 当且仅当，即时等号成立，取的最小值是 8. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列正确的有（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的对称轴 C. 与有相同的最大值 D. 将的图象向右平移个单位后可得到的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的性质判断各个选项； 【详解】对于A，因为函数与有相同的最小正周期为，A正确； 对于B，函数的对称轴为，解得， 函数的对称轴为，解得， 所以函数与对称轴不相同，B错误； 对于C，函数与有相同的最大值为，C正确， 对于D，将的图象向右平移个单位得到，不是的图象，D错误． 10. 已知事件发生的概率分别为，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时，事件与相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用对立事件概率判断A；由子集关系得交事件概率判断B；拆分事件为与计算判断C；借助概率加法公式求出，对比验证独立关系判断D． 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，由， 得，解得，C正确； 对于D，由， 得，解得， 又， 所以， 所以事件与相互独立，D正确． 11. 已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（ ） A. B. C的渐近线方程为 C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】如图， 由题意可知，可得，，，∴，故A正确． 由渐近线方程为，可得，故B正确． 点到两条渐近线的距离分别为，，∴，故C错误． ∵，∴，∴由面积公式可得的面积为，故D正确． 第II卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则a的值为________ 【答案】3 【解析】 【详解】由随机变量，且，得，所以． 13. 记的内角的对边分别为．已知，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理建立关于的一元二次方程，解出，再根据向量数量积公式计算得到结果． 【详解】由，得， 化简得，解得， 所以． 14. 已知圆锥的底面半径为2，为底面圆心，为圆锥的母线， . 若的面积等于，则该圆锥内切球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据底面条件求出的长度，结合的面积推得圆锥的高与母线长，再利用内切球性质求半径，进而即得. 【详解】由题意可知为等边三角形，∴， 取的中点，则． 连接，由等腰三角形三线合一可知为中边上的高. ∵的面积为，∴． 又垂直于底面，∴由勾股定理可得． 圆锥母线长. 圆锥内切球的半径等于其轴截面的内切圆半径， 而圆锥轴截面恰为等边三角形，边长为，则 等边三角形内切圆半径， 因此球的表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线C： 上一点到准线的距离是3． （1）求； （2）求曲线C在点A处的切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点到准线的距离列方程，解方程即可； （2）求导，根据导数的几何意义求切线方程. 【小问1详解】 由题意可得，准线方程为：， ∴点到准线的距离为， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）可得的方程为， 在C上，∴，． 又，故． 当时，，∴切线方程为：， 当时，，∴切线方程为：. 16. 已知正项等比数列的前n项和为若， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）63 （2）1 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题设结合等比数列的基本量求出，进而结合等比数列求和公式计算即可； （2）结合（1）可得，代入，再根据二项式定理求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，得， 而，则，解得或（舍去）， 故． 【小问2详解】 由（1）可知，， 则 . 17. 如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，． （1）若为线段的中点，在线段上是否存在点，使得、、、四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，说明理由. （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）存在点，使得、、、四点共面 证明如下：取的中点为，连接，则， 又，所以， 故、、、四点共面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据作出平行线可证明四点共面，利用已知的中点，想到找的中点，利用中位线的性质和平行线的传递性证明平行，即可证四点共面； （2）利用所给的线面垂直和线线垂直可找到三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，根据两平面夹角与平面法向量夹角关系计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 平面的一个法向量可取为， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为． 18. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初七的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准.） 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 初七 上映第x天 1 2 3 4 5 6 7 票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 1.8 （1）求这七日票房的第一四分位数； （2）根据数据建立单日票房y关于上映天数x的线性回归方程（其中保留两位小数），并预测初八的票房； （3）在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有2人两部电影均没看过，现从这6人中随机抽取4人，记X为抽取的4人中两部电影都看过的人数，求X的分布列及方差． 参考数据： 参考公式： 【答案】（1）； （2），亿元． （3） 【解析】 【分析】（1）先将单日票房数据升序排列，用样本总量乘以 25% 算出分位数位置，取对应位置数值得到第一四分位数； （2）先算出均值，代入最小二乘公式求出回归系数、截距得到线性回归方程，再把代入方程完成预测； （3）先通过容斥原理算出同时看过两部电影的人数，确定随机变量的取值，用组合公式算出各取值概率写出分布列，再按定义计算期望与方差. 【小问1详解】 将初一到正月初七的单日票房按从小到大排列为：， 计算，所以第一四分位数为第个数； 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 所以回归方程为：，当时，亿元， 【小问3详解】 由题意可知，人中同时看过两部电影的只有人， 所以的可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为： 所以． 则． 19. 一个完美均匀且灵活的项链两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线被称为悬链线．1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程，其中c为参数．当c=1时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数． （1）计算的值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：有唯一的正零点，并比较与的大小． 【答案】（1）1 （2） （3） ， 则，令，解得； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 因为，，， 所以存在唯一的正数，使得， 所以有唯一的正零点且； ∴，即，则， ∴， 令，则，∴，则． 【解析】 【分析】（1）将的取值代入解析式化简求值即可； （2）将解析式进行化简，通过分离参数的方法，求函数的最值进而计算参数的取值范围； （3）根据零点存在定理可得零点必然存在并且可知零点存在范围，根据零点的定义可得到关于的解析式，代入化简并通过作差比较两个式子的大小． 【小问1详解】 由，可得 ，，则； 故； 【小问2详解】 ，不等式恒成立， 则，即； 令，则； 由， 可知在上单调递增，故在处取最大值； 故，故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁市2026年7月质量监测试题 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上. 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚.在试题卷上作答无效. 3．本试题卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回. 第I卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 8 4. 若方程表示圆，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 从1，2，3，4，5这5个数字中任取两个不同的数字，事件 “和为偶数”，事件 “积为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数是定义在R上的单调函数.若正实数a，b满足，则的最小值是 （ ） A. 8 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列正确的有（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的对称轴 C. 与有相同的最大值 D. 将的图象向右平移个单位后可得到的图象 10. 已知事件发生的概率分别为，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时，事件与相互独立 11. 已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（ ） A. B. C的渐近线方程为 C. D. 的面积为 第II卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则a的值为________ 13. 记的内角的对边分别为．已知，，，则_____． 14. 已知圆锥的底面半径为2，为底面圆心，为圆锥的母线， . 若的面积等于，则该圆锥内切球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线C： 上一点到准线的距离是3． （1）求； （2）求曲线C在点A处的切线方程． 16. 已知正项等比数列的前n项和为若， （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，． （1）若为线段的中点，在线段上是否存在点，使得、、、四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，说明理由. （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初七的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准.） 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 初七 上映第x天 1 2 3 4 5 6 7 票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 1.8 （1）求这七日票房的第一四分位数； （2）根据数据建立单日票房y关于上映天数x的线性回归方程（其中保留两位小数），并预测初八的票房； （3）在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有2人两部电影均没看过，现从这6人中随机抽取4人，记X为抽取的4人中两部电影都看过的人数，求X的分布列及方差． 参考数据： 参考公式： 19. 一个完美均匀且灵活的项链两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线被称为悬链线．1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程，其中c为参数．当c=1时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数． （1）计算的值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：有唯一的正零点，并比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $