陕西西安市临潼区华清中学2026届高三下学期第二次自主命题数学试题

华清中学2026届高三下学期第二次自主命题 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人、校对人：高三数学组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知复数是纯虚数，则实数m的值为（ ） A．±6 B．1或6 C．-6 D．1 2．已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 3．已知是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则 等于（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与交于两点，若面积是面积的2倍，则（ ） A． B． C． D． 6. 若圆与交于两点，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 7．甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知向量满足|，向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ） A． B．2 C． D．4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A．平面ABC B． C． D．相交 10．下列结论正确的是（ ） A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于0 D．决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 11．已知点，点为平面上的一个动点，为直线的斜率．定义运算：，则下列说法正确的是（ ） A．若运算⊕为加法，则P点的轨迹曲线关于原点对称 B．若运算⊕为减法，则P点的轨迹为开口向右的抛物线的一部分 C．若运算⊕为乘法，则P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆的一部分 D．若运算⊕为除法，则P点的轨迹为一条直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_______． 13．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______． 14．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用1，2，…，5分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72．6 （1）请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； （2）现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． 参考公式： 16．（15分）在等差数列中，公差，已知成等比数列． （1） 求数列的通项公式； （2） 设，证明：数列的前项和． 17．（15分）已知函数，其中． （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围． 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且． （1）求的方程； （2）过点的直线交于不同的两点于点， ①求面积的最大值； ②判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 19．（17分）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值． 题页翻至末尾，题海跋涉就要告一段落，相信你已做好准备。请记住，人生从无无解难题，前路自有最优答案。祝高考步步皆顺，道道从容，所得皆为最优解。 ——华清中学2026届高三数学组 华清中学2025-2026学年（下）高三年级第二次自主命题 数学参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B A D C A B D ACD AD AC 二、填空题 12．2 13．10.8 14． 三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 15．解：（1）由题意可得：；； 故； ； 则关于的回归直线方程为：． （2）由题意知，随机变量的取值为：0，1，2，3；则： ；； ； 故的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的均值． 16．解： 参考答案（Ⅰ）由，得，解得， 故． 将数列记为， 因为为等比数列，所以公比， 所以．① 又，② 由①②，得． （Ⅱ）因为， 所以， 所以 17．解：（1）当时，，． （ⅰ）因，，所以切线方程为． （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，，不满足题意． 所以，此时． 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即． 此时在上单调递减，在上单调递增． 由题意． 将代入上式整理得：，解得：． 此时，代入后． 化简得：，解得：． 令，其中． 则，所以是区间上的增函数． 所以，代入得到的取值范围是． 18．解：因为椭圆，焦点， ，由轴，点的横坐标为，代入椭圆方程：，，联立方程组：，解得， ∴椭圆的方程为：． （2）由（1）知点，为直线，由，得， 设直线的方程为，， 则联立：， 消元得：， ，所以 由韦达定理： ①， 则， 令，则，所以， 由均值不等式，当且仅当时取等号， ②直线过点和，方程为： 令，得：， 将代入：， 由韦达定理得， 代入化简：， ∴直线恒过定点． 19．解：（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面． （2）由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面． （3）过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前| : 华清中学2026届高三下学期第二次自主命题 数学试题 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 命题人、校对人：高三数学组 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. : p 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=m-7m+6+(m2-36)i是纯虚数，则实数m的值为 : A.±6 B.1或6 C.-6 D.1 2.已知命题p:x∈R,x+1P1;命题q:x>0,x3=x,则 O O A.p和q都是真命题 B.P和q都是真命题 C.p和9都是真命题 D.卫和一9都是真命题 3.已知f)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f,=5-2x,则f(习 等于 : .: B 4 C. 2 4 ,则sina- O 4.已知0<a<n,osg- 2 5 4 A. 2 B. C.35 D. 7√5 10 5 10 10 区 5.已知椭圆C:父+y=1的左、右焦点分别为F,B,直线y=x+m与C交于4，B两点，若 : 3 : △FAB面积是△F,AB面积的2倍，则m= : : 2 A. B. C. 3 3 高三年级数学试题 第1页（共4页) 6.若圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4与C,:(x-2)2+(y+3)2=25交于M,N两点，则四边形MCC2 的面积为 A.4V6 B.8√6 C.26 D.√6 7.甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机 摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用A,A,A表示从甲箱中摸出的球是红 球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正 确的是 A.P4)-=号 B.P国4)=8 C.P(4)号 D.(a) 8.已知向量a,方满足园==2，a-i=2,向量a-c与向量方-c的夹角为无，则a-d的最大 值为 A.3 B.2 c.43 D.4 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， M 9.如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，点P,Q,MN分别是AB,CC,AC1, B BC的中点，则下列说法中正确的有() A.PQ/平面ABC B.MN⊥BC C.PQ⊥平面ABBA1 D.PQ与N相交 10.下列结论正确的是（) A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于0 0-刃 D.决定系数R2=1- =1 可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 20g-列 11.已知点A(-2,0),B(2,0),点P(x,y)(x≠±2)为平面上的一个动点，k为直线的斜率.定义运 算：k4田k=-2,则下列说法正确的是() 高三年级数学试题 第2页（共4页） A.若运算 为加法，则P点的轨迹曲线关于原点对称 B.若运算 为减法，则P点的轨迹为开口向右的抛物线的一部分 C.若运算⊕为乘法，则P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆的一部分 D.若运算⊕为除法，则P点的轨迹为一条直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比 为. 13.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6 则全班50个学生的数学成绩的方差为. 14.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)， 如图4.B是直线 $$y = \frac { 1 } { 2 }$$ 与曲线 y=f(x) 的两个交点，若 $$| A B | = \frac { \pi } { 6 } ，$$ ，则 f(π)= y A B $$\frac { 2 \pi } { 2 }$$ $$\overline { x }$$ 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市 充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量y(单位：万个)，为 方便研究，年份代码用x表示(用1，2，…，5分别表示2021年，2022年，…，2025年)，具 体参考数据如下表： 5 统计量 $$\sum _ { i = 1 } ^ { 5 } x _ { i }$$ $$\frac { I _ { 1 } } { I _ { 5 } } y _ { 1 }$$ $$\frac { 5 } { x = 1 } x _ { i } ^ { 2 }$$ $$\frac { t = 1 } { 5 } x ， y _ { i }$$ x， i 数值 15 21 55 72.6 (1)请根据表中数据，建立y关于 x 的回归直线方程 $$\hat { y } = \hat { b } x + \hat { a } ；$$ (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩 进行检查，记抽到的快充桩个数为 X， ，求X的分布列及均值. 参考公式： i=1 高三年级数学试题 第3页(共4页) : ·: 16.(15分)在等差数列{n}中，公差d≠0，a=a4a6,己知a,a,a%,a,…,a成等比数列. : (1)求数列kn}的通项公式： (2)设b=1og(kn+3),证明：数列 1的前n项和T,<18 11 nba】 1、(15分)已知函数f)=(-alm+号，其中a≥0. 年 (1)当a=0时， (i)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； 张 : (ⅱ)求函数f(x)的单调区间； 河 (2)若f(x)≥0，求a的取值范围. .·.· 游 847分)已知椭圆C客+1a>6>0的左、右焦点分别为-L0,L,0),点M在 游 .: C上，M,上x轴，且 3 S (1)求C的方程； : (2)过点P(4,0)的直线交C于不同的两点A、B,AH⊥MF于点H, ①求△OAB面积的最大值： ②判断直线HB是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 19.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB I BC,AB=2,BC=2√2，PB=PC=√， BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=√5DO,点F在AC上，BF⊥AO. : O O (1)证明：EF//平面ADO: (2)证明：平面ADO⊥平面BEF: (3)求二面角D-AO-C的正弦值. 题页翻至末尾，题海跋涉就要告一段落，相信你已做好准备。请记住，人生从无无解难题， 前路自有最优答案。祝高考步步皆顺，道道从容，所得皆为最优解。 华清中学2026届高三数学组 高三年级数学试题第4页（共4页）