2.1&2.2命题、充分必要条件（题型专练）数学苏教版2019必修第一册

2.1&2.2 命题、充分必要条件 题型一 命题的概念 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 题型二 判断命题的真假 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 题型三 指出命题的条件和结论 1．（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 2．（20-21高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 3．（23-24高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 题型四 已知命题的真假求参数 1．（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海闵行·期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 3．（22-23高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 题型五 判断命题的充分不必要条件 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列用符号“”“”表示正确的是（   ） A．两直线平行同位角相等 B．n是4的倍数是偶数 C．是偶数是偶数 D．四边形对角线互相平分四边形是矩形 2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型六 判断命题的必要不充分条件 1．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·全国·课后作业） “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型七 命题充要条件的判断与证明 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.（2025高三下·甘肃武威·专题练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型八 探求命题为真的充要条件 1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 2（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 题型九 根据命题的充分不必要条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 题型十 根据命题的必要不充分条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 题型十一 根据命题的充要条件求参数 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 题型一 根据命题的充分不必要条件求参数 1．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 2.（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型二 根据命题的必要不充分条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 3.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 题型三 根据命题的充要条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 1．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（多选）（24-25高一下·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 5.（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 7．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 8．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1&2.2 命题、充分必要条件 题型一 命题的概念 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 题型二 判断命题的真假 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【答案】A 【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题. 故选：B 题型三 指出命题的条件和结论 1．（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 2．（20-21高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【答案】答案见解析 【分析】分析出命题的条件、结论即可求解. 【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． （2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分. 3．（23-24高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除， 根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 题型四 已知命题的真假求参数 1．（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【详解】当方程没有实数根时，有，得到， 故选：BC. 2．（24-25高一上·上海闵行·期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 3．（22-23高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得. 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型五 判断命题的充分不必要条件 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列用符号“”“”表示正确的是（   ） A．两直线平行同位角相等 B．n是4的倍数是偶数 C．是偶数是偶数 D．四边形对角线互相平分四边形是矩形 【答案】A 【详解】由两直线平行得同位角相等，故A正确：由n是4的倍数得n是偶数，故B错误；由是偶数得不到a，b是偶数，如，，故C错误；由四边形对角线互相平分得四边形是平行四边形，故D错误． 2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据可得，结合充分条件和必要条件的定义即可下结论. 【详解】由，得，所以充分性成立； 由，得，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 题型六 判断命题的必要不充分条件 1．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】化简不等式，再根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由，得，即，则或， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课后作业） “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，但不一定相等.若，则，故“”是“”的必要不充分条件. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得，因为不能推出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件. 题型七 命题充要条件的判断与证明 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【详解】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题． 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由不等式的性质可知由， 由， 故选：A 3．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的概念进行判断即可. 【详解】因为若，则； 若，则． 故“”是“”的充要条件． 故选：A 4.（2025高三下·甘肃武威·专题练习）“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断结合一元二次方程的根的情况可判断. 【详解】若一元二次方程有实数根，则； 当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根. 故选：C. 题型八 探求命题为真的充要条件 1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 2（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 3．（24-25高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和，利用判别式法求得a的范围，再利用逻辑条件判断. 【详解】解：当时，，方程有实根； 当时，，解得，此时，，且， 综上：方程有实根”的充要条件为， 故选：A 题型九 根据命题的充分不必要条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，若p是q的充分条件，则，故． 2．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 题型十 根据命题的必要不充分条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 2．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 【答案】2 【详解】由，得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以，即实数的最小值为2． 题型十一 根据命题的充要条件求参数 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 3．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 题型一 根据命题的充分不必要条件求参数 1．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 2.（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 题型二 根据命题的必要不充分条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得． 3.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 题型三 根据命题的充要条件求参数 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 1．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【详解】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若，则,分与讨论，结合元素的互异性求出，再根据充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则. ①若，则，则，满足； ②若，则或. 时，，满足； 时，与元素的互异性相矛盾，故舍去. 综上所述，若，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 3.（多选）（24-25高一下·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 4．（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 5.（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）解：若是真命题，则，解得， 则； （2）解：因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 6．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 7．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 8．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$