1.2 直接开平方法（第1课时）（教学课件） -2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 第一课时 直接开平方法 1.2 一元二次方程的解法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. （难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)²=p (p≥0)的方程. （重点） 情景导入 我们已经会解一元一次方程，如何解一元二次方程？ 解下列方程： (1)2(x＋3)－5(1－x)＝3(x－1) (2)3x+3=2x+7; x＝－28. x＝－1 x=4 x=4 如何解方程 x2＝2 呢？ 　　根据平方根的意义，x是2的平方根，即 x＝ . x1＝ 　， x2= . 于是，我们知道一元二次方程x2＝2有两个根，它们分别记为 1.用直接开平方法解形如的一元二次方程 新知探究 像这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 给方程降次这样，一元二次方程x²=2 就转化为两个一次方程了. 例1 解下列方程： （1）x2－4＝0； 　 （2）4x2－1＝0 ． 解：（1）移项，得 x2＝4， ∵x是4的平方根， ∴x＝±2． 即 x1＝2，x2＝－2． （2）移项，得4x2＝1， 两边都除以4，得 ∵x是的平方根， ∴x＝±　　　　 即x1＝，x2＝ x2＝ ． 课本例题 移项记得要变号 解形如x 2 = p(p≥0)的方程步骤如下： 概念归纳 当方程的一边是未知数的平方，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解. 即对于x²=p（p≥0），可直接开平方得x= . 你知道为什么要限定p≥0吗？ 一般地，对于x 2＝p 当p＞0时，方程有两个不相等的实数根，即： 当p＜0时，方程无实数根. 当p=0时，方程有两个相等的实数根，即： 概念归纳 2.用直接开平方法解形如的一元二次方程 新知探究 课本例2 解方程：（x＋1）2＝ 2 . 　　分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 解：∵x＋1是2的平方根， 即x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . ∴x＋1＝，　　　　 1.用直接开平方法解下列方程: (1)x2=81;　(2)(x+2)2= 9;　(3)3(x+5)2-12=0. 解:(1)∵x2=81,∴x=±. ∴x1=9,x2=-9. (2)∵(x+4)2=9,∴x+4=±. ∴x+4=±3. ∴x1=-1,x2=-7. (3)∵2(x+5)2-8=0, ∴(x+5)2=4. ∴x+5=±2. ∴x1=-3,x2=-7. 练一练 归纳总结：这种形如 （h，k为常数，k≥0）的一元二次方程，可以用直接开平方法求解 练一练 首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根据平方根的定义求解． 1.什么形式的一元二次方程可以使用直接开平方法求解？ 如果一个一元二次方程形如 、（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0） 的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.运用直接开平方法求解时的步骤是什么？ 概念归纳 例1.某种油漆一桶可刷的面积为1500 dm2，用这桶油漆恰好能够刷完10个同样体积的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗? 典例剖析 解： 设其中一个盒子的棱长为 x dm，则这个盒子的表面积为 6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2=1500； ① 整理，得 x2=25 ； 根据平方根的意义，得 x=±5 ； 即 x1=5， x2=－5 可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm. 1.当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解， 即：对于(mx ＋n)2＝p(p≥0)，得： 例2.对于可化为(mx ＋n)2＝p(p≥0)或（ax +b）2 =(cx +d)2的方程，可以用直接开平方发求解吗？ 2.若两边都是完全平方式， 即：（ax +b）2=(cx +d)2，得 典例剖析 例3.方程 有解吗？ 典例剖析 解：由题意得： +1=0；则解 ∵（+1）²≥0，-1<0 ∴ （+2）²=-1无解 一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一 次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 2. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 3. 若8x2-16=0，则x的值是 . D D   练一练 4. 解关于x的方程(x+m)2=n. 解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得 x+m=± ，方程的两根为x1= -m, x2=- -m. ②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得 x+m=0，方程的两根为x1=x2=-m. ③当n<0时，因为对任意实数x，都有 (x+m)2≥0，所以方程无实数根. 练一练 B 随堂练 C 随堂练 D 随堂练 B D 1.方程x²=1的解是（ ） A.= 1 B.=±1 C.=-1 D. 2.一元二次方程x²-4=0的解是（ ） 分层练习-基础 分层练习-基础 . . ( ) ( ) B C 分层练习-基础 D D 分层练习-基础 7 ② 漏掉了一种 情况 分层练习-基础 分层练习-基础 D D 分层练习-巩固 7 ② 漏掉了一种 情况 分层练习-巩固 12.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正. ① ② ③ ④ 解： 解：不对，从开始错，应改为 分层练习-巩固 30 13.解方程 解： 方程的两根为 分层练习-巩固 分层练习-巩固 －1 0 分层练习-拓展 分层练习-拓展 C 课堂反馈 转化 3或－5 y1＝5，y2＝－5 课堂反馈 直接开平方法解一元二次方程的“三步法” 开方 求解 变形 将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常 数的形式； 利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 解一元一次方程，得出方程的根． 课堂小结 1.方程25x2＝64的解是( ) A.x＝±8　 B.x＝±eq \f(8,5)　 C.x＝eq \f(8,5)　 D.x＝8 2.下列解方程的过程中，正确的是( ) A.x2＝2　解：x＝eq \r(2). B.2y2＝16　解：2y＝±4，∴y1＝2，y2＝－2. C.2(x－1)2＝8　解：(x－1)2＝4，x－1＝±eq \r(4)，x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1. D.x2＝－3　解：x1＝eq \r(－3)，x2＝－eq \r(－3). 3.一元二次方程x2＝c有解的条件是( ) A.c＜0 B.c＞0 C.c≤0 D.c≥0 4.解方程： (1)(x－3)2＝8; (2)(2x＋1)2－16＝0. 解：(1)根据平方根的意义，得x－3＝±2eq \r(2)，即x1＝3＋2eq \r(2)，x2＝3－2eq \r(2)；　 (2)方程化为(2x＋1)2＝16,2x＋1＝±4，x1＝eq \f(3,2)，x2＝－eq \f(5,2). 5.方程2x2＋8＝0的根为( ) A.2 B.－2 C.±2 D.没有实数根 6.一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( ) A.x－6＝－4 B.x－6＝4 C.x＋6＝4 D.x＋6＝－4 7.若(a2＋b2－2)2＝25，则a2＋b2的值为 . 8.用直接开平方法解一元二次方程： 4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0. 解：移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2，① 直接开平方，得2(2x－1)＝5(x＋1).② ∴x＝－7.③ 上述解题过程中有无错误？如有，错在第 步，原因是 ，请写出正确的解答过程. 解：2(2x－1)＝±5(x＋1)，∴2(2x－1)＝5(x＋1)或2(2x－1)＝－5(x＋1)，∴x1＝－7，x2＝－eq \f(1,3). 9.物体自由下落的高度h(m)与下落时间t(s)的关系：在地球上大约是h＝4.9t2，在月球上大约是h＝0.8t2，当h＝19.6时，求： (1)物体在地球上和月球上自由下落的时间各是多少； (2)物体在哪里下落得快. 解：(1)在地球上：4.9t2＝19.6，解得t1＝2，t2＝－2(舍去)；在月球上：0.8t2＝19.6，解得t1＝eq \f(7\r(2),2)，t2＝－eq \f(7\r(2),2)(舍去).答：在地球上下落的时间是2 s，在月球上下落的时间是eq \f(7\r(2),2) s；　 (2)∵2＜eq \f(7\r(2),2)，∴在地球上下落得快. 8.方程2x2＋8＝0的根为( ) A.2 B.－2 C.±2 D.没有实数根 9.一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( ) A.x－6＝－4 B.x－6＝4 C.x＋6＝4 D.x＋6＝－4 10.若(a2＋b2－2)2＝25，则a2＋b2的值为 . 11.用直接开平方法解一元二次方程： 4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0. 解：移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2，① 直接开平方，得2(2x－1)＝5(x＋1).② ∴x＝－7.③ 上述解题过程中有无错误？如有，错在第 步，原因是 ，请写出正确的解答过程. 解：2(2x－1)＝±5(x＋1)，∴2(2x－1)＝5(x＋1)或2(2x－1)＝－5(x＋1)，∴x1＝－7，x2＝－eq \f(1,3). 14.物体自由下落的高度h(m)与下落时间t(s)的关系：在地球上大约是h＝4.9t2，在月球上大约是h＝0.8t2，当h＝19.6时，求： (1)物体在地球上和月球上自由下落的时间各是多少； (2)物体在哪里下落得快. 解：(1)在地球上：4.9t2＝19.6，解得t1＝2，t2＝－2(舍去)；在月球上：0.8t2＝19.6，解得t1＝eq \f(7\r(2),2)，t2＝－eq \f(7\r(2),2)(舍去).答：在地球上下落的时间是2 s，在月球上下落的时间是eq \f(7\r(2),2) s；　 (2)∵2＜eq \f(7\r(2),2)，∴在地球上下落得快. 17．小明遇到下面的问题； 求代数式x2－2x－3的最小值并写出取到最小值时的x值． 经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：x2－2x－3＝x2－2x＋1－3－1＝(x－1)2－4.所以，当x＝1时，代数式有最小值是－4. (1)请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题． ①x2－2x的最小值是 ； ②x2－4x＋y2＋2y＋5的最小值是 . (2)小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下： 问题：当x为实数时，求x4＋2x2＋7的最小值． 解：∵x4＋2x2＋7＝x4＋2x2＋1＋6＝(x2＋1)2＋6.∴原式有最小值是6.请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由． 解：小明的结论错误．因为x2＋1＝0无实数根． 解形如x2＝p的一元二次方程 对于方程x2＝p，当p≥0时，方程的根为x1＝　 　，x2＝　 　. 1. (安庆中考)方程x2－9＝0的解是( ) A.x＝3　　　　　　　　　 B.x＝－3　　　　　　　　　 C.x＝±3　　　　　　　　　 D.x＝±9 eq \r(p) －eq \r(p) 解形如(mx＋n)2＝p的一元二次方程 解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“降次” 为两个一元一次方程，再解这两个一元一次方程. 2. 若(x＋1)2＝16，则x的值为　 　. 易错点 用直接开平方法降次时易漏解. 3. 方程y2＝(－5)2的解是　 　. $$