精品解析：四川省成都东部新区养马高级中学2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题

成都东部新区养马高级中学2024-2025学年度（下） 高2024级期中检测数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 出题人：丁莉鑫怡 审题人：数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的差角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 2. 已知，，和的夹角是，则（ ） A. B. C. 24 D. -24 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积公式求出答案. 【详解】. 故选：C. 3. 的值等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】由二倍角公式得. 4. 四边形ABCD中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】由三角形法则可得：. 故选：A 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数进行变形，然后根据函数图像的平移规律即可得到答案． 【详解】解：， 故只需将函数的图象向右平移个单位长度就可得到， 故选：D. 【点睛】本题考查的知识点函数的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．属于基础题． 6. 已知，，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式化简可得，再求． 【详解】∵，则 又∵，则 ∴，即， ∴ 故选：D． 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的对称轴和定义域，即可求出最小值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，对称轴：， ∴函数在上单调递增，在处取最小值，， 故选：B. 8. 已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ ） A. [，] B. [，] C. [，] D. [，] 【答案】A 【解析】 【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围. 【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则：，设， ， ，且， 时，取最小值时，取最大值， ∴的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量基底的定义，以及向量共线的条件，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：零向量与任意向量都共线, 故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故A错误； 对于B：，所以，不共线，所以其可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确； 对于C：，所以与不共线的，所以其可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 对于D：，所以与是共线的，故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故D错误. 故选：BC. 10. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式可判断A；逆用两角和的正余弦公式结合诱导公式可判断B；利用辅助角公式结合两角差的正弦公式可判断C；由二倍角的正切公式可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AB. 11. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C. 若与共线，则为或 D. 存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】根据得到，即可得到，即可判断A选项；根据投影向量得到，即可得到，即可判断B选项；根据与共线和得到，解得，根据可得，即可得到的坐标，即可判断C选项；假设成立，可得到，与矛盾，即可判断D选项. 【详解】对于A，若，则有，即，A正确； 对于B，，，在上的投影向量为，所以，∵，∴，B正确； 对于C，若与共线，设，所以有，解得， 因为，，∴，所以，C不正确； 对于D，若成立，则与反向，所以，，，解得，即有， 则，与矛盾，故D不正确． 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____． 【答案】（1，5） 【解析】 【分析】设出点D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标． 【详解】设D（x，y）则 在平行四边形ABCD中 ∵ 又∵ ∴解得 故答案为：（1，5） 【点睛】本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同． 13. __________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用化简表达式，由此求得表达式的值. 【详解】由于，故. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14. 已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则其解析式为________________________________． 【答案】 【解析】 【详解】由图象可知，可得， 由，则，故， 代入点，则且，即，得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）若向量与垂直，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量运算及模的坐标表示计算； （2）由求解； 【小问1详解】 由，，得， 故； 【小问2详解】 与垂直， ， ，整理得：， 解得. 16. （1）已知，，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由，，得，进而由两角和的余弦公式可得； （2）先求得，然后根据两角差的正弦公式求得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以； （2）因为，且是锐角，所以， 因为，都是锐角，且，所以， 所以， 所以. 17. 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，当时，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，. （1）叙述并利用如图证明两角差的余弦公式； （2）计算. 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算和定义可构造方程证得两角差的余弦公式； （2），利用两角差的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 由题意得：，， ； 又， ； 【小问2详解】 18. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，.设，）． （1）用，表示，． （2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 【答案】（1）， （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法、减法和数乘运算即可求出答案； （2）通过证明，从而证明. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 . 证明如下： 由（1）得，， 所以， 所以，即. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值. 【答案】（1）；，. （2）；. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再利用周期公式和整体代换法即可求解； （2）利用（1）的结论，根据整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的的取值即可. 【小问1详解】 因为， 由，则的周期为， 令，解得， 所以的单调减区间为，. 【小问2详解】 由（1）知 由，得， 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减； ，， 所以， 即在处取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都东部新区养马高级中学2024-2025学年度（下） 高2024级期中检测数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 出题人：丁莉鑫怡 审题人：数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，和的夹角是，则（ ） A. B. C. 24 D. -24 3. 的值等于 A. B. C. D. 4. 四边形ABCD中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 已知，，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ ） A. [，] B. [，] C. [，] D. [，] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C. 若与共线，则为或 D. 存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____． 13. __________． 14. 已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则其解析式为________________________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）若向量与垂直，求的值. 16. （1）已知，，求的值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 17. 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，当时，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，. （1）叙述并利用如图证明两角差的余弦公式； （2）计算. 18. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，.设，）． （1）用，表示，． （2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 19. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $