专题2.5 有理数的乘法与除法（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题2.5 有理数的乘法与除法 教学目标 1.理解有理数乘法与除法的意义； 2.掌握有理数乘法与除法的运算方法，能正确进行运算； 3.体会有理数乘法与除法运算在解决实际问题中的应用. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数的乘法与除法的运算； （2）掌握有理数的乘法与除法运算在实际生活中的应用； 2.难点 （1）有理数乘除法运算的简便计算； （2）有理数乘除法运算的规律计算。 知识点01 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）若，5，a的积是一个负数，则a的值可以是（    ） A．12 B． C． D．0 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是 ． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点02 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即学即练】 4．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）用简便方法计算： （1） ； （2） ． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： ； 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 知识点03 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（   ） A． B． C．2025 D． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：a与b是互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值是2．则： (1) ， ， ． (2)求的值． 知识点04 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即学即练】 10．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 11．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习） ． 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点05 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即学即练】 13．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 14．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型01 两个有理数的乘法运算 【典例1】计算：（   ） A． B．10 C． D．3 【变式1】若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】计算的结果为 ． 【变式3】在0，1，，四个数中任取两个数相乘，积最大是 ． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 多个有理数的乘法运算 【典例1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【变式2】计算： ； 【变式3】在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 【变式4】计算． (1)； (2)； (3)； 题型03 有理数乘法的实际应用 【典例1】大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 【变式1】某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 【变式2】1、2、3三路公交车从始发站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，3路车每隔20分钟发一辆．当这三路车同时发车后，至少要过 分钟又有这三条线路的车同时发车． 【变式3】小慧在某平台上按“八五折”的优惠价格购买了4张《志愿军：存亡之战》电影票，若每张电影票的原价是元，则小慧需支付 元． 【变式4】某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准．超过的记为“”，不足的记为“”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足） (1)请你计算七年级六班同学收集废纸的质量； (2)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，以内的1元/千克，超出的部分2元/千克，求废纸卖出的总价格． 题型04 倒数 【典例1】中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知的相反数是，则的倒数是 ． 【变式2】已知、互为相反数，、互为倒数，，求多项式的值． 【变式3】若互为相反数，互为倒数，|，求的值． 【变式4】已知两个整式，其中整式B的x的系数■被污染． (1)若■是，则_______．（用含x的式子表示） (2)当时，的值为18． ①_______． ②若a的倒数等于它本身，则的值是多少？ 题型05 有理数乘法运算律 【典例1】计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】脱式计算、能简算的要简算． (1) (2) (3) 【变式3】计算． (1)； (2)． 【变式4】下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 25．我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 题型06 有理数的除法运算 【典例1】因为，所以（   ）． A． B． C． D． 【变式1】在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以． 请你运用小明的解法计算：． 【变式4】计算：． 题型07 有理数除法的应用 【典例1】电影《哪吒2魔童闹海》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有 人是同一个月出生的． 【变式1】东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术 克． 【变式2】天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．请问2025年是 年．（用天干地支纪年法表示） 【变式3】小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，得到的数据分别如下（单位：）：． (1)请计算小明家这10天轿车行驶的路程； (2)若该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 【变式4】小明是一名喜欢跳绳的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次跳绳测试一分钟都要超过180个．以180个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负，下表是他测试六次的成绩： 测试次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 成绩（个） 0 (1)在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高多少个？ (2)请你帮小明算一算，他这六次跳绳测试的平均成绩是多少个？ 题型08 有理数乘除混合运算 【典例1】计算： 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： 【变式4】计算： 题型09 有理数乘除中的简便运算 【典例1】下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【变式1】简便计算 (1) (2) 【变式2】脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③ ④ 【变式3】下面各题怎样简便就怎样算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】脱式计算．（怎样算简便就怎样算） (1) (2) (3) (4) 题型10 有理数四则运算 【典例1】计算下面各题，能简算的要简算．           【变式1】脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 【变式2】对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 【变式3】计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【变式4】（平均数问题）有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是（   ） A．12 B．18 C．36 D．45 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 【变式1】两列火车分别从两城相对开出，1.5小时后两车在途中相遇．已知甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，两城之间的距离是（    ）千米 A．180 B．210 C．240 D．270 【变式2】据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 【变式4】有理数在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列选项中：①，且；②，且；③，且；④，且．其中正确的是（） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例1】已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的是 （只填序号）． 【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空：__________，__________，__________； (2)化简：． 【变式2】表示三个数的点在数轴上如图所示，    (1)根据数轴化简：a ______0；c ______0； ______0； ______0． (2)化简：． 【变式3】a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0； (2)化简：． 【变式4】已知：有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题． (1)填空：______0，______0， (2)______； (3)计算的值． 题型13 有理数四则混合运算的综合 【典例1】用你喜欢的方法计算 (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2】计算：． 【变式3】阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【变式4】计算：； 题型14 有理数四则混合运算的规律计算 【典例1】计算下面各题． ① ② 【变式1】观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【变式2】已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【变式3】数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【变式4】阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 题型15 有理数四则混合运算的新定义问题 【典例1】已知，皆为正有理数，定义运算符号为：当时，；当时，，则等于（   ） A．5 B． C． D．10 【变式1】定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果 ． 【变式2】新定义用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：． （1）计算： ； （2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是 ． 【变式3】我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【变式4】现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，则的值等于（    ） A．或7 B．3或 C．或3 D．或7 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）给出下列判断： ①若，则；②有理数包括整数、0和分数；③任何正数都大于它的倒数；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负； 其中判断正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ） A．58 B．63 C．68 D．73 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若与互为相反数，则 ． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在，，，0，1，2中任取出三个数相乘，其中最大的积是 ． 11．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 12．（24-25七年级上·江苏南通·期末）用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 14．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示数，现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个长度单位到达点，按照这种移动规律进行下去，第2024次移动到点，那么点所表示的数为 ． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ． 16．（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上有一点，将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．若、、三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为 ． 17．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 账号：Tao Li Can Ting 密码 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：． 19．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，． (1)_____，_____． (2)若，求的值； (3)若，求的值． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）电子加工厂加工零件，加工零件数规定了一个标准，完成情况是：超出标准记为正数，低于标准记为负数．工资按个数计算，每天计发，达到标准可得标准工资300元/天．下表是小明暑假里一周连续五天的加工零件数记录表，请根据表中信息解决下列问题． 星期 一 二 三 四 五 完成情况 a 实际加工数 62 57 58 64 b 注：1．达到标准的，工资除按实际加工数计发以外，还另加奖金20元/天； 2．未达到标准的，工资也按实际加工数计算，但要扣除10元/天后再发放． (1)该工厂每天的加工零件数标准是______个，每生产一个零件可得工资______元， (2) ______，______． (3)小明这五天中工资最多的一天比工资最少的一天多领多少元？ 22．（23-24七年级上·江苏南京·期中）十一国庆假期期间，出租车李师傅某天上午营运是在北京路五洲湖出发，沿东西走向北京路进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，， (1)将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午李师傅接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为7元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问李师傅这天上午共得车费多少元？ 23．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为的有理数，且，求的值． 24．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下表所示： 周 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是周 ，最高单价是 元． (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一开始推出两种促销方案： 方案一：每斤售价10元； 方案二：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折． 某果茶店想买35斤百香果，请通过计算说明选择哪种方案购买更省钱． 25．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 有理数的乘法与除法 教学目标 1.理解有理数乘法与除法的意义； 2.掌握有理数乘法与除法的运算方法，能正确进行运算； 3.体会有理数乘法与除法运算在解决实际问题中的应用. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数的乘法与除法的运算； （2）掌握有理数的乘法与除法运算在实际生活中的应用； 2.难点 （1）有理数乘除法运算的简便计算； （2）有理数乘除法运算的规律计算。 知识点01 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）若，5，a的积是一个负数，则a的值可以是（    ） A．12 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据多个数相乘法则：积的符号由负因数的个数决定，负因数是奇数个时积为负，即可得出答案，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，5，的积是一个负数， ∴只能是正数， ∴， ∴的值可以是， 故选：A ． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，多个有理数的乘法运算等知识点，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义可得，绝对值大于1.5且小于4的所有整数有，，，，然后将其全部相乘即可． 【详解】解：绝对值大于1.5且小于4的所有整数有：，，，， 绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （3）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （4）根据有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点02 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即学即练】 4．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）用简便方法计算： （1） ； （2） ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律， 对于（1），根据乘法分配律计算； 对于（2），逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： ； 【答案】 【分析】利用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算．熟练掌握有理数的乘法分配律，进行简算，是解题的关键． 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算律改变运算的顺序进行简化计算． （1）利用乘法分配律将括号内各项与相乘，再把积相加即可； （2）逆用乘法分配律提出，把剩下的部分加减，最后计算乘法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点03 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数计算即可． 本题考查了倒数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵的倒数是， 故选：B． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且，则的值为 ． 【答案】24 【分析】此题考查了相反数、倒数、绝对值和代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ， ∴ ， 故答案为：24． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：a与b是互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值是2．则： (1) ， ， ． (2)求的值． 【答案】(1)0；1； (2)1 【分析】本题主要考查了相反数，倒数和绝对值： （1）只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：∵a与b是互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值是2， ∴， 故答案为：0；1；； （2）解：由（1）可得或， 综上所述，的值为1． 知识点04 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即学即练】 10．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算．先把除法运算转化成乘法运算，再利用有理数乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 11．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，根据有理数的除法法则计算即可得解，熟练掌握有理数的除法法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)2 (3)-6 (4)2 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 知识点05 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即学即练】 13．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 【答案】(1)二，运算顺序错误或者（先算了乘法）；三，两数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除或者（有理数除法法则） (2)或 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 对于（1），观察计算步骤，可知要按照顺序计算有理数的乘除法判断第一步，再根据有理数的除法法则计算判断第二步； 对于（2），先计算括号内的，再根据运算顺序计算有理数的乘除法． 【详解】（1）第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，并把绝对值相除； （2） ． 14．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】此题考查了有理数乘除的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 运用有理数乘除混合运算的方法对各算式进行逐一计算、辨别． 【详解】解：∵，原式计算错误； ，原式计算错误； ，原式计算正确； ，原式计算错误． ∴算其中正确的个数是1． 故选：D． 题型01 两个有理数的乘法运算 【典例1】计算：（   ） A． B．10 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算计算即可． 【详解】解：， 故选：A 【变式1】若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算．根据有理数的乘法计算法则，即可得到答案． 【详解】解：∵的运算结果为正数， ∴内的数字为负数，故A选项符合题意； 故选：A 【变式2】计算的结果为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则是解题的关键； 根据有理数乘法运算法则求解即可． 【详解】． 故答案为：4． 【变式3】在0，1，，四个数中任取两个数相乘，积最大是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查有理数的乘法，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘法法则，有理数的大小关系是解决本题的关键． 根据有理数的乘法法则，有理数的大小关系解决此题． 【详解】解：，， ， ∴在数0，1，，中，任取两个数相乘，其中最大的积是5． 故答案为：5． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换． （1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）根据0乘以任何数都是0，即可求解； （4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 题型02 多个有理数的乘法运算 【典例1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【变式1】表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘法运算律，理解的定义是解题关键．根据题意可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 故选：B． 【变式2】计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了有理数的乘法及有理数大小比较，关键要明确当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，且正数大于一切负数．找积最大的应取偶数个负数，据此分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴所得的积中最大的是30． 故答案为：30． 【变式4】计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型03 有理数乘法的实际应用 【典例1】大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 【答案】D 【分析】本题主要考查了最小公倍数的应用，有理数运算的应用，先求出45和55的最小公倍数为，即每走重合一个脚印，然后用（步），（步），得出每的脚印个数为个，然后用得出一圈共有5个循环，然后求出结果即可． 【详解】解：45和55的最小公倍数为， （步）， （步）， （个）， ， ， 即这个冰雕的底面周长大约是， 故选：D． 【变式1】某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 根据题意分别计算出套餐和套餐的花费，然后比较大小即可． 【详解】解：解：套餐每买2杯的花费为（元）， 套餐每买3杯话费为（元）， 买6个套餐的花费为（元）； 买4个套餐的花费为（元）； 买3个套餐，2个套餐的花费为（元）； 买2个套餐，3个套餐，则（杯），不符合题意； ， ∴买4个套餐花费最少， 故选：B． 【变式2】1、2、3三路公交车从始发站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，3路车每隔20分钟发一辆．当这三路车同时发车后，至少要过 分钟又有这三条线路的车同时发车． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法和最小公倍数的应用，根据题意求出的最小公倍数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的最小公倍数是， ∴至少要过分钟又有这三条线路的车同时发车． 故答案为： 【变式3】小慧在某平台上按“八五折”的优惠价格购买了4张《志愿军：存亡之战》电影票，若每张电影票的原价是元，则小慧需支付 元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：元 故答案为：． 【变式4】某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准．超过的记为“”，不足的记为“”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足） (1)请你计算七年级六班同学收集废纸的质量； (2)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，以内的1元/千克，超出的部分2元/千克，求废纸卖出的总价格． 【答案】(1)六班收集废纸的质量为 (2)废纸卖出的总价格为元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算， （1）根据三班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为得六班收集废纸的质量最多，可得超出标准质量为，即可得六班收集废纸的质量； （2）七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，可算出卖出的废纸的总质量为： ，即可算出废纸卖出的总价格． 【详解】（1）解：∵三班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为， ∴六班收集废纸的质量最多，超出标准质量为：， ∴六班收集废纸的质量为：， 答：六班收集废纸的质量为； （2）解：七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，卖出的废纸的总质量为： ∴废纸卖出的总价格为：（元）． 答：废纸卖出的总价格为元． 题型04 倒数 【典例1】中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，根据两个数相乘积是1，则该两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解： 的倒数是， 故选：B． 【变式1】已知的相反数是，则的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数和倒数的定义，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数是解题关键．根据相反数的定义可求出，再根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵的相反数是， ∴， ∴的倒数是， 故答案为：． 【变式2】已知、互为相反数，、互为倒数，，求多项式的值． 【答案】或5 【分析】本题考查相反数及绝对值的性质，倒数的定义，有理数的运算，结合已知条件求得是解题的关键．根据相反数及绝对值的性质，倒数的定义可得，然后将其代入代数式中计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，， ，，， 当时， 原式 当时， 原式； 综上，原式的值为或5 【变式3】若互为相反数，互为倒数，|，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数，绝对值，熟练掌握相反数和倒数的知识是解题的关键． 根据题意得，，，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∵互为倒数， ∴， ∵， ∴或， ∴当时，原式； 当时，原式． 【变式4】已知两个整式，其中整式B的x的系数■被污染． (1)若■是，则_______．（用含x的式子表示） (2)当时，的值为18． ①_______． ②若a的倒数等于它本身，则的值是多少？ 【答案】(1) (2)①2；②3,1 【分析】本题考查了倒数，整式的加减运算，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，列式，再化简，即可作答． （2）①依题意，列式，再计算，即可作答． ②先得或．再结合，然后代入，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 故答案为：． （2）解：①依题意，，， ∴； ∴， 故答案为：2； ②的倒数等于它本身， 或． 则， 当时，． 当时，． 当时，． 题型05 有理数乘法运算律 【典例1】计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2)6 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据减法的性质把原式化为进行简算； （2）根据乘法分配律：，把化为，再根据加法结合律化为进行简算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （4）根据分数的拆分把原式化为，通过消项简算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】脱式计算、能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2)1 (3)2.6 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟知有理数乘法运算律是解题的关键． （1）先把转化为，再运用乘法分配律的逆运算法则，进行符合运算； （2）运用乘法交换律，乘法结合律，先计算和再把它们的积相乘； （3）运用乘法分配律，计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，学会运用简便方法计算是解题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可． （2）把每个小数写成整数减去0.1然后计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式4】下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误 (2) 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键． （1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误； （2）解： ． 25．我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型06 有理数的除法运算 【典例1】因为，所以（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查有理数的除法运算，根据题意找出规律是解题关键． 根据题意得出，被除数缩小10倍，除数缩小10倍，则商不变，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式1】在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 【答案】 【分析】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．取异号两数相除，商绝对值较大． 【详解】解：∵， ∴商最小的是：． 故答案为：． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先算括号内的减法运算，然后算除法即可； （）先算括号内的加法，乘法运算，然后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以． 请你运用小明的解法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数计算．根据题意利用小明解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】解：原式的倒数为 ； ∴． 【变式4】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，乘法分配律，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先变除法为乘法，然后利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 题型07 有理数除法的应用 【典例1】电影《哪吒2魔童闹海》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有 人是同一个月出生的． 【答案】28 【分析】本题考查了抽屉原理：一年有12个月，把这12个月看做是12个抽屉，326人看作是326个元素，即可解答，理解题意是解题关键． 【详解】解：建立抽屉，把这12个月看做是12个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉的人数尽量的平均： ， （人）， 所以至少有28人是同一个月出生的． 故答案为：28． 【变式1】东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术 克． 【答案】63 【分析】本题考查了有理数的乘除实际应用，正确理解题意是解题的关键． 先算出一副“芩桂术甘汤”药方的重量，由总重量可得有几副，再乘以每副白术的重量即可． 【详解】解：（克）， 故答案为：63． 【变式2】天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．请问2025年是 年．（用天干地支纪年法表示） 【答案】乙巳 【分析】本题是考查了推理．先用2025的尾数5查出天干，再用2025除以12的余数查出地支即可． 【详解】解：2025年，尾数5为乙， 2025除以12余数为9，9为巳，那么2025年就是乙巳年， 故答案为：乙巳． 【变式3】小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，得到的数据分别如下（单位：）：． (1)请计算小明家这10天轿车行驶的路程； (2)若该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 【答案】(1)小明家这10天轿车行驶的路程为 (2)元 【分析】本题考查正数与负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）记录数字的和再加上10个20即可得到结果； （2）用（1）的结论乘以3即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元”列式解答即可． 【详解】（1）解：， 小明家这10天轿车行驶的路程为， 答：小明家这10天轿车行驶的路程为； （2）解：由（1）知，小明家这10天轿车行驶的路程为， 小明家一个月（按30天算）的汽油费用为： （元）， 答：估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用为元． 【变式4】小明是一名喜欢跳绳的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次跳绳测试一分钟都要超过180个．以180个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负，下表是他测试六次的成绩： 测试次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 成绩（个） 0 (1)在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高多少个？ (2)请你帮小明算一算，他这六次跳绳测试的平均成绩是多少个？ 【答案】(1)小明的最高成绩比最低成绩高18个 (2)他这六次跳绳的平均成绩是183个 【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：由表格知，小明六次测试成绩的最大值为，最小值为， ∴（个）， ∴小明的最高成绩比最低成绩高18个； （2）解：（个）， ∴他这六次跳绳的平均成绩是183个． 题型08 有理数乘除混合运算 【典例1】计算： 【答案】2 【分析】根据有理数乘除的混合运算解答即可． 本题考查了有理数乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是阶梯的关键． 【详解】解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据有理数乘除混合运算法则即可求解； （）利用乘法分配律进行运算即可； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用有理数的乘除运算法则即可求解； （）利用有理数的除法法则即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式4】计算： 【答案】 【详解】解： 题型09 有理数乘除中的简便运算 【典例1】下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用乘法分配律进行简算； （2）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律计算； （3）先算小括号里的减法，再算括号外的减法，最后算除法； （4）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】简便计算 (1) (2) 【答案】(1)64 (2) 【分析】（1）根据乘除混合运算解答即可． （2）根据乘法的交换律，逆用分配律，解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了乘除混合运算，分配律，加法运算，交换律，熟练运算法则是解题的关键． 【变式2】脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，除法运算以及乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ①先把除法化为乘法，再根据乘法法则进行计算，即可作答． ②先把除法化为乘法，再根据乘法运算律进行计算，即可作答． ③先运算括号内，再把除法化为乘法，根据乘法运算律进行计算，即可作答． ④先运算乘法，再运算加减，即可作答． 【详解】解：① ； ② ． ③ ； ④ ． 【变式3】下面各题怎样简便就怎样算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的运算： （1）把两个数都乘以8，再计算除法即可； （2）把后面两个数合并计算，再计算减法即可； （3）把32变成4乘以8，然后计算即可； （4）利用分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4】脱式计算．（怎样算简便就怎样算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【分析】（1）根据混合运算法则计算求解即可． （2）根据混合运算法则计算求解即可． （3）根据混合运算法则计算求解即可． （4）根据混合运算法则计算求解即可． 本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律的应用，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型10 有理数四则运算 【典例1】计算下面各题，能简算的要简算．           【答案】4000；54；4；10；378；12.5 【分析】本题考查了有理数乘法的混合运算，运用运算律进行简算是解题的关键． （1）根据乘法结合律进行简算即可； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （3）先算，根据乘法分配律进行简算，再根据加法结合律进行简算； （4）先交换“”和“”的位置，再根据减法的性质进行简算； （5）先算括号里面的减法，再算除法，最后算乘法； （6）根据逆用乘法分配律进行简算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式1】脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④6 【分析】本题考查有理数混合运算的运算法则、分数与百分数的互化、简便运算技巧（乘法分配律、加法结合律），熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． ①先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的除法，最后计算括号外的除法； ②先将和化成统一小数形式，都可以化成，再根据乘法分配律，将式子化为进行计算； ③将化成分数，计算小括号里面的减法，分数进行通分，再计算小括号外面的除法，最后计算加法； ④通过分组凑整法，简化计算即可． 【详解】解：① ② ③ ④ ． 【变式2】对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 根据新定义列算式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式4】（平均数问题）有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是（   ） A．12 B．18 C．36 D．45 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则运算，理解题意列式计算是解答此题的关键．把4个和全加起来，实际上是每个数都加了3遍，然后除以3即可求出这四个数的和，题目要求最小的数，然后用四个数的和减去三个数的最大的和即可． 【详解】解：， ， 所以最小的一个数是12． 故选：A 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 【答案】A 【分析】本题考查百分数的应用，解题的关键是先求出飞机票原价，再算出超重重量，最后根据超重行李费的计算规则求出应付行李费． 先根据机票折扣和折后价格求出原价，再确定超重重量，最后依据超重部分每千克的收费标准算出应付行李费． 【详解】解：飞机票原价为元， 超重的重量为千克， 每千克超重行李收费为， 超重10千克，所以应付行李费为元． 故选：A． 【变式1】两列火车分别从两城相对开出，1.5小时后两车在途中相遇．已知甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，两城之间的距离是（    ）千米 A．180 B．210 C．240 D．270 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据“路程时间速度”，代入数据解答即可． 【详解】解：（千米）， ∴两城之间的距离是210千米， 故选：B 【变式2】据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，得第二根绳上共有个，结合一个结表示5个，故有(个)，解答即可． 本题考查了计算方法，正确理解数位的内涵是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第二根绳上共有个， 由一个结表示5个， 故有(个)， 故选：C． 【变式3】南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1)南，0.4 (2)送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气 (3)在整个过程中，张师傅共收到车费34元 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键． （1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答； （2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以每千米消耗压缩天然气0.09升，即可解答； （3）根据表格中的数据是超过2千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第五批客人后，张师傅共收到的车费． 【详解】（1）解：（千米）， 即送完第五批客人后，张师傅在公司的南边，距离公司0.4千米的位置； 故答案为：南，0.4； （2）解：（升， 送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气； （3）解：由题可知： （元， 在整个过程中，张师傅共收到车费34元． 【变式4】有理数在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列选项中：①，且；②，且；③，且；④，且．其中正确的是（） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数运算，解题关键是根据数轴确定数的正负、绝对值大小． 先依据数轴确定，：再根据有理数乘、加运算法则，分别判断各项符号即可． 【详解】解：根据数轴得，： ①（异号相乘），（绝对值大）原说法错误； ②（异号），（a绝对值大），原说法正确； ③（同号），（同正相加）原说法正确； ④（异号），（绝对值大），原说法错误； 综上，正确的有②③； 故选C． 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例1】已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的是 （只填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】本题考查数轴，有理数的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．由数轴可知，，①两数相除异号得负可判断；②两数相乘异号得负可判断；③同号两数相加取相同的符号可判断；④a的绝对值小于b的绝对值可判断；⑤，可判断． 【详解】解：①∵由数轴可知，， ∴， ∴①对； ②由数轴可知，， ∴， ∴②错； ③，， ∴， ∴③错； ④由数轴可知，， ∵a的绝对值小于b的绝对值， ∴， ∴④错； ⑤∵，， ∴， ∴⑤对． 故答案为：①⑤． 【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空：__________，__________，__________； (2)化简：． 【答案】(1)0，，0 (2) 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的符号以及化简绝对值，解题的关键是正确确定各式子的符号． （1）由数轴可得，结合可得，，即可求解； （2）由数轴可得：，，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式 ． 【变式2】表示三个数的点在数轴上如图所示，    (1)根据数轴化简：a ______0；c ______0； ______0； ______0． (2)化简：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，数轴，化简绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据数轴以及有理数的加法法则和乘法法则即可确定； （2）根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，， 故填：>，<，<，< （2）解： ． 【变式3】a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，由数轴判断式子的正负． （1）由所给数轴即可判断． （2），据此即可化简． 【详解】（1）解：由数轴可知：，，， ∵， ∴ 故答案为：，，，． （2） 【变式4】已知：有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题． (1)填空：______0，______0， (2)______； (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)1； (3)0． 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将题目中的绝对值去掉． （1）根据数轴可以得到，，从而可以判断出题目中前两个式子的正负情况，并求出第三个式子的值； （2）根据（1）中得到的，，可以将所求式子化简； （3）根据（1）中得到的，，可以将所求式子化简． 【详解】（1）解：由图数轴可得， ，， ， 故答案为：； （2）解：由图数轴可得， ，， ； 故答案为：1； （3）由图数轴可得， ，， ． 题型13 有理数四则混合运算的综合 【典例1】用你喜欢的方法计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2)2 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）把改写成，再根据乘法计算法则求解即可； （2）先计算小括号内的减法，再计算乘除法即可； （3）先计算括号内的乘法，再把除法变成乘法后利用乘法分配律求解即可； （4）把改写成，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简绝对值，计算乘法，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式3】阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律： （1）观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 【变式4】计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了百分数的转换、分数与小数的运算以及四则运算的综合应用．通过将百分数转换为小数，简化了计算过程，同时注意运算顺序，先计算括号内的表达式，再进行加减运算，最终得出正确答案． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 题型14 有理数四则混合运算的规律计算 【典例1】计算下面各题． ① ② 【答案】①；② 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，把相同的算式看作一个整体进行计算是解题的关键． ①设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可； ②设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：①设，，则 原式 ． ②设，，则 原式 ． 【变式1】观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差． （1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得； （2）将原式利用（1）中所得规律裂项求和可得． （3）先利用乘方分配律每一项提出一个，再将式子利用（1）中所得规律裂项求和可得． 【详解】（1）解：根据题意知，①；② 故答案为；． （2）解：＋＋＋ ． （3）解： ． 【变式2】已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据福倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第2025个数是， ∴. 【变式3】数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据阶乘定义直接求解即可； （2）根据题干材料仿照即可得解； （3）根据（2）思路写出过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． 【变式4】阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3)29070 【分析】（1）根据题中规律即可写出； （2）根据（1）中得到规律进行计算即可； （3）根据（1）中规律进行拓展并计算即可 【详解】（1）， ； （2）解：原式 （3）解：原式 ， 【点睛】本题主要考查有理数乘法运算律的应用、数字类规律的应用，正确理解题中规律是解题的关键． 题型15 有理数四则混合运算的新定义问题 【典例1】已知，皆为正有理数，定义运算符号为：当时，；当时，，则等于（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵当时，；当时，， ，， ， 故选：B． 【变式1】定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据已知可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】新定义用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：． （1）计算： ； （2）从，中任选两个有理数作为和，并计算，那么所有运算结果中的最大值是 ． 【答案】 【分析】（）直接利用规定的运算方法计算即可； （）要使结果最大，必须使这两个数的和最大，且两个数的差最小，由此可知和符合题意，由此按照规定的运算计算得出答案即可； 此题考查了新定义，以及有理数的混合运算，理解题意，掌握规定的运算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）根据题意和两个有理数符合题意， 则， 故答案为：． 【变式3】我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 【变式4】现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)25 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，解题的关键是读懂题意，列出算式． （1）根据题目给出的定义，列式计算即可； （2）根据题目给出的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴； （2）解：，， ． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义“相乘等于1的两数互为倒数”直接进行解答即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值．根据所给数轴，结合数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由所给数轴可知， ，且， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查互为相反数和倒数的定义，求解代数式的值，根据知识点代入求解是解题的切入点．a、b互为相反数，则，c、d互为倒数，则，代入求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数 ∴ 又∵c、d互为倒数 ∴ ∴， 故选：A 5．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若，，且，则的值等于（    ） A．或7 B．3或 C．或3 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．根据，，且，可以求得x，y的值，从而可以求出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，或，， ∴当，时，， 当，时，， 综上分析可知，的值为或3． 故选：C． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）给出下列判断： ①若，则；②有理数包括整数、0和分数；③任何正数都大于它的倒数；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负； 其中判断正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题主要考查了绝对值的性质、有理数乘法法则、倒数、偶次幂．分别根据绝对值的性质、有理数乘法法则、倒数、偶次幂分别进行分析即可． 【详解】解：①若，则，说法错误，应为； ②有理数包括整数、0和分数，说法错误，应为包括整数和分数； ③任何正数都大于它的倒数，说法错误，例如小于它的倒数； ④代数式的值永远是正的，说法正确； ⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负，说法错误，应为几个不为0的有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负； 故选：A． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查探寻数列规律问题以及逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律是解题关键． 首先根据题意，应用逆推法，用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值，即可． 【详解】解： 逆运算 第步后的数为 ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： 或 ； 第步后的数： （舍去）或 或 （舍去） 或 ； 则原数为 或 或 或 ； 综上：所有符合条件的的值有4个． 故选：B． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ） A．58 B．63 C．68 D．73 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据题意，依次求出每次操作后所产生的新数串的所有数之和，发现规律即可解决问题，能通过计算发现操作第n次后所产生的新数串的和为是解题的关键． 【详解】解：由题知，当开始的数串为2，9，7时， 操作第1次后所产生的新数串为：2，7，9，，7，它们的和为：； 操作第2次后所产生的新数串为：2，5，7，2，9，，，9，7，它们的和为：； 操作第3次后所产生的新数串为：2，3，5，2，7，，2，7，9，，，9，，11，9，，7，它们的和为：； ， ∴操作第n次后所产生的新数串的和为 当时，， 即操作第10次后所产生的新数串的和为， 故选：． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：和互为相反数， 故答案为：. 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在，，，0，1，2中任取出三个数相乘，其中最大的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数大小比较的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据乘法法则，当偶数个负数相乘时，积为正，当奇数个负数相乘时，积为负，故取，，2时，三个数相乘，积最大． 【详解】解：由题意可得，， ∴取，，2时，三个数相乘，积最大，即最大的积是， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，结合已知条件列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 所以最后的长度比原长度约伸长． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏南通·期末）用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解． 【详解】解：登高后，气温变化量为：， ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘除运算，根据题意列出算式，然后通过法则即可求解，解题的关键是明确题意，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】由题意可得，， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示数，现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个长度单位到达点，按照这种移动规律进行下去，第2024次移动到点，那么点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及数字的变化规律，找出点的变化规律是解题的关键．本题可知从第一次开始计算，每两次移动的结果都是向左2个单位，因此先计算出有多少个两次移动，再将数量乘以，与原式位置的数据相加即可． 【详解】解：， ， 故答案为： ． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；根据题中所给运算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 因为这两个两位数相乘的结果为2176，所以， ∵m、n为正整数， ∴或， 当时，，因为b、c是10以内的正整数，所以不存在两个正整数的乘积是22，故不符合题意； ∴， ∴； 故答案为． 16．（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上有一点，将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．若、、三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为 ． 【答案】4或3 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，一元一次方程的应用，数轴上两点的距离计算，设的值为，则的值为，的值为，再分当时，当时，当时，三种情况分别解方程求出a、b、c的值，再判断的符号即可得到答案． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， ①当时，解得：， ，，， ，符合题意， 故的值为4； ②当时，解得：， ，，， ，符合题意， 故的值为3； ③当时，解得：， ，，； ，不合题意； 综上，的值为4或3． 故答案为：4或3． 17．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 账号：Tao Li Can Ting 密码 【答案】244872 【分析】本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键． 根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可． 【详解】解： ， ， 由前三个式子得到的规律计算该式得： ， 故答案为． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：． 【答案】7 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解本题的关键． 先运用乘法分配律，再计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解：， ， ， ． 19．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）先计算绝对值，然后根据有理数减法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 20．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，． (1)_____，_____． (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)或1 (3)1或7 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法、有理数的加减，正确求得m、n值是解答的关键． （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）根据有理数乘法运算法则得到m、n值，进而求和即可； （4）根据m、n的大小确定m、n的值，然后求差即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 故的值为或1； （3）解：∵， ∴，或，， 当，时，； 当，，， 故的值为1或7． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）电子加工厂加工零件，加工零件数规定了一个标准，完成情况是：超出标准记为正数，低于标准记为负数．工资按个数计算，每天计发，达到标准可得标准工资300元/天．下表是小明暑假里一周连续五天的加工零件数记录表，请根据表中信息解决下列问题． 星期 一 二 三 四 五 完成情况 a 实际加工数 62 57 58 64 b 注：1．达到标准的，工资除按实际加工数计发以外，还另加奖金20元/天； 2．未达到标准的，工资也按实际加工数计算，但要扣除10元/天后再发放． (1)该工厂每天的加工零件数标准是______个，每生产一个零件可得工资______元， (2) ______，______． (3)小明这五天中工资最多的一天比工资最少的一天多领多少元？ 【答案】(1)60；5 (2)，65 (3)小明这五天中工资最多的一天比工资最少的一天多领70元 【分析】本题主要考查有理数加减及乘法的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据表格可直接进行求解； （2）根据表格可直接进行求解； （3）由表格可知工资最多的一天是星期五，工资最少的一天是星期二，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由表格可知： 该工厂每天的加工零件数标准是60个，每生产一个零件所得工资为（元）； 故答案为60；5； （2）解：由表格及（1）可知：； 故答案为，65； （3）解：由表格可知：工资最多的一天是星期五，工资最少的一天是星期二，则有： 星期五的工资为（元）； 星期二的工资为（元）； ∴（元）； 答：小明这五天中工资最多的一天比工资最少的一天多领70元． 22．（23-24七年级上·江苏南京·期中）十一国庆假期期间，出租车李师傅某天上午营运是在北京路五洲湖出发，沿东西走向北京路进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，， (1)将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午李师傅接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为7元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问李师傅这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)李师傅在北京路五洲湖西边处； (2) (3)车费74元 【分析】（1）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （2）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （3）八名顾客均有起步价，再求出超出的加价即可求出总车费． 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握相关运算是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，， 李师傅在北京路五洲湖西边处； （2）解：由， ∴汽车消耗天然气量为 共消耗天然气 答：共消耗天然气； （3）解： ， （元， 答：李师傅这天上午共得车费74元． 23．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）由，可得中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （2）由，可得中有两个为负，一个为正，即可得的值是1． 【详解】（1）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或1． （2）解：∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴． 24．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下表所示： 周 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是周 ，最高单价是 元． (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一开始推出两种促销方案： 方案一：每斤售价10元； 方案二：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折． 某果茶店想买35斤百香果，请通过计算说明选择哪种方案购买更省钱． 【答案】(1)六，15 (2)盈利135元 (3)方案二 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据题意列式计算出两种方案的总花费后即可求得答案． 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是周六，最高单价是（元）； （2）解：根据题意可得这一周每天每斤百香果的利润分别为3元，0元，5元，1元，4元，7元，元， 则 （元）， 即这一周超市出售此种百香果的收益为盈利135元； （3）解：方案一：（元）； 方案二： （元）； ∵， ∴选择方案二购买更省钱． 25．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$