专题2.4 有理数的加法与减法（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题2.4 有理数的加法与减法 教学目标 1.理解有理数加法与减法的法则； 2.能熟练进行有理数的加法与减法运算； 3.能运用有理数的加法与减法解决实际问题. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数的加法和减法计算； （2）掌握有理数的加减法简便计算； （3）学会运用有理数的加减法解决问题。 2.难点 （1）有理数加减法与数轴、绝对值结合的问题； （2）有理数加减法的新定义计算。 知识点01 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)． (2)． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）绝对值不大于2的非负整数之和为 ． 知识点02 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 【即学即练】 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算的结果是 ． 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 知识点03 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在这四个数中，任意取两个数相减，所得的差最小是 ． 知识点04 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 【即学即练】 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把改写成只含加法的式子为 ． 11．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算题： (1)； (2)． 12．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)； 题型01 有理数的加法运算 【典例1】1．（   ） A． B． C． D．3 【变式1】计算：（1） ； （2） ． 【变式2】计算： ， ， ． 【变式3】计算： (1) (2) 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 掌握有理数的加法运算法则； 题型02 有理数加法中的符号问题 【典例1】两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【变式2】为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【变式4】将改写成省略加号的和的形式应为 ． 题型03 有理数加法在生活中的应用 【典例1】某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】以花花家为起点，向东走为正，向西走为负．如果花花从家先走了米，又走了米，这时花花在家的（   ） A．正西方向20米处 B．正西方向50米处 C．正东方向20米处 D．正东方向50米处 【变式2】若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 【变式3】手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 【变式4】为了丰富孩子们的校园生活，西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程．某周三在机器人社团活动中，高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行7趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子妈蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 题型04 有理数加法运算律 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【变式3】阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【变式4】计算：． 题型05 有理数减法运算 【典例1】计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【变式1】计算的结果是 ． 【变式2】若四个有理数之和是10，其中三个数分别是4，，，则第四个数是 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)． 题型06 有理数减法的实际应用 【典例1】全班学生分为五个组进行知识抢答比赛，每组的基本分为100分，答对1题加50分，答错1题扣50分．游戏结束时，各组的分数如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 100 150 350 (1)第一名超出第二名多少分？ (2)第三名超出第五名多少分？ 【变式1】学习情境·考试成绩，在一次数学测试中，七年级（1）班的平均分为分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数． (1)李军考了分，应该记作多少分？王明考了分，应记作多少分？ (2)陈兵的分数被记作分，他实际考了多少分？ (3)陈兵比李军低多少分？ 【变式2】如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：毫米）：①；②；③；④．其中不合格的是 ．（填写序号） 【变式3】我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．已知某地今天的气温为，比昨天的气温升高了，那么该地昨天的气温为（   ） A． B． C． D． 【变式4】某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 题型07 有理数的加减混合运算 【典例1】计算： 【变式1】计算： 【变式2】计算： 【变式3】计算： (1)； (2)． 【变式4】计算： (1) (2) (3) (4) 题型08 有理数加减中的简便运算 【典例1】下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算： 【变式2】计算： (1) (2) (3) 【变式3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式4】张老师在数学多媒体课上给出了如下的材料． 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： 有理数加减法中的简便运算，主要在于灵活运用有理数加减法的运算法则，比如交换律、结合律等； 题型09 有理数加减混合运算的应用 【典例1】嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【变式1】某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 【变式2】某食品店一星期中每天的盈亏情况如下（记盈余为正数）： 430元，元，元，370元，元，546元，688元．食品店这一星期总的盈亏情况如何？ 【变式3】小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【变式4】正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3 (1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克； 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 ________ ________ ________ ________ ________ (2)当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么． 题型10 省略加法和括号的形式 【典例1】将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】把写成省略括号的和的形式是(    ) A． B． C． D． 【变式2】不改变原式的值，把式子写成省略括号和加号的和的形式是（     ） A． B． C． D． 【变式3】把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【变式4】将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 题型11 有理数加减法与数轴结合 【典例1】在数轴上，点表示5，从点出发，沿数轴移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A．2或8 B．2 C．8 D．−2或−8 【变式1】如果数轴上的、两点表示的有理数分别为、，且，，，那么的值为（   ） A． B．或 C．2 D． 【变式2】在数轴上，如果点A表示的数是，那么到点A距离等于6个单位长度的点所表示的数是 ． 【变式3】点在数轴上表示的数如图所示，点先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点，则点在数轴上表示的数为 ． 【变式4】数学魔术：如图所示，数轴上的点、、、分别表示，，，． 请回答下列问题： (1)在数轴上描出、、、四个点； (2)用“<”把这四个数连接起来：__________________________； (3)现在把数轴的原点取在点处，其余都不变，那么点、、分别表示什么数？ 题型12 有理数加减法与绝对值结合 【典例1】绝对值大于1小于3的整数的和是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式1】将中的绝对值符号化去后，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个数所对应点是 ，绝对值最大的一个数所对应的点是 ．    【变式3】已知与互为相反数，是的绝对值． (1)求、的值； (2)当时，求的值． 【变式4】【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：， (1)【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ________； ________； (2)【拓展延伸】 题型13 有理数加减法的新定义运算 【典例1】对于有理数a、b，定义一种新运算※，规定：，则等于（   ） A．4 B． C． D． 【变式1】符号“f”表示，一种定义新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算：（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】定义新运算：，如．请计算 ． 【变式3】定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则 ． 【变式4】中考新趋势·新定义  定义：对于任意两个不相等的有理数，，计算，，将这两个计算结果中的最小值称为，的“关联差”．例如：对于1，，因为，，所以1，的“关联差”为． (1)的“关联差”是________； (2)的“关联差”与的“关联差”有什么关系，并说明理由． (3)（其中）的“关联差”是，求的值． 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）若南通某日最高气温为，最低气温为，则当日温差为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列算式中，运算结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）某地连续四天的最高、最低气温如表所示，则气温日较差（当日最高气温减去当日最低气温）最大的是（   ） 日期 周一 周二 周三 周四 最高气温 最低气温 A．周一 B．周二 C．周三 D．周四 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 6．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 7．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，16，，24，，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或 B．或 C．4或 D．4或 8．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是某市一月份某天的天气预报，则该市这一天的温差是 ． 晴 气温 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图是2024年扬州市广陵区连续的5天的天气情况，12月 日最高温度和最低温度的差距最大． 10．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在数轴上点表示的数是，将点沿着数轴正方向移动7个单位到达点，则点表示的数是 ． 11．（24-25七年级上·江苏常州·期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 ． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是 （选填“”，“”或“”）．    13．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是，2，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”现要在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，添加的负号个数最多个，最少个，则 ． 15．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 16．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算题： (1) (2) (3) (4) 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） (第三步) (第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律； (2)请指出她从第______步开始出现错误； (3)请你写出正确的解题过程． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 19．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“”，不足计划产量的记为“”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 21．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）生活中，通常用24时计时法表示具体时间与之相关，全球共分为24个时区，相邻两个时区的时间相差1小时，以英国格林威治所在的本初子午线为基准，在格林威治以东的地区，时差以“”标记，在格林威治以西的地区，时差以“”标记，下表是各城市与格林威治的时差： 城市 北京 纽约 悉尼 莫斯科 与格林威治时差（时） 例如：格林威治12时，对应北京当地时间20时，对应纽约当地时间8时． (1)莫斯科和纽约的时差是多少小时？ (2)若在悉尼的小明22时打电话给在纽约的小亮，则纽约当地时间是几时？ (3)小明将在11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月几日的几时？ 22．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了新车每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比使用原来汽油车节省多少钱？ 23．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：__________，B：__________； (2)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数__________表示的点重合； (3)若数轴上M、N两点之间的距离为15（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中的折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：__________，N：__________； (4)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中的折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：__________，N：__________． 24．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则_______，_______；A、B两点之间的距离为_______． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2024次时，求点P所对应的有理数； (3)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m（）个单位长度在A，B之间运动（到达A或B即停止运动），运动时间为t秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求D点运动的方向及m的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 有理数的加法与减法 教学目标 1.理解有理数加法与减法的法则； 2.能熟练进行有理数的加法与减法运算； 3.能运用有理数的加法与减法解决实际问题. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数的加法和减法计算； （2）掌握有理数的加减法简便计算； （3）学会运用有理数的加减法解决问题。 2.难点 （1）有理数加减法与数轴、绝对值结合的问题； （2）有理数加减法的新定义计算。 知识点01 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3)0 (4) 【分析】（1）根据两个负数相加的运算法则进行计算即可； （2）根据绝对值不相等的异号的两数相加进行计算即可； （3）根据互为相反数的两数相加的法则进行计算即可； （4）根据一个数与0相加的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，“两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值”是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2)10 【分析】（1）根据有理数的加法法则，从左到右依次进行计算即可； （2）利用加法结合律进行简算． 【详解】（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题考查有理数的加法．熟练掌握有理数的加法法则：“同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值大的符号，再用大绝对值减去小绝对值．”是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）绝对值不大于2的非负整数之和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值和非负整数的概念，涉及到了有理数的大小比较，依据正数和0的绝对值都等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，非负整数即为0和负整数进行判断与计算即可求解． 【详解】解：绝对值不大于2的非负整数为， ， 故答案为：3． 知识点02 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 【即学即练】 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算的结果是 ． 【答案】5 【分析】根据有理数的加减混合运算法则，先去括号，然后计算即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算法则，熟练运用运算法则是解题关键． 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先用加法交换律将分母相同的分数移到一起，再用加法结合律将同分母分数相加，最后再将所得的结果相加即可． 【详解】解： ． 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法以及其运算律，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则及其运算律． 根据有理数加法结合律和加法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的加法以及其运算律，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则及其运算律． 知识点03 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)10 (3)8 (4)0 【分析】本题考查有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （2）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （3）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （4）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 8．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可； （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 9．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）在这四个数中，任意取两个数相减，所得的差最小是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数减法，用最小的负数送去最大的正数所得差最小，即可解决问题． 【详解】解： 所以，用减去3得到的差最小，即， 故答案为：． 知识点04 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 【即学即练】 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把改写成只含加法的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及加减简便运算，掌握加减运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可． （2）利用有理数的加减法则结合简便方法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是先化简算式以及运用运算律简便计算． （1）先去括号，再利用加法交换律和结合律将同号的数先相加即可简化计算并求解； （2）先去括号，再利用加法交换律和结合律将能凑整的两个数先分别相加，最后再合并它们的结果即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型01 有理数的加法运算 【典例1】1．（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法，绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】计算：（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 【变式2】计算： ， ， ． 【答案】 0 0 0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 根据相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：； ； ， 故答案为：0，0，0． 【变式3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，掌握有理数加法运算法则即可解答． （1）直接根据有理数加法运算法则计算即可； （2）根据零与任何数的和不变即可解答． 【详解】（1）解： （2）解：． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可； （5）根据有理数的加法运算法则计算即可； （6）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 掌握有理数的加法运算法则； 题型02 有理数加法中的符号问题 【典例1】两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 【变式2】为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则化简，再判断即可． 【详解】原式=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，即括号前是“+”，去掉后，括号内不变号，括号前是“－”，去掉后，括号内变号． 【变式3】的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 【变式4】将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型03 有理数加法在生活中的应用 【典例1】某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，进货为正，出货为负，那么进货2吨为吨，出货3吨为吨，据此把二者相加即可得到答案． 【详解】解；由题意得，当天库存变化的是， 故选：A． 【变式1】以花花家为起点，向东走为正，向西走为负．如果花花从家先走了米，又走了米，这时花花在家的（   ） A．正西方向20米处 B．正西方向50米处 C．正东方向20米处 D．正东方向50米处 【答案】A 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可，本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得：（米）， 这时花花在家的正西方向20米处， 故选：A． 【变式2】若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的运算法则.直接根据题意计算即可. 【详解】∵公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，乘客变化为：，， ∴这时车上乘客人数为（人） 故答案为：12 【变式3】手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 【答案】+4/4 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴尹老师当天微信收支的最终结果是收入4元， 故答案为：4． 【变式4】为了丰富孩子们的校园生活，西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程．某周三在机器人社团活动中，高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行7趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子妈蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【答案】(1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． (2)厘米/秒 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加法应用，有理数的除法应用，根据题意正确的列式计算是解题的关键； （1）各数据相加即可求解； （2）计算出电子蚂蚁爬行的总路程，再除以时间即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． （2）∵， ∴（厘米/秒）． 答：电子蚂蚁的速度（厘米/秒）． 题型04 有理数加法运算律 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 【变式3】阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，先拆项，然后利用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】 ． 题型05 有理数减法运算 【典例1】计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【变式1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数减法法则，先将减法转化为加法，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】若四个有理数之和是10，其中三个数分别是4，，，则第四个数是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 根据题意列出算式，然后根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8； (2)0； (3)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型06 有理数减法的实际应用 【典例1】全班学生分为五个组进行知识抢答比赛，每组的基本分为100分，答对1题加50分，答错1题扣50分．游戏结束时，各组的分数如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 100 150 350 (1)第一名超出第二名多少分？ (2)第三名超出第五名多少分？ 【答案】(1)200分 (2)500分 【分析】本题考查了有理数减法的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）根据题意，找到第一名和第二名对应的分数，再相减即可； （2）根据题意，找到第三名和第五名对应的分数，再相减即可． 【详解】（1）解：由题意得，第一名为第四组350分，第二名为第二组150分， （分）， 答：第一名超出第二名200分． （2）解：由题意得，第三名为第一组100分，第五名为第三组分， （分）， 答：第三名超出第五名500分． 【变式1】学习情境·考试成绩，在一次数学测试中，七年级（1）班的平均分为分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数． (1)李军考了分，应该记作多少分？王明考了分，应记作多少分？ (2)陈兵的分数被记作分，他实际考了多少分？ (3)陈兵比李军低多少分？ 【答案】(1)分记作分，分记作分 (2)分 (3)低分 【分析】本题考查正负数的意义，有理数的加、减法，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键． （1）利用正负数的意义解答即可； （2）利用正负数的意义及有理数加法求解即可； （3）利用有理数减法求解即可． 【详解】（1）解：分记作分，分记作分； （2）解：（分）， 即陈兵实际考了分； （3）解：（分）， 即陈兵比李军低9分． 【变式2】如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：毫米）：①；②；③；④．其中不合格的是 ．（填写序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【详解】解：∵，， ∴零件的直径的合格范围是：零件的直径， ∵不在该范围之内， ∴不合格的是①， 故答案为：①． 【变式3】我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．已知某地今天的气温为，比昨天的气温升高了，那么该地昨天的气温为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用今天的气温减去上升的温度即可得到答案． 【详解】解：， ∴该地昨天的气温为， 故选：B． 【变式4】某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 【答案】(1) (2)亏了，亏了8元 (3)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）用总数减去另外6天的盈亏情况，得出答案即可； （2）根据解析（1）的计算结果进行判断即可； （3）根据表格中数据列式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴星期五的盈亏数为； （2）解：由于是负数，故星期五亏了，亏了8元． （3）解：（元）． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 题型07 有理数的加减混合运算 【典例1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数加减混合运算计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键，根据有理数的加减运算进行计算即可求解． 【详解】解：原式 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．结合加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）先化简符号，再计算即可； （2）先化简符号，再计算即可； （3）直接加减计算即可； （4）先通分，再计算，再约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 题型08 有理数加减中的简便运算 【典例1】下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． （1）把原式变形为，再计算加减法即可； （2）先把除法变成分式形式，再先计算两个分数的加法，最后计算减法即可； （3）先去括号，然后变形得到，再计算加减法即可； （4）把原式变形为，再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 【变式1】计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数加减运算法则即可解答； 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用加减法法则变形，计算即可得到结果； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【变式3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减法的简便运算， （1）利用加法的交换律和结合律对式子进行变形，然后再计算即可得解； （2）利用加法的交换律和结合律对式子进行变形，然后再计算即可得解； 熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】张老师在数学多媒体课上给出了如下的材料． 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，熟练的利用拆解法求和是解本题的关键，把原式化为，再结合运算律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 有理数加减法中的简便运算，主要在于灵活运用有理数加减法的运算法则，比如交换律、结合律等； 题型09 有理数加减混合运算的应用 【典例1】嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加减运算等知识点，理解正负数的相反意义成为解题的关键． 先根据有理数的正负数的相反意义列式，然后根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：元． 故选D． 【变式1】某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正负数的应用，有理数加减混合运算，根据正负数的意义列式，再计算即可． 【详解】解： 元， 故答案为：． 【变式2】某食品店一星期中每天的盈亏情况如下（记盈余为正数）： 430元，元，元，370元，元，546元，688元．食品店这一星期总的盈亏情况如何？ 【答案】食品店这一星期盈利1930元 【分析】本题主要考查有理数加减的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： （元）； 答：食品店这一星期盈利1930元． 【变式3】小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克 (2)小王第一周实际销售文具的总量是718千克 (3)小王这一周文具销售收入共3590元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六文具的销量减去周五文具的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，实际每天销售量最多超过13千克，实际每天销售量最少低7千克， 所以（千克）， 答：小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）解：小王第一周实际销售文具的总量： （千克）， 答：小王第一周实际销售文具的总量是718千克． （3）解：小王这一周文具销售收入共： （元）， 答：小王这一周文具销售收入共3590元． 【变式4】正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3 (1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克； 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 ________ ________ ________ ________ ________ (2)当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么． 【答案】(1)55； (2)合格，理由见详解 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键． （1）根据题意可知，标准质量为55克，据此可得结果； （2）求出8次记录的数的和，判断其是否在至之间即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得标准质量为55克，； 故答案为：55；； （2）解：由题意得：， ，即， 这盒月饼在总质量上是合格的． 题型10 省略加法和括号的形式 【典例1】将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握有理数的加法法则和减法法则是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1】把写成省略括号的和的形式是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数意义及有理数的加法法则处理． 【详解】解：， 故选：A 【点睛】本题考查相反数的意义，有理数的加法；理解有理数的加法法则是解题的关键． 【变式2】不改变原式的值，把式子写成省略括号和加号的和的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多重符号的化简方法计算即可． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查化简多重符号，解题的关键是掌握化简方法，即：一个数前面有偶数个负号，结果为正．一个数前面有奇数个负号，结果为负．0前面无论有几个负号，结果都为0． 【变式3】把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用减法法则变形即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4】将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 【答案】 负、、负、、负的和(或负加减加减) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数去括号法则直接计算即可得到结果，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： ， 读作：、、、、的和或加减加减， 故答案为：；负、、负、、负的和(或负加减加减） 题型11 有理数加减法与数轴结合 【典例1】在数轴上，点表示5，从点出发，沿数轴移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A．2或8 B．2 C．8 D．−2或−8 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点的距离计算，分当点A沿数轴负方向移动3个单位长度到达点时，当点A沿数轴正方向移动3个单位长度到达点时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：当点A沿数轴负方向移动3个单位长度到达点时，则点表示的数是， 当点A沿数轴正方向移动3个单位长度到达点时，则点表示的数是， ∴点B表示的数为2或8， 故选A． 【变式1】如果数轴上的、两点表示的有理数分别为、，且，，，那么的值为（   ） A． B．或 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据，可得：的和为正数，再根据，，可得，或，这2种情况满足的和为正数，然后即可求解的值； 【详解】解：∵， ∴的和为正数， ∵，， ∴，， 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 综上所述，存在2种情况，即，或，这2种情况满足的和为正数， ∴当，时，，当，时，， 故选：B； 【变式2】在数轴上，如果点A表示的数是，那么到点A距离等于6个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，分该点在点A右侧和左侧两种情况，根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：当到点A距离等于6个单位长度的点在点A左侧时，则该点表示的数为， 当到点A距离等于6个单位长度的点在点A右侧时，则该点表示的数为； 故答案为：或． 【变式3】点在数轴上表示的数如图所示，点先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了数轴及数轴上动点问题，列代数式，根据数轴上点移动的规律即可求解，熟练掌握数轴上点移动的规律是解题的关键． 【详解】解：点先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点， ∴点A先向右移动6个单位，再向左移动3个单位到达点B， ∵点A表示的数是， ∴点B在数轴上表示的数为：， 故答案为：0． 【变式4】数学魔术：如图所示，数轴上的点、、、分别表示，，，． 请回答下列问题： (1)在数轴上描出、、、四个点； (2)用“<”把这四个数连接起来：__________________________； (3)现在把数轴的原点取在点处，其余都不变，那么点、、分别表示什么数？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)点、、分别表示的数为、、 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、有理数的加法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）在数轴上描出四个点的位置即可； （2）结合（1）中点的位置，利用数轴比较有理数的大小即可； （3）把数轴的原点取在点处，相当于数轴上所有数都加上，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：用“<”把这四个数连接起来：． 故答案为：． （3）解：把数轴的原点取在点处，相当于数轴上所有数都加上， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点、、分别表示的数为、、． 题型12 有理数加减法与绝对值结合 【典例1】绝对值大于1小于3的整数的和是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，掌握绝对值的意义是解题的关键；根据绝对值的几何意义计算即可； 【详解】绝对值大于1且小于3的整数有：， ∴， 故选A． 【变式1】将中的绝对值符号化去后，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值，根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数，进行求解即可． 【详解】解：， 故选D． 【变式2】如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个数所对应点是 ，绝对值最大的一个数所对应的点是 ．    【答案】 M P 【分析】本题考查了数轴，相反数与绝对值．根据得到n，q互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴n，q互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴绝对值最小的一个数所对应点是M，绝对值最大的一个数所对应的点是P． 故答案为：M；P． 【变式3】已知与互为相反数，是的绝对值． (1)求、的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，绝对值的非负性，有理数的加法计算： （1）只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可； （2）根据绝对值的非负性得到，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数，是的绝对值， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4】【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：， (1)【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ________； ________； (2)【拓展延伸】 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的加减计算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． （1）根据进行化简绝对值即可； （2）先根据化简绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 题型13 有理数加减法的新定义运算 【典例1】对于有理数a、b，定义一种新运算※，规定：，则等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算形式，以及对有理数混合运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义的运算，把相应的数值代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式1】符号“f”表示，一种定义新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算：（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法：数字的变化类，观察（1）中的各数，我们可以得出，观察（2）中的各数，我们可以得出，由此我们可以计算的值． 【详解】解：观察（1）中的各数，我们可以得出， 观察（2）中的各数，我们可以得出． 则：． 故选：A． 【变式2】定义新运算：，如．请计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，．则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的大小比较及加法运算，新定义，掌握表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数是解题的关键．根据新定义求解即可． 【详解】解：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数， ， 故答案为：8． 【变式4】中考新趋势·新定义  定义：对于任意两个不相等的有理数，，计算，，将这两个计算结果中的最小值称为，的“关联差”．例如：对于1，，因为，，所以1，的“关联差”为． (1)的“关联差”是________； (2)的“关联差”与的“关联差”有什么关系，并说明理由． (3)（其中）的“关联差”是，求的值． 【答案】(1) (2)的“关联差”与的“关联差”相等，见解析 (3)或6 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意． （1）根据“关联差”的定义进行求解即可； （2）分别计算出相应的“关联差”，再比较即可； （3）根据“关联差”的定义列方程求解即可． 【详解】（1） 的“关联差”是． （2），的“关联差”与，4的“关联差”相等．理由如下， ，， 的“关联差”为． ，， ，的“关联差”为， ，的“关联差”与，的“关联差”相等． （3）（其中）的“关联差”是， 或， 解得或6， 的值为或6． 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）若南通某日最高气温为，最低气温为，则当日温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的减法的应用，求该日的温差就是作减法，用最高气温减去最低气温，列式即可计算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当日温差为， 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列算式中，运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、有理数的加法，首先根据在一个数的前面加一个负号表示求这个数的相反数，可得：，可得：原式，然后再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数减法，解题的关键是正确理解的意义． 根据的意义分析得出然后进行减法运算即可． 【详解】解：由得： 该机器零件尺寸最大相差， 故选：． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）某地连续四天的最高、最低气温如表所示，则气温日较差（当日最高气温减去当日最低气温）最大的是（   ） 日期 周一 周二 周三 周四 最高气温 最低气温 A．周一 B．周二 C．周三 D．周四 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数的减法，依据题意准确列出算式是解题的关键．求出每天的温差，然后比较即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴温差最大的是周三． 故选C． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 6．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法，根据绝对值的定义求出x，y的值，根据，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故选：D． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，16，，24，，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或 B．或 C．4或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为8，再由已经填写的数，确定或，即可求解． 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为8， ∴由横线得：， ∴， 如图，设空白位置两个数分别为a、b, ∴由内圈得：，解得： ∵，即 ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或． 故选：A． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是某市一月份某天的天气预报，则该市这一天的温差是 ． 晴 气温 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数减法运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：7． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图是2024年扬州市广陵区连续的5天的天气情况，12月 日最高温度和最低温度的差距最大． 【答案】9 【分析】本题考查有理数的减法，有理数的大小比较，结合已知条件求得每天的温差是解题的关键．根据题意分别计算每天的温差后比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴12月9日最高温度和最低温度的差距最大， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在数轴上点表示的数是，将点沿着数轴正方向移动7个单位到达点，则点表示的数是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了数轴上点的移动，根据左减右加进行解答即可． 【详解】解：在数轴上点表示的数是，将点沿着数轴正方向移动7个单位到达点，则点表示的数是， 故答案为：4 11．（24-25七年级上·江苏常州·期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算运算的应用，根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加减运算进行计算即可． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是 （选填“”，“”或“”）．    【答案】 【分析】本题考查有理数的加减应用，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 先根据最左边的一列三个数字和为，再利用最下面一行的数字求解即可． 【详解】解：最左边的一列三个数字和为， ∴由最下面一行数字可得右下角方框代表的数是； 故答案为： 13．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是，2，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含的式子表示出线段的长度． 根据题意可得，由折叠后，可得，再根据两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：∵A，B表示的数分别是，2， ∴， ∵折叠后， ∴， ∵点C在点B的左侧， ∴点C表示的数为， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”现要在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，添加的负号个数最多个，最少个，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减混合运算，首先算出12个数的和，要使添加负号后所有数之和等于零，则12个数分成两部分，正数之和、负数之和的绝对值相等，都是39，因此尝试添上负号的数较大即可得到n的值，从小的数字前添加负号，即可得到m的值，从而得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴添上负号的数的和为，其余数的和为39， ∵要填负号最少，需从大的数字前面加负号， ，， ∴至少要添4个负号， ∴， ∵要填负号最多，需从小的数字前面加负号， ，， ∴至多要添8个负号， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题考查了有理数加减计算法则，熟练掌握计算法则是解题的关键： （1）先去括号，再计算加减法； （2）先去括号，再计算加减法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 16．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)5 (4)0 【分析】本题考查了有理数的加法，减法，加减混合运算． （1）按照有理数加法法则进行计算即可； （2）先通分，再按照有理数加法法则进行计算； （3）先用加法交换律和结合律，将算术整理，再进行计算即可； （4）先将绝对值化简，将利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） (第三步) (第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律； (2)请指出她从第______步开始出现错误； (3)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)交换；结合 (2)三 (3)见解析 【分析】本题主要查了有理数的加减混合运算： （1）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解； （2）根据有理数加法法则解答，即可求解； （3）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解． 【详解】（1）解：小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律； 故答案为：交换；结合． （2）解：她从第三步开始出现错误； 故答案为：三． （3）解：原式 ． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数与数轴的关系，有理数的运算法则及绝对值的意义，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）根据有理数在数轴上的位置，结合加法和减法法则计算即可； （2）根据绝对值的意义，结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 19．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“”，不足计划产量的记为“”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 【答案】(1)表中被污染的数据是 (2)该服装厂星期五生产了392套运动服 【分析】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，解题的关键是读懂题意． （1）用合计减去其他六天的情况即可求出； （2）根据第（1）问即可求出星期五的生产情况． 【详解】（1）解：依题意得，星期五工厂多生产运动服为： ，   ，         ∴表中被污染的数据是； （2）解：由（1）得：该服装厂星期五生产的运动服比平均数量少8件， ∴套，                      ∴该服装厂星期五生产了392套运动服． 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）生活中，通常用24时计时法表示具体时间与之相关，全球共分为24个时区，相邻两个时区的时间相差1小时，以英国格林威治所在的本初子午线为基准，在格林威治以东的地区，时差以“”标记，在格林威治以西的地区，时差以“”标记，下表是各城市与格林威治的时差： 城市 北京 纽约 悉尼 莫斯科 与格林威治时差（时） 例如：格林威治12时，对应北京当地时间20时，对应纽约当地时间8时． (1)莫斯科和纽约的时差是多少小时？ (2)若在悉尼的小明22时打电话给在纽约的小亮，则纽约当地时间是几时？ (3)小明将在11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月几日的几时？ 【答案】(1)莫斯科和纽约的时差是7小时 (2)纽约当地时间是7时 (3)经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月15的12时 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减运算的实际应用，理解时差中的正号与负号的含义是解本题的关键． （1）利用莫斯科与格林威治的时差减去纽约与格林威治的时差，即可作答； （2）先求出纽约与悉尼的时差，再用悉尼的时刻减去所求的时差，即可作答； （3）先求出飞机抵达悉尼的北京时刻，再求出北京与悉尼的时差，再用所得的北京时刻加上该时差，即可作答． 【详解】（1）解：（小时）， 答：莫斯科和纽约的时差是7小时； （2）解：悉尼和纽约的时差为（小时）， （时） 答：纽约当地时间是7时； （3）解：11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时后是北京时间11月15日9时，北京和悉尼的时差为（小时）， ∴（时）， 答：经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月15的12时． 22．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了新车每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比使用原来汽油车节省多少钱？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算． 首先计算出表格中的和为，再用每天行驶的标准乘以天得到七天的行驶标准为，两数相加求出总路程即可． 利用中的总路程计算出用汽油的总费用和用电的总费用，两数相减即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了； （2）解： (元)， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 23．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：__________，B：__________； (2)若经过折叠，A点与表示的点重合，则B点与数__________表示的点重合； (3)若数轴上M、N两点之间的距离为15（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中的折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：__________，N：__________； (4)若数轴上M、N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中的折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：__________，N：__________． 【答案】(1)1； (2)0 (3)； (4)；1010 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离． （1）观察数轴得出答案即可； （2）根据点A与表示的点重合可得对折点为，继而可得点B关于对称的点； （3）数轴上M、N两点之间的距离为15，对折点为，结合M在N的左侧，分别求出M、N两点表示的数即可； （4）根据解析（3）的方法，求出M、N两点表示的数即可． 【详解】（1）解：由数轴可知点A表示数1，点B表示数； （2）解：∵经过折叠，A点与表示的点重合， ∴对称中心为， ∴与点B与重合的数为， （3）解：∵数轴上M、N两点之间的距离为15，且M、N两点经过（2）中的折叠后重合， ∴M、N两点关于对称， ∵M在N的左侧， ∴点M表示的数为：， 点N表示的数为：； （4）解：∵数轴上M、N两点之间的距离为2024，且M、N两点经过（2）中的折叠后重合， ∴M、N两点关于对称， ∵点M在点N的左侧时，点M表示的数为：， 点N表示的数为：． 24．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则_______，_______；A、B两点之间的距离为_______． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2024次时，求点P所对应的有理数； (3)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m（）个单位长度在A，B之间运动（到达A或B即停止运动），运动时间为t秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求D点运动的方向及m的值． 【答案】(1)，6，10 (2)1008 (3)D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为 【分析】本题考查了多项式的系数与次数、数轴的动点问题和整式加减的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确的表示数轴上的有理数． （1）根据二次多项式的定义得到，由此求得的值；然后由多项式的系数的定义得到的值，根据求解的值即可； （2）向左运动记为负，向右运动记为正，然后根据题意列式计算即可； （3）分点D从原点向左运动和点D从原点向右运动两种情况求解即可 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为b， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：，6，10； （2）解：由题意可得：； （3）解：当点D从原点向左运动时， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 当点D从原点向右运动时， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∵， ∴此种情形不存在． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$