专题2.3 绝对值与相反数（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题2.3 绝对值与相反数 教学目标 1.理解绝对值的概念与性质，能求一个数的绝对值； 2.理解相反数的概念，能求一个数的相反数； 3.能利用绝对值与相反数的知识解决简单问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握绝对值、相反数的概念； （2）学会比较有理数的大小； 2.难点 （1）学会运用绝对值的非负性，并能解决相关问题； （2）绝对值与数轴结合的动点问题。 知识点01 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 【即学即练】 1．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25·七年级上·江苏徐州·阶段练习）一个数在数轴上表示的点离原点的距离是5，这个数是 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，，若，则b的值为 ． 知识点02 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【即学即练】 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若、满足，则的值（ ） A． B．1 C．5 D． 5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 6．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合． 知识点03 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 【即学即练】 7．（24-25·七年级上·江苏扬州·阶段练习）一个数的相反数是5，则这个数是（   ） A． B． C． D．5 8．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 知识点04 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即学即练】 10．（24-25·七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）化简下列各数： (1)+（﹣3）； (2)﹣（+5）； (3)﹣（﹣3.4）； (4)﹣[+（﹣8）]； (5)﹣[﹣（﹣9）]． 12．（24-25·七年级上·江苏·阶段练习）（1）﹣[﹣(+2)]＝_______ （2）﹣[﹣(﹣2007)]＝_______ （3）﹣[+(﹣27)]＝_______ （4）＝_______． 知识点05 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【即学即练】 13．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列四个数中，绝对值大于本身的数是（    ） A． B． C．2 D．0 14．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）四个数，，，中，最小的数是 ． 15．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）给出下列5个数：，，，0，4．在这些数中， (1)整数有______，分数有______； (2)互为相反数的是______，绝对值最小的数是______； (3)把这些数用“”号连接起来． 题型01 求一个数的绝对值 【典例1】的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，数轴上点A表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】中国算盘是中国古代重要的计算工具．如果算盘上拨出的数表示为“”，则该数的绝对值是（ ）． A． B．25 C． D．0 【变式3】在中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最大．则被替换的数字是 ． 【变式4】求下列各数的绝对值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 相反数的定义 【典例1】的相反数是（ ） A． B． C． D． 【变式1】有理数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】的相反数是 ，是 的相反数，相反数是它本身的数是 ． 【变式3】若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是16，则这两个数的乘积是 ． 【变式4】分别写出下列各数的相反数： ，，0，，． 题型03 相反数的应用 【典例1】已知有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度且在原点的左侧，，互为相反数，则的值是（    ） A． B．4 C．0 D． 【变式1】若 与 互为相反数，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，互为相反数，则的值为 ． 【变式3】当 时，代数式与的值互为相反数． 【变式4】已知代数式的值与代数式的值互为相反数，求x的值． 题型04 化简多重符号 【典例1】下列各数对中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】 ， 【变式2】化简：= ，= ． 【变式3】化简下列各数． (1) (2) (3) 【变式4】化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 先看有几个负号，确定整体的正负号情况，再将数字写出来即可； 题型05 有理数的大小比较 【典例1】下列四个数，0，3，中，最小的数是（   ） A． B．0 C．3 D． 【变式1】若，则 0（填“”、“=”、“”） 【变式2】比较下列各组数的大小． (1)5和； (2)和； (3)和； (4)和． 【变式3】比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 【变式4】已知，． (1)若a，b异号，求a，b的值； (2)若，求a，b的值． 题型06 有理数大小比较的实际应用 【典例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 【变式3】近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月 日． 支付账单 日期 交易明细 4.10 买菜 4.11 转账收入 4.12 乘坐公交车 4.13 日常用品 4.14 衣物 【变式4】已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 题型07 绝对值的几何意义【典例1】如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【变式1】实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【变式2】已知表示与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，的最小值为 ． 【变式3】如图，已知四个有理数在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为，且，则在四个有理数中，绝对值最小的一个是 ． 【变式4】 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 题型08 绝对值的非负性 【典例1】若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】已知实数a，b满足则 ． 【变式2】若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【变式3】已知： ， (1)求出a，b的值； (2)求的值． 【变式4】在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 题型09 绝对值的实际应用 【典例1】一批食品，标准质量为每袋340g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一批食品的标准质量是，现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．下列各数中，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【变式3】党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 【变式4】某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 题型10 绝对值的其他应用 【典例1】绝对值不小于2且小于的负整数是 ． 【变式1】数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【变式2】老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为 ． 【变式3】如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有 ．（保留）    【变式4】已知点是同一数轴上的不同四点，且点为线段的中点，点为线段的中点．如图，设数轴上点表示的数为，点表示的数为． (1)若数轴上点表示的数分别是，直接写出此时线段的长是_____________． (2)若四点从左到右依次在数轴上，，请结合数轴，求点表示的数． (3)若点均在点的右侧，且始终满足，求点在数轴上所表示的数． 题型11 绝对值与数轴结合（动点） 【典例1】如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数是1，则与点表示的数互为相反数的是（    ）    A． B．3 C． D．2 【变式1】数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的数是 ． 【变式2】数轴上有A、B两点，点A表示8的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，在数轴以1单位长度/秒的速度运动，3秒后，点P到点A的距离为 单位长度． 【变式3】已知数轴上有A，B，C三点，其中A点表示的数为，B点表示的数为4，C点表示的数是7，数轴上有另一动点D，当的值最小时，的最小值为 ． 【变式4】如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)点表示的数是_______，_______秒时，点到达点． (2)运动过程中点表示的数是_______．（用含的代数式表示） (3)若另一动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且，同时出发，当x为多少秒时，点与点之间的距离为个单位长度？ 1．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）数轴上表示的点在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 2．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．2025的绝对值是 B．2025的相反数是 C．2025的倒数是 D．2025的相反数的绝对值是 3．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若，则代数式的值是（  ） A． B．8 C． D． 5．（24-25·七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，具体如下表（单位：）． 样品编号 质量 那么，最接近标准质量的样品编号为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）若a表示一个有理数，且有，则a应该是（   ） A．任意一个有理数 B．任意一个正数 C．任意一个负数 D．任意一个非负数 8．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）的相反数是 ． 10．（2025·江苏南京·一模）比较大小： ．（填“”“”或“”号） 11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于有理数m、n，若，，则n ．（填“”“”或“”） 13．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，如果为的中点．那么 ． 14．（2024七年级上·江苏·专题练习）当 时，有最小值是 ． 15．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我们知道，一个数的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点，则即表示两点之间的距离若有理数满足，则的值为 ． 16．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）数轴上，点A、点B分别表示有理数a、b，则表示点A和点B之间的距离．若有理数a、b、c满足，，则 ． 17．（24-25·七年级上·江苏镇江·阶段练习）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 18．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知． (1)若，求的值： (2)若，求的值． 19．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 20．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）1）如图，点A、点B在数轴上． ①点A表示的数是______，点B表示的数是 ． ②请在数轴上画出表示的点C、点D、点E； （2）有理数、表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简 _______；_______； _______； _______；_______． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 22．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：在数轴上，若点P到点A的距离是2，则称点P为点A的“开心点”；若点P到点M、N的距离之和为5，则称点P为点M、N的“高兴点”． 【初步应用】 （1）若点P为点A的“开心点”，点A表示的数是3，则点P表示的数是_________； （2）若点P为点M、N的“高兴点”，点M表示的数是，点N表示的数是3，则点P表示的数可以是________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点A表示的数是，点B表示的数是3，点C表示的数是，一只电子蚂蚁P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求经过多少时间电子蚂蚁P是点A、B的“高兴点”？ 23．（24-25七年级上·江苏南通·期中）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是_______； (2)尝试解绝对值方程：； (3)在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 24．（24-25·七年级上·江苏徐州·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 25．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数1，C点表示数6，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)当秒时，________； (2)________（用含t的代数式表示） (3)当t为何值时，点A到原点O的距离与点B到原点O的距离相等？请说明理由． (4)在运动过程中，若的值不随时间t的变化而改变，求常数m的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 绝对值与相反数 教学目标 1.理解绝对值的概念与性质，能求一个数的绝对值； 2.理解相反数的概念，能求一个数的相反数； 3.能利用绝对值与相反数的知识解决简单问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握绝对值、相反数的概念； （2）学会比较有理数的大小； 2.难点 （1）学会运用绝对值的非负性，并能解决相关问题； （2）绝对值与数轴结合的动点问题。 知识点01 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 【即学即练】 1．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的几何意义即可得解，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 【详解】解：根据绝对值的意义可得， 故选：B． 2．（24-25·七年级上·江苏徐州·阶段练习）一个数在数轴上表示的点离原点的距离是5，这个数是 ． 【答案】5或 【解析】略 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，，若，则b的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查绝对值、比较有理数的大小，掌握绝对值的性质及比较有理数大水的法则是解题的关键． 首先根据绝对值的性质，求出b的取值，然后根据进一步确定b的值即可． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：4． 知识点02 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 【即学即练】 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若、满足，则的值（ ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握其性质并加以应用是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选A． 5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴有最大值3， 故选：D． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合． 【答案】3 【分析】本题主要考查了非负数的非负性和对称点．先根据可得: ，求出，根据最小的正整数可得，然后根据折叠，使得A点与C点重合，求出对称点，即可得出结果. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因为最小的正整数是1， 所以， 因为折叠，使得A点与C点重合， 所以点A与点C的中点对应的数为：， 点B到2的距离为1，所以与点B重合的数是：， 故答案为：3． 知识点03 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 【即学即练】 7．（24-25·七年级上·江苏扬州·阶段练习）一个数的相反数是5，则这个数是（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义．解题的关键是掌握相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，即的相反数是5， ∴这个数是， 故选：C． 8．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的绝对值，相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、2025和不是相反数，不符合题意； C、，不是相反数，不符合题意； D、和不是相反数，不符合题意； 故选A． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若与互为相反数，则的绝对值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，由相反数的定义可得，即得，再根据绝对值的意义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点04 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 【即学即练】 10．（24-25·七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，去括号，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 11．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）化简下列各数： (1)+（﹣3）； (2)﹣（+5）； (3)﹣（﹣3.4）； (4)﹣[+（﹣8）]； (5)﹣[﹣（﹣9）]． 【答案】(1) (2) (3)3.4 (4)8 (5) 【分析】（1）根据+（﹣3）表示﹣3的本身求解即可； （2）根据﹣（+5）表示+5的相反数求解即可； （3）根据﹣（﹣3.4）表示﹣3.4的相反数求解即可； （4）根据﹣[+（﹣8）] 表示﹣8的相反数求解即可； （5）根据﹣[﹣（﹣9）] 表示﹣9的本身求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）． 【点睛】此题主要考查了相反数的意义，正确发现符号变化规律是解题关键． 12．（24-25·七年级上·江苏·阶段练习）（1）﹣[﹣(+2)]＝_______ （2）﹣[﹣(﹣2007)]＝_______ （3）﹣[+(﹣27)]＝_______ （4）＝_______． 【答案】（1）2；（2）-2007；（3）27；（4） 【分析】多重符号化简与“＋”无关，有奇数个“－”号结果为其相反数，有偶数个“－”号结果为其本身，据此进行化简即可． 【详解】解：（1）﹣[﹣（+2）]＝﹣（﹣2）＝2； （2 ）﹣[﹣（﹣2007）]＝﹣2007； （3）﹣[+（﹣27）]＝﹣（﹣27）＝27； （4）（）． 【点睛】本题考查相反数的定义及多重符号化简，熟练掌握多重符号化简的方法是解题的关键． 知识点05 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【即学即练】 13．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列四个数中，绝对值大于本身的数是（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据“正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值是它的相反数”可知负数的绝对值是正数，一定大于它本身，只需找出选项中的负数即可． 【详解】解：A、，等于本身，故A不符合题意； B、，大于本身，故B符合题意； C、，等于本身，故C不符合题意； D、，等于本身，故D不符合题意． 故选：B ． 14．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）四个数，，，中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，掌握其比较方法是关键． 根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是， 故答案为： ． 15．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）给出下列5个数：，，，0，4．在这些数中， (1)整数有______，分数有______； (2)互为相反数的是______，绝对值最小的数是______； (3)把这些数用“”号连接起来． 【答案】(1)，0，4；，； (2)，；； (3) 【分析】（1）根据正整数，0，负整数，分数的含义解答即可； （2）根据相反数与绝对值的含义可得互为相反数的是，，绝对值最小的数是0； （3）利用空间想象结合数轴上各数对应的点在数轴上的位置可得答案． 【详解】（1）解：∵， 在，，，0，4这些数中 整数有，0，4，分数有，； （2）解：互为相反数的是，，绝对值最小的数是0； （3）解：． 【点睛】本题考查的是有理数的分类，相反数，绝对值的含义，有理数的大小比较，掌握以上基础知识是解本题的关键． 题型01 求一个数的绝对值 【典例1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据，即可作答． 【详解】解：， 故选：A 【变式1】如图，数轴上点A表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值，根据点A在数轴上的位置确定点A表示的数，再根据负数的绝对值时它的相反数，正数和0的绝对值是它本身可得答案． 【详解】解：由题意得，点A表示的数为，则数轴上点A表示的数的绝对值是， 故选：C． 【变式2】中国算盘是中国古代重要的计算工具．如果算盘上拨出的数表示为“”，则该数的绝对值是（ ）． A． B．25 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值时他的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式3】在中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最大．则被替换的数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则：正数都大于0； 负数都小于0； 正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小比较被替换的数的绝对值的大小，得到答案． 【详解】解：被替换的数是，，，， ， ∴最大的数是， ∴使所得的数最大，则被替换的数字是5， 故答案为：． 【变式4】求下列各数的绝对值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求绝对值，熟练掌握求绝对值的方法是解题的关键． 根据正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型02 相反数的定义 【典例1】的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：，则的相反数是， 故选：D． 【变式1】有理数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，正确理解定义是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：有理数的相反数是． 故选：A． 【变式2】的相反数是 ，是 的相反数，相反数是它本身的数是 ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数定义，是解题的关键．根据相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：的相反数是，是的相反数，相反数是它本身的数是0． 故答案为：；；0． 【变式3】若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是16，则这两个数的乘积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，根据互为相反数的两个数的绝对值相等求解即可． 熟记互为相反数的两个数的绝对值相等是解题的关键． 【详解】解：互为相反数的两个数的绝对值为， 则这两个数是和． 这两个数的乘积是 故答案为：． 【变式4】分别写出下列各数的相反数： ，，0，，． 【答案】；9；0；；1.5 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数．特别地，0的相反数是0．一般地，任意的一个有理数a，它的相反数是．a本身既可以是正数，也可以是负数，还可以是零”是解题的关键．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的相反数是9， 0的相反数是0， 的相反数是， 的相反数是1.5． 题型03 相反数的应用 【典例1】已知有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度且在原点的左侧，，互为相反数，则的值是（    ） A． B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】由“有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度且在原点的左侧”可得，由“，互为相反数”可得，然后将，代入求值即可． 【详解】解：有理数所表示的点与原点的距离为4个单位长度且在原点的左侧， ， ，互为相反数， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，相反数的应用，代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值的意义及相反数的应用是解题的关键． 【变式1】若 与 互为相反数，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，根据相反数的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【变式2】若，互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的性质，解题关键是明确两个互为相反数的数之和为0，代入求解即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 则 故答案为：． 【变式3】当 时，代数式与的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，相反数的性质；根据相反数的性质：互为相反数的两个数和为零，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 【变式4】已知代数式的值与代数式的值互为相反数，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得：． 故． 题型04 化简多重符号 【典例1】下列各数对中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查相反数，先去绝对值，进行多重符号化简，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数相同，不符合题意； B、，，两数相同，不符合题意； C、，，两数互为相反数，符合题意； D、，，两数相同，不符合题意； 故选：C． 【变式1】 ， 【答案】 2 【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【详解】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 【变式2】化简：= ，= ． 【答案】 8 / 【分析】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．同时还考查了绝对值的意义，理解相关概念是解题关键． 【详解】解：，， 故答案为：8；． 【变式3】化简下列各数． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相反数． （1）根据相反数的定义化简即可； （2）根据相反数的定义化简即可； （3）根据相反数的定义化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式4】化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符合的方法是解题的关键． （1）利用化简多重符合的方法即可求解； （2）利用化简多重符合的方法即可求解； （3）利用化简多重符合的方法即可求解； （4）利用化简多重符合的方法即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 先看有几个负号，确定整体的正负号情况，再将数字写出来即可； 题型05 有理数的大小比较 【典例1】下列四个数，0，3，中，最小的数是（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：D． 【变式1】若，则 0（填“”、“=”、“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据得，于是，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】比较下列各组数的大小． (1)5和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的大小比较，结合绝对值的化简和相反数，熟练掌握有理数大小的比较法则是解题的关键． （1）根据整数大于负数即可解答； （2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （3）先化简，再利用一个正数和一个负数比较大小的法则比较即可解答； （4）先化简，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：因为正数大于负数， 所以． （2）解：． 因为，即， 所以． （3）解：． 因为正数大于负数， 所以，即． （4）解：． 因为， 所以． 【变式3】比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，，， ∴； （3）解：∵，，， ∴． 【变式4】已知，． (1)若a，b异号，求a，b的值； (2)若，求a，b的值． 【答案】(1)，或， (2)，或， 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的大小比较． （1）根据绝对值的意义和正负数的意义求解即可； （2）根据有理数的大小比较解答即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以，． 因为a，b异号， 所以，或，． （2）解：因为 所以，或， 题型06 有理数大小比较的实际应用 【典例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，比较四个数值的绝对值大小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的是D足球； 故选D． 【变式1】为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，求出所有检验结果的绝对值，绝对值最小的就是最接近标准质量的，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 【变式2】某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，得最低气温是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则最低气温是， 故答案为： 【变式3】近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月 日． 支付账单 日期 交易明细 4.10 买菜 4.11 转账收入 4.12 乘坐公交车 4.13 日常用品 4.14 衣物 【答案】14 【分析】本题考查了有理数正负数的实际应用，有理数大小的比较，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和有理数大小比较是解题的关键；． 根据账单，找出表示支出的数，然后比较支出的绝对值大小，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 在这五笔交易中，支出用负数表示， ，，，， ， 由于是最大的绝对值， 所以4月14日的支出是最多的， 故答案为：14． 【变式4】已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 题型07 绝对值的几何意义 【典例1】如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式，分析m与n的关系． 【详解】解：∵， ∴，且， 故选：B． 【变式1】实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数大小比较，正确理解绝对值的意义是解题关键． 直接利用绝对值的意义进而得出答案． 【详解】如图所示：实数a，b，c，d在数轴上的对应点，只有d距离原点的距离最远，故这四个数中，绝对值最大的是D， 故答案为：D． 【变式2】已知表示与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的意义并运用数形结合思想是解题的关键． 利用绝对值的意义解答即可． 【详解】解：表示数到数，，的距离之和， 只有当时，有最小值，其最小值为： ， 故答案为：． 【变式3】如图，已知四个有理数在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为，且，则在四个有理数中，绝对值最小的一个是 ． 【答案】q 【分析】本题考查相反数定义，确定数轴原点位置，绝对值比较等．根据题意可知互为相反数，即，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴互为相反数， ∴， ∵， ∴绝对值最小的为：q， 故答案为：q． 【变式4】 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 【答案】(1)8 (2)5或 (3)6，2025 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 题型08 绝对值的非负性 【典例1】若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数数的性质，代数式求值，熟练掌握几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键．先根据非负数的性质求出a、b的值，继而代入进行计算即可． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】已知实数a，b满足则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1 【变式2】若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【答案】2024 【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，取最小值，最小值为2024． 故答案为：2024． 【变式3】已知： ， (1)求出a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)36 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值， （1）根据非负数的性质求出a，b的值； （2）将a，b的值代入求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴，； （2）∵， ∴． 【变式4】在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 【答案】(1) (2)5或 (3) 【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离和绝对值的非负性，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由可得或，求解方程即可； （3）根据点与点之间的距离的概念确定x的范围，取整即可． 【详解】（1）若， 则，解得，，解得． （2）若， 则或， 解得或． （3）若， 表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5， ， x的值为整数， x值为． 题型09 绝对值的实际应用 【典例1】一批食品，标准质量为每袋340g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义.求出各选项绝对值比较即可. 【详解】解：，，，， ． 故选：C． 【变式1】一批食品的标准质量是，现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．下列各数中，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义．直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，且 ∴最接近标准质量的是， 故选：C． 【变式2】水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 【变式3】党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 【变式4】某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 题型10 绝对值的其他应用 【典例1】绝对值不小于2且小于的负整数是 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查绝对值和有理数大小比较，关键是掌握绝对值的性质；找出绝对值不小于2且小于的所有负整数即可得解． 【详解】解：绝对值不小于2且小于的整数包括：，，，， ∴绝对值不小于2且小于的负整数有：，，，． 故答案为：，，，． 【变式1】数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用、数轴上的点等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据数轴上的点到原点的距离公式可得，然后分类讨论，求解即可获得答案． 【详解】解：由题意得， ∴或， 解得． 故答案为：． 【变式2】老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据求一个数的绝对值的逆运算可知 或，进而可求解． 【详解】求有理数的绝对值的方法 解：根据题意可知， ， 所以或， 所以 或， 故答案为：或． 【变式3】如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有 ．（保留）    【答案】 【分析】计算出这些数的绝对值的和，再乘以周长，即可求出路程．本题主要考查了化简绝对值、绝对值的应用和圆的周长公式的应用，正确审题并计算出绝对值是解题的关键． 【详解】解： 圆的周长为： ， ， 故答案为： 【变式4】已知点是同一数轴上的不同四点，且点为线段的中点，点为线段的中点．如图，设数轴上点表示的数为，点表示的数为． (1)若数轴上点表示的数分别是，直接写出此时线段的长是_____________． (2)若四点从左到右依次在数轴上，，请结合数轴，求点表示的数． (3)若点均在点的右侧，且始终满足，求点在数轴上所表示的数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上中点的计算，掌握数轴的特点是解题的关键． （1）根据题意，由中点的计算可得点表示的数为，点表示的数为，由两点之间距离的计算即可求解； （2）如图所示，点表示的数为，设表示的数为，则，所以，，由此即可求解； （3）设表示的数为，则，点表示的数为，点表示的数为，所以即，根据绝对值的性质分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点表示的数为，设表示的数为， ∴， ∴，， 解得，， ∴点表示的数为； （3）解：设表示的数为， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，即， 当时，则（不符合题意，舍去）； 当时，则； ∴， ∴点在数轴上所表示的数为． 题型11 绝对值与数轴结合（动点） 【典例1】如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数是1，则与点表示的数互为相反数的是（    ）    A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】先由点表示的数求得点表示的数，进而求得点表示的数，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∵点表示的数是1， ∴点表示的数为， ∴点表示的数为， ∴与点表示的数互为相反数的是2， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离、相反数的定义，理解数轴上两点之间的距离，正确求得点A、B表示的数是解答的关键． 【变式1】数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴和相反数的定义，本题的解题关键是求出A点表示的数．先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C， ∵点C表示的数为1， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为， ∴则与点A表示的数互为相反数的是2， 故答案为：2． 【变式2】数轴上有A、B两点，点A表示8的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，在数轴以1单位长度/秒的速度运动，3秒后，点P到点A的距离为 单位长度． 【答案】11或5 【分析】根据题意确定出点A与B表示的数字，利用平移规律求出所求即可． 【详解】解：根据题意得：A表示的数为，B表示的数为0， ∵点P经过3秒后的路程为（个单位长度），且向左或向右平移， ∴平移后点P对应的数字为或3， ∴，或， 则点P到点A的距离为11或5个单位长度． 故答案为：1或5． 【点睛】醒考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的求法是解题关键． 【变式3】已知数轴上有A，B，C三点，其中A点表示的数为，B点表示的数为4，C点表示的数是7，数轴上有另一动点D，当的值最小时，的最小值为 ． 【答案】3 【分析】设点D表示的数为x，则，利用绝对值的几何意义求出当时，有最小值，进而得到当点D表示的数为4时，的最小值为． 【详解】解：设点D表示的数为x， ∴，， ∴， 如图1所示，当点D在点A左侧时，； 如图2所示，当点D在点A和点B之间时，； 如图3所示，当点D在点B右侧时，， ∴由绝对值的几何意义可知，当时，有最小值， ∵C点表示的数是7， ∴当点D表示的数为4时，的最小值为， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离公式，正确根据绝对值的几何意义推出当时，有最小值是解题的关键． 【变式4】如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)点表示的数是_______，_______秒时，点到达点． (2)运动过程中点表示的数是_______．（用含的代数式表示） (3)若另一动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且，同时出发，当x为多少秒时，点与点之间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)； (2) (3)或秒 【分析】（1）由可得到点表示的数，由题意知，求解的值，即为点到达点的时间； （2）由题意知，运动过程中点P表示的数是，即为所求； （3）根据点向左匀速运动；由题意知，运动过程中点表示的数是，由可得：，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴点表示的数是 由题意知，解得， ∴秒时，点到达点． 故答案为：，． （2）解：由题意知，运动过程中点P表示的数是 故答案为：． （3）解：由题意知，点向左匀速运动， 运动过程中点表示的数是， 由可得： 即 或 解得或 当或时，点与点之间的距离为2个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，列代数式，绝对值等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 1．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）数轴上表示的点在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数大小比较，根据数轴的特点，在原点的右边，数依次向右增大，在原点的左边，数依次向左减小即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点在与之间， 故选：． 2．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．2025的绝对值是 B．2025的相反数是 C．2025的倒数是 D．2025的相反数的绝对值是 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义判断即可． 【详解】解：A． 2025的绝对值是2025，故该选项错误； B． 2025的相反数是，故该选项正确； C． 2025的倒数是，故该选项错误； D． 2025的相反数的绝对值是2025，故该选项错误． 故选B． 3．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和绝对值的意义，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键． 数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最小的即可． 【详解】解：∵数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值， ∴由数轴可得四个数中，点离原点最近， ∴这四个数中，绝对值最小的数是， 故选：． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若，则代数式的值是（  ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方和绝对值的非负性，代数式求值．根据平方和绝对值的非负性求出m，n的值，代入即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D 5．（24-25·七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查求代数式的值，解题的关键是熟练运用绝对值的性质求出、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； ∴的值是或． 故选：C． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，具体如下表（单位：）． 样品编号 质量 那么，最接近标准质量的样品编号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示， ∴， ∴最接近标准质量的样品编号是， 故选：B． 7．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）若a表示一个有理数，且有，则a应该是（   ） A．任意一个有理数 B．任意一个正数 C．任意一个负数 D．任意一个非负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的代数意义可得或，进而即可得出答案． 【详解】解：由题意得：或， 即（舍去）或， 故可得a为非负数． 故选：D． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查数轴，化简绝对值．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．根据题意，分四种情况分类讨论：①当M表示的数是原点时，②当N表示的数是原点时，③当P表示的数是原点时和④当R表示的数是原点时，再根据绝对值的性质化简绝对值计算即可． 【详解】解：由题意可分类讨论：①当M表示的数是原点时，如图， ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴，即时，成立； ②当N表示的数是原点时，如图， ∴，即此时不成立； ③当P表示的数是原点时，如图， ∴，即此时不成立； ④当R表示的数是原点时，如图， ∴，即时，成立． 综上可知原点可能是或． 故选A． 9．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）的相反数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是2． 故答案为2． 10．（2025·江苏南京·一模）比较大小： ．（填“”“”或“”号） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，根据有理数的大小比较方法即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∵，即， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于有理数m、n，若，，则n ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较“正数大于0，负数小于0，正数总大于负数，负数绝对值大的反而小”，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据有理数的大小比较法则求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，如果为的中点．那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴，熟知数轴的特点是解答此题的关键．先根据为的中点与的位置可知，互为相反数，再由数轴可知：，即可得出由此即可作出解答． 【详解】解：∵在数轴中，为的中点， ∴， ∴， ∴． 由数轴可知：， ∴， ∴． ∴原式． 故答案为：． 14．（2024七年级上·江苏·专题练习）当 时，有最小值是 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查绝对值性质，根据绝对值的非负性求解，即可解题． 【详解】解：， ， 当时，有最小值，最小值为1， 故答案分别为：2，1． 15．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我们知道，一个数的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点，则即表示两点之间的距离若有理数满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴及数轴上两点间的距离的知识，根据表示的是与所对应的点的距离，表示的是与所对应的点的距离，再进行分情况即可解答，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：当点在与之间时， 此时恒成立，无解； 当点在左侧时， ，解得：； 当点在右侧时， ，解得：； 故答案为：或． 16．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）数轴上，点A、点B分别表示有理数a、b，则表示点A和点B之间的距离．若有理数a、b、c满足，，则 ． 【答案】8或4/4或8 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，根据题意可得，再分当点C和点B在点A同一侧时，当点C和点B在点A两侧时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当点C和点B在点A同一侧时，则，则， 当点C和点B在点A两侧时，则，则； 综上所述，或， 故答案为：8或4． 17．（24-25·七年级上·江苏镇江·阶段练习）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析； 【分析】本题主要考查数轴与有理数的关系，掌握数轴的特点，绝对值的性质化简，多重符合的化简是解题的关键． 根据多重符号化简，绝对值的性质先化简，再把数表示在数轴上，根据数轴的特点比较有理数大小即可求解． 【详解】解：∵，，，， 在数轴上表示为： ∴． 18．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知． (1)若，求的值： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了绝对值的应用，代数式求值． （1）根据结合条件可确定的值，即可求解； （2）根据结合条件可确定的所有可能取值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴，； 当时，， 当时，． 19．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 20．（24-25·七年级上·江苏盐城·阶段练习）1）如图，点A、点B在数轴上． ①点A表示的数是______，点B表示的数是 ． ②请在数轴上画出表示的点C、点D、点E； （2）有理数、表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简 _______；_______； _______； _______；_______． 【答案】（1）①②见解析；（2） 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，熟练掌握绝对值性质是解本题的关键． （1）根据数轴可得点的值，再将点在数轴上画出来即可； （2）根据数轴先判断的大小关系，再判断、、的符号，进而去绝对值化简即可． 【详解】（1）①由数轴可知，点表示的数为， 点表示的数为， ②数轴如图所示， ． （2）由数轴可知，， ， ，， ， ， ． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：在数轴上，若点P到点A的距离是2，则称点P为点A的“开心点”；若点P到点M、N的距离之和为5，则称点P为点M、N的“高兴点”． 【初步应用】 （1）若点P为点A的“开心点”，点A表示的数是3，则点P表示的数是_________； （2）若点P为点M、N的“高兴点”，点M表示的数是，点N表示的数是3，则点P表示的数可以是________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点A表示的数是，点B表示的数是3，点C表示的数是，一只电子蚂蚁P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求经过多少时间电子蚂蚁P是点A、B的“高兴点”？ 【答案】（1）1或5；（2）；（3）或秒 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，绝对值的意义等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离的表示方法． （1）根据两点间距离求解即可； （2）根据题意得到点P到点M、N的距离之和为5，然后求出点M到点N的距离为，得到点P在点M和点N之间，进而求解即可； （3）首先得到点P表示的数为，然后根据题意得到，整理得到，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵点P为点A的“开心点”，点A表示的数是3， ∴点P表示的数是或， 故答案为：1或5； （2）∵点P为点M、N的“高兴点”， ∴点P到点M、N的距离之和为5， ∵点M表示的数是，点N表示的数是3， ∴点M到点N的距离为 ∴当点P在点M和点N之间时，点P到点M、N的距离之和为5， ∴点P可以为（答案不唯一）； （3）根据题意得，点P表示的数为 ∵P是点A、B的“高兴点” ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 综上所述，经过秒或秒电子蚂蚁P是点A、B的“高兴点”． 23．（24-25七年级上·江苏南通·期中）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是_______； (2)尝试解绝对值方程：； (3)在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 24．（24-25·七年级上·江苏徐州·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)①2；②0；③ (2)或1 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）利用绝对值的意义解答即可； （2）通过分析确定出a，b，c的符号，三个全为负或其中一个为负，再利用绝对值的意义化简运算即可． 【详解】（1）解：①∵时， ∴，， ∴ ， 故答案为：2； ②当时， ∴，， ∴ ， 故答案为：0； ③当，时， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：当时，都小于0，或中一个小于0，另外两个都大于0， 即分两种情况讨论： ①当，，时， ， ②当中一个小于0，另外两个都大于0时，不妨设， ， 综上所述：或1． 25．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数1，C点表示数6，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)当秒时，________； (2)________（用含t的代数式表示） (3)当t为何值时，点A到原点O的距离与点B到原点O的距离相等？请说明理由． (4)在运动过程中，若的值不随时间t的变化而改变，求常数m的值． 【答案】(1)13 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，绝对值的意义，整式的加减的应用，解题的关键是正确表示出各点运动后表示的数． （1）首先表示出时点A表示的数为，点B表示的数为，然后利用两点之间的距离求解即可； （2）首先得到运动t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，然后利用两点之间的距离列式求解即可； （3）首先得到运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，然后根据题意得到，进而求解即可； （4）由（2）得，，然后表示出，然后表示出，然后分两种情况，根据的值不随时间t的变化而改变分别求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴； （2）解：运动t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为， ∴； （3）解：∵运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴当点A到原点O的距离与点B到原点O的距离相等时， 解得； ∴当时，点A到原点O的距离与点B到原点O的距离相等； （4）解：由（2）得，， ∵ ∴ ∴当时，原式 ∵的值不随时间t的变化而改变 ∴ ∴； ∴当时，原式 ∵的值不随时间t的变化而改变 ∴ ∴； 综上所述，当时，的值不随时间t的变化而改变． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$