第45期 用导数研究函数的性质，导数的应用-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册同步学案（北师大版2019）

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L.C:2.ABC:3.A.4.增：5.(-0,2). 故选(B) 6.解：易知函数∫(x)的定义域为(0，+) 2.∫'(x)=3x2+2x+6,由函数∫(x)在R上存在极值， 由题可得f”(x)=↓-x=1- 则f'(x)有两个不等实数根， 当f'(x)>0,即0<x<1时，函数f(x)单调递增： 得4=4：2-72>0，解得a>32或a<-32, 当∫'(x)<0,即x>1时，函数∫(x)单调递减 又a为正整数，所以a的最小值为5. 所以函数∫(x)的单调递减区间为(1，+)，单调递增区 故选(B) 间为(0,1). 3由题得f'(x)=(2- 专项小练二 e， 1.C;2.D;3.ACD.4.16:5.0. 令f'(x)>0,解得0<x<2, 6.解：由已知得f(x)=x3-x2+b, 令∫'(x)<0,解得x>2或x<0, 又f(0)==1,所以f(x)=x3-x2+1. 故∫(x)在[-1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，在 令'(x)=3x2-2x=0. (2,3]上单凋递减， 解得x=0或x=子 而/(0)=0<f(3)=2 当x变化时厂'(x)∫(x)的变化情况如下表： 故∫(x)在[-1,3]上的最小值是0. -1.0) 0 3 故选(C). f"(x】 0 0 4.若函数f(x)=x-r在区间(1,2)上单调递减， f(x) 极大值 极小值 则f'(x)=3x2-4≤0在区间(1,2)上恒成立， 由上表，得函数了()的极小值为()=器极大值为 即a≥3x2在区间(1,2)上恒成立. x∈(1,2)时，3x2∈(3,12)，所以a≥12 f(0)=1. 所以“a>12”是“a≥12”的充分不必要条件， 又f(-1)=-1f(1)=1, 即“a>12”是“函数f(x)=x2-ax在区间(1,2)上单调 所以函数f(x)在区间[-1,1门上的最小值为-1，最大值为1. 递减”的充分不必要条件 第45期3,4版 故选(A). 用导数研究函数的性质， 5,不等式f(x)>x可化为f(x)-x>0, 导数的应用同步核心素养测评 设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1>0, 一、单项选择题 所以函数g(x)在R上单调递增， 1~4 BBCA 5 ~8 CDAB 又g(1)=f(1)-1=0, 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 所以f(x)>x台g(x)>0白g(x)>g(1), 二、多项选择题 所以x>1. 9.BD:10.BC:11.BD 故选(C). 提示： 6因为f)=-9h 9.由图象可知，当x<-2时，∫'(x)>0: 当-2<x<3时f'(x)≤0， 该函数的定义域为(0，+：)， 从而∫(x)在(-，-2)上单调递增，在(-2,3)上单调 所以f”(x)=x-9=-9 递减， 因为x>0,由f'(x)≤0可得0<x≤3， 故∫(x)有极大值点x=-2,故(A)(C)错误，(B)正确： 所以函数∫(x)的单调递减区间为(0,3]， 又由图象可知，∫(0)<0， 因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减， 从而f(x)的图象在x=0处的切线斜率小于零，故(D)正 则[a-1,a+1]≤(0,3]， 确。 所以-1>0， 故选(B)(D), 解得1<a≤2. 4+1≤3. 10.f(x)的定义域为(0，+)， 故选(D). 由f(x)=xlnx+x2 7.a≤1：+n对任意的xe[},2]恒成立。 得f'(x)=lnx+2x+1, 所以f'(xo)=ln+2x。+1=0, 即在片2上.(+n）≥a 所以2x。=-(lnx。+1)>0, 即ln<-1,即lnx<lne, 令F()=x+lnx 所以0<<。故()错误(B)正确： f(x)+0=xoln0+号+0 在[，止F'(x)<0.在1,2上F()>0 =x(ln+x+1) 因此F(x)在x=1处取极小值，也是最小值， =x0(-2xm+x0) 即F(x)ia=F(1)=0, =-x后<0，故(C)正确，(D)错误 所以a≤0，即a的最大值为0. 故选(B)(C). 故选(A) L.由题可得g'(x)='()-(x e 8.由题意得∫'(x)=2a.x+e=0有两个不等实根x1, 当x>-1时f'(x)-f(x)>0,g'(x）>0, 名<6)，显然=0不是方程的根则a=一云 故g(x)在(-1，+∞)上单调递增： 即直线y=a与()=一云的图象有两个不同交点 当x<-1时f'(x)-f(x)<0,g'(x)<0, 故g(x)在(-，-1)上单调递减， 因为'(x)=二e(x-业 故x=-1是函数g(x)的极小值点，故(A)错误，(B) 2x2 正确： 所以当x<1时，h'(x)>0,h(x)为增函数： 若g(-1)>0,则g(x)没有零点，故(C)错误： 当x>1时.h'(x)<0,h(x)为减函数， 由于g(x)在(-1，+）上单调递增， 即h()≤A()=-受 则g2)<g(e,即(2<( e 所以a<-分，即a的取值范围是(-，一受) 化简得ef(e)>ef(2),故(D)正确. 故选(B). 故选(B)(D), 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 三、填空题 所以f(x)=x”-ax-1+a≤0， 2h2+:B(-号0小： 即x°-ax≤1-a. 16.解：(1)由函数f'(x)的图象可知， 14.(-,-1)U(3,+2）. 当x<0或x>2时， 提示： f'(x）>0: 2由/)=a+台得/'()=a- 当0<x<2时f'(x)<0. 由题得f(0)=b=1f'(0)=a-b=0, 所以f(x)的单调递增区间是(-，0)，(2，+)， 所以a=b=1,则f(x)=x+ 单调递减区问是(0,2). e, (2)因为f'(x)=3ax2+2br+c, fm2)=h2+点=ln2+7 1 其图象经过点(0,0)，(1，-2)，(2,0)， c=0. 13.f"(x)=x2+3x, ,c=0 令∫'(x)=0,解得x=0或x=-3, 所以3a+26+c=-2,解得 b=-2, 2 令∫'(x)>0,解得x>0或x<-3, 12a+46+c=0, 3 令f'(x)<0,解得-3<x<0, 所以∫(x)= -22. 所以f(x)在(-，-3)和(0，+∞)上单调递增，在 (-3,0)上单调递减 由(1)可知f(x)在x=0处取得极大值，极大值为f(0)=0: 当x→-e时f(x)→-， 在x=2处取得极小值，极小值为了2)=-号 当x→+0时f(x)→+， 17.解：(1)因为了(x)为奇函数，所以∫(-x)=-∫(x) 又由f(-3)=号+c0)=6 即-ar3-bx+c=-ax2-bx-c,得c=0. 要使f(x)有3个不同的零点， 因为f'(x)=3ax2+b(a>0)的最小值为-12， 所以b=-12. 则c<0<号+e,解得-号<e<0 9 又直线x-6y-7=0的斜率为6， 所以实数©的取值范是(-号，0） 所以'(1)=3a+b=-6. 14.y'=-x2+2hx-(2b+3). 所以a=2,b=-12,c=0. 要使原函数在R上单调递减，应有y'≤0恒成立， (2)由(1)知f(x)=2x3-12x 所以4=462-4(2b+3) f'(x)=62-12=6(x+2)(x-2),列表如下： =4(62-2b-3)≤0， ,-2 -2《-2,2 2《2,+✉ 所以-1≤b≤3，故要使该函数在R上不是单调减函数， '(x 0 、 0 + b的取值范围是(-，-1)U(3,+) f(x) 极大值 极小值 四、解答题 所以函数f(x)的单调增区间是(-.-2)和(2，+). 15,证明：设函数f(x)=x-ax-1+a, 因为f(-1)=10f(2)=-82f(3)=18. 则f'(x)=ar-a=a(x-1-1). 所拟∫(x)在[-1,3)上的最大值是∫(3)=18， 令f'(x)=0,得x=1 最小值是(2)=-8反. 所以当xe(0,1)时∫'(x)>0,函数∫(x)单调递增： 18.(1)解：由f(x)=x+ae得f'(x)=1+ae, 当x∈(1，+)时∫'(x)<0,函数f(x)单调递减. 当a≥0时f'(x)>0,则函数f(x)在R上为增函数： 所以∫(x)=x“-ax-1+a在区间(0，+o)上的最大值 为f(1)=0. 当a<0时，由/"()>0可得x<(-） 高中数学北师大版选择性必修第二册 第45~48期 ()<0可得x>n(-） 第46期 则函数(x)在(-0，血(-。)）上为增函数， 导数及其应用核心素养综合测评 一、单项选择题 在((-)+0）上为诚函数 1~4 BACA 5~8 BDAA (2)证明：令F(x)=x2+(a+1)x-对f'(x), 提示： F()=2+(a+1)x-x(I+ae')=x(x+a-ae"). 1.f'(x)=(2x-x2)e-+a, 令H(x)=x+a-ae,则H'(x)=1-ae, 由题可得f"(1)=1+a=2,解得a=1. 因为x<0,所以0<e<1. 故选(B). 又a≤l,所以1-ae≥1-e>0, 2.函数f(x)=cosx-ar定义域为R, 所以H(x)在(-0,0)上为增函数， 且f'(x)=-sinx-a, 则H(x)<H(0)=0,即x+a-ae<0, 依题意f"(x)≤0恒成立， 由x<0可得F(x)=x(x+a-ae)>0, 即-sinx-a≤0恒成立， 所以x2+(a+1)x>'(x): 即a≥-sinx恒成立， 19.(1)解：(x)=3,定义域为R,则f{(x)=3·ln3是 又-1≤-sinx≤l,所以a≥1， 在R上的严格单调递增函数，则f(x)=3是“T函数”； 即实数a的取值范围是[1，+). f方(x)=x,定义域为R,则f(x)=3x2不是在R上的严 故选(A). 格单调递增函数，则5(x)=x不是“T函数”. 3.由题意得对任意xeR,e2-x>log2a恒成立， (2)证明：由题可得g'(x)在(0，+)上严格单调递增， 设f(x)=e2-xf'(x)=e2-1, 设G(x)=g(x+1)-g(x), 令f'(x)=e2-1>0,解得x>-2. 则G(x)=g'(x+1)-g'(x)>0, 令∫"(x)=e2-1<0,解得x<-2, 故G(x)在(0，+)上单调递增， 则f(x)在(-，-2)上单调递减，在(-2，+)上单调 故G(a)<G(a+2), 递增， 即g(a+1)-g(a)<g(a+3)-g(a+2). 故f(x)≥f(-2)=3, (3)证明：由题可得F”(x)在R上严格单调递增， 所以loga<3,解得0<a<8. Vx。eR,设G(x)=F(x)-F"(x)x, 故选(C). 则G'(x)=F"(x)-F(x), 4.当x=0时f(0)=-∫'(0)-f(0), 当xe(-,）时，G'(x)<0,函数单调递减： 当x∈(，+）时，G(x)>0,函数单调递增， 所以(0)=-f'(0). 故G(x)≥G(）, 又了()=3x-2'(0)x+"(0)e-1, 即F(x)≥F(xo)x+F(xo）-F(x)xo, 当x<0时，F(x)<0恒成立， 则f'(0)=2/'(0)-1,解得/(0)=-2. 则F"(x)x+F(x)-F'(x)xn<0恒成立， 故F()≥0， 由定文可知，m2/c-01:-2"0):4 △x 若存在1∈R,使F()=0,则当x<1时，F(x)<F()=0, 故选(A) 这与Hx。eR,F"(xn)≥0矛盾， 5.'(x)3 +4cos x sin x, 故不存在x。使F"(x)=0,故F(x)>0恒成立， f"(x）=-4sinx+cosx, 故F(x)在R上严格增 所以f"(x0）=-4sinx0+cos=0, 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 因此f(x。）=3xo, 当a=-2,b=1时f'(x)=3x2-4x+1, 即点M在直线y=3x上. 3<<1时"(x)<0, 故选(B) x>1时∫'(x)>0,即x=1是极小值点，不合题意： 6.由题图∫'(x)为奇函数，可知∫(x)为偶函数，故可排除 当a=-6,b=9时， (B),(C): f'(x)=3x2-12x+9 对于(A),当x一→0时， f'(x)=(e-e)x2+2(e+e)x>0, =3(x-1)(x-3), 与f(x)的图象不符，排除(A): 符合题意，因此号=一子 对于(D).f()=+2s 故选(A). 二、多项选择题 有f"(x）=2r-2sinx, 9.ACD:10.BD:11.BCD. 令f'(x)=0,得2x=sin 提示： 9.f(1)=g(1)=0,故(A)正确 作出函数y=2,y=sinx的图象（图略）可知， f'(1)=2,g(1)=1,故(B)错误： 3e（受）使得宁。=sim f'()=2x后Rg)=士e(0,+) 当xe(0,o)时f'(x)<0: 存在")=g(兮)， 当e(x,+)时∫'(x)>0,与f'(x)的图象相符， 故曲线f(x)=x2-1与曲线g(x)=lnx存在互相平行的 (D)正确。 切线，故(C)正确： 故选(D). 7.因为f(x)=alnx+3-- 2(a≠0)， 令P)=j)-8,则F()=2x- 所以函数f(x)定义域为(0，+∞)， 放)在(0，号) 上单调递减， r)=是是+ 在（只，+）上单调递增。 由题意得方程∫'(x)=0,即ax2-3x+1=0有两个不相 等的正根，设为无，为， 面r()=-+h2<0, 4=9-4a>0. F(日）>0.e)=e-2>0. 则+名：子>0解得0心<号 故F(x)有两个零点， x·5=>0 即曲线∫(x)=x2-1与曲线g(x)=lnx有两个交点，故 (D)正确. 即a的取值范围为(0，？)） 故选(A)(C)(D) 故选(A). 10.由题可知∫(x)-1logx为定值， 8.由已知f'(x)=3x2+2ax+b, 令t=f(x)-logx(x>0), f'(1)=3+2a+b=0, 则f(x)=log2x+1, 所以 /(1)=1+a+b-a2-7a=10, 又f()=3, 解得-2，或=-6， 所以l0g21+【=3, 、，或 b=1b=9. 解得1=2，则f(x)=1ogx+2, 5 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 所以了()=2故()错误.（®）正确： 故选(B)(C)(D): 三，填空题 因为f(x)-f'(x)=2, 12.(0,3):13.(0,1): 所以1ogx+2-d2=2,g影-n2=0 提示： 令)=®2>0. 12.函数f(x)的定义域为(0，+)， 易知g(x)在(0，+)上为增函数， f'(x)=x-2-3=-2x-3=x-3)(x+1D 1 因为g1)=1og,1-n2<0, 由f'(x)=0得x=3,由f'(x)<0得0<x<3, 1 所以∫(x)在区间(0,3)上单调递减. g(2）=log2-2in2=1-n4>0, 13.函数y=n(x+b)的导数为y= 所以函数g(x)的零点在区间(1,2)内， x+6 即方程(x)-∫'(x)=2的解所在的区间是(1,2)，故(C) 由，十6=1得=1-6，切点为1-6,0 错误，(D)正确。 代入y=x-a,得a+b=1,因为a,b为正实数， 故选(B)(D). 11由题意，构造函数g(x)=）+1,则 所以ae0)则。“是。 a g'(x)='()-2f(x)+1 令o02则go…品>0 e 由2f(x)<f'(x)-2可知g'(x)>0, 则西数go)为增函数，所以千6e(0.。 所以g()=+L在R上单调递增， 14.存在x1,2∈[-2,0]，使得∫()≤g(x）成立， e 等价于f(x)m≤g(x), 且g1)=)+1=1, e2 f'(x)=e+xe=(1+x)e, 故g(0)<g(1)=1, 当x<-1时f'(x)<0∫(x)单调递减， 即f(0)+1<1:f(0)<0,故(A)错误： 当x>-1时，∫'(x)>0J(x)单调递增， 由g(2)>g(1)=1可得f(2)>e-1,故(B)正确： 所以当x=-1时f(x)取得最小值， 当x>1,g(x)>g(1)=1, )=-0 所以+1>1f(x)>0. 当x=-1时，g(x)取得最大值为 所以f(x)<2f(x)<∫'(x)-2, g(x)mm=g(-1)=a, f'(x)-2-f(x)>0, 所以-。≤a,即实数a的取值范围是[-。，+云）月 令h(x)=f)+2,x>1, 四，解答题 15.解：(1)f'(x)=3x2+2ax+b, 则hr(x)=()-2-田>0. e 由题可得"D）=3+2a+b=8, 所以h(x)单调递增，h(221)>h(220), f(1)=a+b+3=8-2, 即∠(22)+2>∠(220)+2 解得a=2,b=1. (2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2, 即f(221)-ef(220)>2(e-1),故(C)正确： f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1), 由g(221)>g(220)可得 f(221)-cf(220)>c3-1,故(D)正确. 令f(x)=0.解得x=-写或x三-1， 6 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 所以在(-，-1)上f'(x)>0f(x)单调递增， 率为 在(-1，-号）上f"(x)<0f(x)单调递减， )带+居 4-4x 8 在(-行，+x）上"()>0()单调递增。 令1+0<1≤1， 所以f(x)大值=f(-1)=2, 则k=0-4=8-)广 1)维=(）=器 当1=子时，k=-子，当1=1时6m=4 16.解：令g(x)=(x2-4x+ =6e4 所以曲线∫(x)上任意一点切线的斜举的取值范围为 I)ef(x)有三个零点即g(x)与 3 y=a的图象有三个交点，g'(x)= [小 c(x2-2x-3)=e'(x-3)(x+1). (2)由'()=43≥0，得-1≤x≤1， 当x>3或x<-1时，g'(x)>=-2 (x2+1)2 0.当-1<x<3时，g'(x)<0. 所以f(x)在[-1,1]上是增函数， 所以g(x)在(-，-1)和(3，+)上单调递增，在 又f(x)在(2m-1,m)上单调递增， (-1,3)上单调递减， m≤， g(x)的极大值为g(-1)=6e,极小值为g(3)=-2e, 所以{2m-1≥-1，解得0≤m<1. 当x<-1时，g(x)=(x2-4x+1)e>0, 2m-1<m, 当x→+%时，g(x)→+0， 19.(1)解：由题可得f(x)的定义域为(0，+x）, 结合图象，g(x)与y=a有三个交点，即0<a<6e. f'()=2x+a-L =2x+a-1 故实数a的取值范围是(0，)） 令h(x）=2x2+ax-1, 17.解：由题可得∫'(x)=6x2-2a, 则有 1)50解得a≤-子 h(2)≤0. 令f"(x)=0,解得x=0或x=号， 所以实数a的取值范围为(-”，-子] 当<号或x>0时'(x)>0: (2)解：假设存在实数a,使函数g(x)=ar-lnx(xe(0, 当号<x<0时f"(x)<0, ])的最小值是3，令g(x)=4-1=r-1 所以当x=号时()取得极大值，且/（号）=一易 ①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减， g(x)m=g(e）=ae-1=3. 又f(x)）=2x-am=-27 解得a=（合去)： 即(-号)(2+号）=0. ②当0<行<e时，g()在(0，日)上单调递减，在 解得x=号或=-合， (行e]上单调递增，所以()咖=（日）=1+血a=3, 因为)在（受“号 上有最大值， a=e2,满足条件： 所以号<告≤- ③当≥e时，g(x)在(0，】上单调递减. g(x)n=g(e）=ae-1=3, 解得a≤-4，所以a的取值范围是(-0，-4]. 18.解：(1)曲线f(x)在任意一点P(x∫(o))的切线斜 解得a=（合去)， 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 综上，存在实数a=e2,使得当xe(0,e]时，函数g(x)的 所以实数a的值为 最小值是3. 故选(A) (3)证明：令F(x)=e2x-lnx,由(2)知，F(x)m=3. 5.函数f(x)=lnx+2x2+br+1的定义域为(0，+∞)， 令e()=+则p(x)=1-n 2 求导得f”(x)=+4x+6, 当0<x≤e时，p'(x)≥0，p(x)在(0，e]上单调递增， 依题意，Hx>0f'(x)>0, 所以(=(o)=+<+=3 e 面时++6≥2√空板+6=4+6， 所以-n>+子 当且仅当=4，即x=之时取等号， 即e-含>+1hx 因此4+b>0.解得b>-4. 所以实数b的取值范围为(-4，+). 第47期3,4版 故选(C) 学业水平测评（二） 6.设等差数列b,1的公差为d,d≠0， 一、单项选择题 则s=n+nn,1h, 2 1-4 BCDA 5~8 CBAD 提示： +a少 1.因为a1ao=aas=9, 2n+2n(2-4 2 所以log3a1+log3ao=log3(a1ao）=log9=2. +20品=血=k为含线 2+(n-1)d = 故选(B). 则(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0, 2.x=1是函数∫(x)的一个极大值点，不一定是函数的零 因为对任意正整数n上式均成立， 点，所以(A)不正确： f(-3)是函数f(x)的一个极小值，不一定是函数f(x)的 4k-1=0, 所以 所以 k三4 最小值，所以(B)错误： (2k-1)(2-d)=0. ld=2, 函数∫(x)在(1,3)上单调递减，所以(C)正确： 则bn=1+2(n-1)=2n-1. x=3为函数∫(x)的一个极小值点，所以(D)错误， 故选(B). 故选(C). 7设等差数列a,的公差为d3=子+（口-受h. 3由条件知a,6e依次成公比为的等比数列，三者之和 为50升，即c+2e+4c=50,解得c= 50 7 因为1√S。是等差数列，则√S是关于n的一次函数， 故选(D). 4由题可得了"()=寸，g()=, 测r()=g() 所以，反的公差为√层， 即宁·（付）之=是解得a=子 所以√号=d,解得d=0(舍去)或d= 4 13 所以4=4,4=2+4= 经检验，当a= 时，g(x)=nx,满足题意. 故选(A). 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 8.设g(x)=e(2x-1),y=ar-a, 则a,-a=a,(1-g)>0, 由题意知存在唯一的整数x使得g(x）在直线y=ax-a 42-a4=ag(1-g)2<0. 的下方， 所以a1>43,a:<a4 因为g'(x)=e(2x-1)+2e=e(2x+1), 故选(A)(C). 阴以当x<-时g()<0,当x>时g)>0, 1山.令g(x)=[国=lnx,在(0，+x)上是增函数. 所以当x=-子时，8()取最小值-2e寸. 所以当0<<x时，g(x)<g(x), 当x=0时，g(0)=-1,当x=1时，g(1)=e>0, 所以<，即)<( 直线y=ax-a恒过定点(1,0)且斜率为a, 故(A)正确： 故-a>g(0)=-1且g(-1)=-3e≥-a-a, 令h(x)=f(x)+x=xnx+x, 解得品≤a<1 h'(x)=Inx+2, 当x∈(e2,+）时，g'(x）>0,g(x)单周递增： 故选(D). 当xe(0,e2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 二、多项选择题 所以x,+f(x,)与2+∫(x2)无法比较大小 9.AD;10.AC;11.AD. 故(B)错误： 提示： 要使(C)成立，则f(x)-f(x)>0, 9.若k=0,则数列1a,{是常数列，所以分母为0，因此k不 即f(x)>f(x2)恒成立， 可能为0，故(A)正确： 当等差数列是常数列时，分母等于0，不成立，故(B)错误： 即∫(x)单调递减，即f'(x)<0恒成立， 显然f'(x)=Inx+1<0不恒成立，故(C)错误： 当等比数列是常数列时，分母等于0，不成立，故(C)错误： 因为nx>-1,所以'(x)=lnx+1>0恒成立， 因为a。=a·b"+c(a≠0，b0,1). 所以0…b2+c-(a·6+c 即f(x)单调递增， a·6+c-(a·b+c) 所以(-x)[(x)-f(x)]>0, =4…b2-a·6 xf(x)+xf (x2)>xf(x2)+xf () 4·61-a·60 又因为(A)正确， =6=》=b,为常数 a·b"(b-1) 所以xf(x1）+xf(x2)>2x2f(x1),故(D)正确 是等差比数列，故(D)正确。 故选(A)(D). 故选(A)(D) 三、填空题 10.由S=S,- 122:13.140:142e 则显然等比数列{a,}的公比9≠1， 提示： 则有a,g2=-1 a(1-g)' 12.由题可得了()=f'(号)os+i血， 1-g 所以f'(号）=f'(号)os号+sin哥 即a0=-1+9+ 即93(1+9+g)=-1,易知g<0. =(得)+ 当g≤-1时，9≤-1,1+q+02≥1， 解得（号）=5. 因为a1>1,则ag(1+q+g2)=-1不可能成立， 所以-1<9<0， 所以f(x)=5sinx-cosx=2sin(x-石) 高中数学北师大版选择性必修第二册第45~48期 所以f(x)的最大值为2. 3.=,+am,D4=-r+9n, 2 13.设第n天选择A餐厅就餐的学生比例为a。,由题意得， 则易得当n=4或n=5时，S最大， 4==女+1-a≥2 即数列{a.【的前4项或前5项之和最大， 所以a.-+≥2). 最大值为-42+9×4=20. 故a-号=-(-号)a≥2 16.(1)证明：由已知S“,2成等差数列， 所以{口，一号}是以品为首项，一为公比的等比数列， 即24=8+分 所以a-子=(）， 当n=1时，24，=8+之，所拟4，= 1 1 当n≥2时5=2a-2,5.=2a4-2 两式相减得a。=2a.-1(n≥2)，又a。≠0， 经过一个学期（约150天）后，估计该学校到A厅就餐的学 生人数为3500×0=350×号=1400（人）. 所以8=2(m≥2)， 14.依题意∫"(x)=x+2a,g()=3 因此数列。，是以号为首项，以2为公比的等比数列 (2)解：由(1)可得4.=2-2 因为两曲线y=∫(x),y=g(x)有公共点，设切点为 所以bn=log2a。+3=n+1, P(xa),所以 1 1 1 、1 f()=86台7+25=3wn6+6, .,=(m+1)(n+2)=n+n+2 所以T=b+b2+…+b V6）=g)e+24:=a或6=-. =(分（兮-+(+2） 因为x。>0,a>0,所以x。=a, 1 1 因此6=7+2a-3dln6=-31nala>0, 2“n+2=2(n+2) 构造函数)=-3ninu>0), 17.(解：当a=3时(x)=了-3-3x-3 f'(x)=x2-6x-3 由h'()=2(1-3ln),当0<1<e时，h'()>0,即 h(t)单调递增：当t>e寸时，h'(t)<0,即h(t)单调递减， 令f'(x)=0,解得x=3-25或x=3+25. 所以a)=Ae)=多， 当x∈(-，3-23)U(3+25,+)时f'(x)>0: 当x∈(3-23,3+23)时f'(x)<0. 即实数的最大值为。 故f(x)在(-，3-2√3)，(3+23，+0）单调递增，在 四解答题 (3-23,3+23)单调递减。 15.解：(1)设等差数列1a.}的公差为d, (2)证明：由于x2+x+1>0, 则由S=S。得a4+a+a6=0, 即a1+3d+a1+4d+a1+5d=0, 所以f()=0等价于2+F+3a=0 又a1=8,解得d=-2, x 设g(x)=2+x+1 3a. 则数列}a,|的通项公式为 a。=a1+(n-1)d=-2n+10. 则g)=+2+3》≥0. (x2+x+1)2 (2)由(1)得数列{a.的前n项和 仅当x=0时，g'(x)=0, 10