精品解析：2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果． 1. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法求解. 【详解】由得，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 2. 已知，，求 ________ 【答案】4 【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】因为，， 则 故答案为：4 3. 已知等比数列的前项和为，且，，求______； 【答案】189 【解析】 【分析】由等比数列前项和公式求解， 【详解】由题意得， 故答案为：189. 4. 已知，则=__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正切的倍角公式求解 【详解】已知，则. 故答案为： 5. 已知，则的值域是______； 【答案】 【解析】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 6. 已知当，则______； 【答案】 【解析】 【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案. 【详解】，. 故答案为：. 7. 已知圆的方程为，其面积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果. 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 8. 在中，已知，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得. 【详解】， A为的内角， . 故答案为:. 【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题. 9. 国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______； 【答案】946 【解析】 【分析】设第二季度、第三季度分别为，利用平均数和中位数概念列出方程，解出即可. 【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为. 因为中位数与平均数相等，所以, 所以2020年GDP总额：. 故答案为：946. 10. 已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为______. 【答案】49 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，即可求出答案. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， ， ，若，则为奇数， 此时， ，又为奇数，的最大值为49. 故答案为：49. 11. 公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______． 【答案】 【解析】 【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答. 方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答. 【详解】方法1：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 求导得，由，得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 方法2：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 由，得，即，其中锐角由确定， 显然，而，则，当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 故答案为： 12. 空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】因为空间中有三个点，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种； 第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的; 不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 14. 根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ） A. 身高越高，体重越重 B. 身高越高，体重越轻 C. 身高与体重成正相关 D. 身高与体重成负相关 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的散点图的特征，直接判断作答. 【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确； 由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势， 所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误. 故选：C 15. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 16. 在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（ ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A. ①假命题；②真命题 B. ①真命题；②假命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由新定义求解曲线上任一点到定点距离的取值范围，当任意，都有时，曲线满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断， 【详解】对于①，不妨设椭圆方程为，， 则椭圆上一点到距离为， 当时，对称轴，可得， 总存在使得，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 对于②，对于给定的双曲线和点，显然存在最小值，而横坐标趋近于无穷大时，趋近于无穷大，，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误， 故选：B 【点睛】本题关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点距离的取值范围，再结合椭圆与双曲线的性质判断即可． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 17. 在直四棱柱中，，，，， （1）求证：平面； （2）若四棱柱体积为36，求二面角大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用直四棱柱的性质及线面平行的判定定理，可证平面平面，再由面面平行的性质定理，即可得证； （2）先根据棱柱的体积公式求得，再利用二面角的定义，求解即可． 【小问1详解】 由题意知，， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面， 又，、平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 由题意知，底面为直角梯形， 所以梯形的面积， 因为四棱柱的体积为36， 所以， 过作于，连接， 因为平面，且平面， 所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在△中，， 所以， 所以，即， 故二面角的大小为． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 18. 函数 （1）当时，是否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）不存在 （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； 【小问2详解】 图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范围是且. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 19. 21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； （2）为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【答案】（1），事件相互独立； （2）分布列见解析，271元. 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，利用古典概率求出，再利用相互独立事件的定义判断作答. （2）求出三种结果的概率，按给定的假设2，3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答. 【小问1详解】 由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. 【小问2详解】 设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 20. 曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． （1）若A到准线距离为3，求a； （2）若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； （3）直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入求出，利用抛物线定义即可求出值； （2）代入值求出，设，则得到的中点坐标，再代入抛物线方程则得值，则得到直线的方程，利用点到直线的距离即可； （3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和讨论即可. 【小问1详解】 令，解得，即，而抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则. 【小问2详解】 由代入抛物线方程有，解得，则， 设，则的中点为, 代入抛物线方程有，解得， 直线的斜率为，其方程为，即, 坐标原点到的距离为. 【小问3详解】 设，根据， 则，则直线方程为， 化简得， 令，则，又，， 化简得 ①对任意的 恒成立. 则, 结合，， 当时，，则，则①也成立. 综上所述:. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 21. 令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． （1）若正整数，证明； （2）若正整数，试比较与大小； （3）若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明， （2）构造函数后由导数证明不等式， （3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解， 【小问1详解】 ，则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； 【小问2详解】 作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； 【小问3详解】 ，令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果． 1. 不等式的解集为______． 2. 已知，，求 ________ 3. 已知等比数列的前项和为，且，，求______； 4. 已知，则=__________. 5. 已知，则的值域是______； 6. 已知当，则______； 7. 已知圆的方程为，其面积为，则______. 8. 在中，已知，，，则__________． 9. 国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______； 10. 已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为______. 11. 公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______． 12. 空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______． 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，，若且，则（ ） A. B. C. D. 14. 根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ） A. 身高越高，体重越重 B. 身高越高，体重越轻 C. 身高与体重成正相关 D. 身高与体重成负相关 15. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 16. 在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（ ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A. ①假命题；②真命题 B. ①真命题；②假命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 17. 在直四棱柱中，，，，， （1）求证：平面； （2）若四棱柱体积为36，求二面角大小. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 18. 函数 （1）当时，是否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 19. 21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； （2）为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 20. 曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． （1）若A到准线距离为3，求a； （2）若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； （3）直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 21. 令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． （1）若正整数，证明； （2）若正整数，试比较与大小； （3）若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $