精品解析：2022年上海秋季高考数学试题（网络收集版）

**基本信息** 2022年上海高考数学试卷聚焦代数、几何与应用模块，以填空、选择、解答题梯度设计，通过三棱锥体积计算、椭圆综合应用、数列存在性探究等试题，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，体现高考对数学思维与创新意识的核心要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|复数运算、双曲线实轴长、函数周期、圆锥侧面积等|基础题占比60%，如第5题圆锥侧面积结合空间观念，第9题概率计算体现数据意识| |选择题|4题20分|集合运算、不等式恒成立、正方体中点线面位置关系等|第15题以正方体为载体考查空间直观，第16题点集问题渗透逻辑推理| |解答题|5题76分|三棱锥体积与线面角、函数图像变换、五边形面积最值、椭圆综合、数列性质探究|第17题几何直观与运算能力结合，第21题数列存在性问题考查创新意识，第20题椭圆综合题体现数学模型应用|

2022年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试卷 2022.07.07 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 已知（其中i为虚数单位），则___________； 2. 双曲线的实轴长为__________． 3. 函数的周期为___________； 4. 已知，行列式的值与行列式的值相等，则___________； 5. 已知某圆锥的高为4，底面积为，则该圆锥的侧面积为___. 6. ，，则的最小值是___________. 7. 二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 8. 若函数，为奇函数，则参数a的值为___________． 9. 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 10. 已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个. 11. 若，且满足，则___________. 12. 设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________. 二､选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 14. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 16. 在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三､解答题（本大愿共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位重写出必要的步骤. 17. 如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC， （1）求三棱锥P-ABC的体积； （2）若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）. 18. （1）若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. （2）若且，求解不等式. 19. 在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称； （1）若点P与点C重合，求的大小； （2）求五边形面积S的最大值， 20. 设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为. （1），AM的中点在x轴上，求点M的坐标； （2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b； （3）在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值. 21. 数列对任意，且，均存在正整数，满足. （1）求可能值； （2）命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： （3）若成立，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试卷 2022.07.07 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 已知（其中i为虚数单位），则___________； 【答案】 【解析】 【分析】先由求出，从而可求出 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 2. 双曲线的实轴长为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案. 【详解】由知，，所以， 所以实轴长. 故答案为：6 【点睛】本题考查了由双曲线的标准方程以及几何性质，属于基础题. 3. 函数的周期为___________； 【答案】 【解析】 【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案. 【详解】, 所以的周期为： 故答案为：. 4. 已知，行列式的值与行列式的值相等，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】分别化简两个行列式并令它们的值相等，解方程可得值． 【详解】，， ，解得， 故答案为： 5. 已知某圆锥的高为4，底面积为，则该圆锥的侧面积为___. 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】圆锥底面积为，则底面半径为3，又圆锥的高为4， 则圆锥的母线长为5，则该圆锥的侧面积为 故答案为： 6. ，，则的最小值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 7. 二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则___________； 【答案】10 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，令 得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可. 【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ； 又的系数是常数项的5倍，所以，解得 . 故答案为：10 8. 若函数，为奇函数，则参数a的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数的定义可求参数的值. 【详解】当时，， 当时，，故， 而，故即， 故答案为：1. 9. 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________； 【答案】 【解析】 【分析】由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果． 【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为＝＝， 故答案为：． 10. 已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个. 【答案】98 【解析】 【分析】由等差数前项和公式求出，从而，由此能求出结果． 【详解】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，， ，解得， ， ，1，，中，，， 其余各项均不相等， 1，，中不同的数值有：． 故答案为：98． 11. 若，且满足，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出. 【详解】因为，所以，设. 由可得：， 两式相除得：. 又，且 解得：. 因为，所以，解得：. 故答案为：. 12. 设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________. 【答案】，， 【解析】 【分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得． 【详解】令得，或（舍去）； 当时，，故对任意， 都存在，，，故， 故，，，而当时，， 故当，，时，参数的最小值为， 故参数的取值范围为，， 故答案为：，． 二､选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于是整数集，结合交集的概念即可求出结果. 【详解】因为，所以， 故选：B. 14. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 16. 在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】B 【解析】 【分析】对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的上方，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑. 【详解】对于①，取直线, 则对于任意的，有， 故圆均在直线的下方， 而对任意的，有， 故圆均在直线的上方， 而当时，表示原点，它在直线的下方， 故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为 当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 三､解答题（本大愿共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位重写出必要的步骤. 17. 如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC， （1）求三棱锥P-ABC的体积； （2）若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）. 【答案】（1）1； （2）． 【解析】 【分析】（1）由棱锥体积公式计算； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法二面角． 【小问1详解】 底面ABC，底面ABC，则，连接，同理， 又，，∴， 而， 所以； 【小问2详解】 由已知，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由已知， 则，，，∴， ，易知平面的一个法向量是， ， 设PM与平面PAC所成角大小为，则，，∴． 18. （1）若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. （2）若且，求解不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案； （2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可. 【小问1详解】 解：函数的定义域满足，即， 所以，要使函数的定义域非空，则，即. 若将函数图像向下移后得到的解析式为： ，. 所以在函数的图像上，即， 解得：， 所以， 【小问2详解】 解：由题知， , , 因为函数在上单调递增， 所以等价于，展开整理得：， 所以，不等式的解集为的解， 所以，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 19. 在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称； （1）若点P与点C重合，求的大小； （2）求五边形面积S的最大值， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得，则，设，则，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 解：若点P与点C重合，连接， ， 在中，， 所以， 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：连接， 因为曲线CMD上任一点到O距离相等， 所以， 因为P，Q关于OM对称， 所以， 设，则， 则 ，其中， 当时，取得最大值， 所以五边形面积S的最大值为. 20. 设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为. （1），AM的中点在x轴上，求点M的坐标； （2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b； （3）在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标； （2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可； （3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值． 【小问1详解】 解：由题意可得，所以， 的中点在轴上， 的纵坐标为，代入得； 【小问2详解】 解：由直线方程可知，， ①若，则，即， ， . ②若，则， ，， ，，即， ，. 综上，或； 【小问3详解】 解：设，结合已知条件，由椭圆的定义及点到直线距离公式可得， 显然椭圆在直线的左下方，则，即， ，，即， ，整理可得，即， ，即的最小值为． 21. 数列对任意，且，均存在正整数，满足. （1）求可能值； （2）命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由： （3）若成立，求数列的通项公式. 【答案】（1）7或9； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用递推公式可得，进而可求出； （2）由题意可得，则，从而命题为真命题，给出反例即可得出命题为假命题； （3）由题意可得，，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式. 【小问1详解】 因为，所以或，所以可能值为7或9； 【小问2详解】 因为成等差数列，所以，, 所以， 逆命题：若，则为等差数列是假命题，举例：故命题为假命题， 【小问3详解】 因为，所以 ，所以， 因此， 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立： 当时，明显成立； 假设当时命题成立，即， 则，即，即命题得证； 回到原题，分类讨论求数列的通项公式： 1.若，则矛盾； 2.若，则，所以，所以， 此时， 所以， 3.若，则，所以，所以， 所以（由（2）知对任意成立），所以，与事实上矛盾， 综上. 【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $