精品解析：2018年上海高考数学试题

2018年上海市高考数学试卷 2018.06 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 行列式的值为________ 【答案】18 【解析】 【分析】根据行列式运算法则计算即可 【详解】 故答案为：18 2. 双曲线的渐近线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】令双曲线右边为，再求解关于与的关系式，从而得到渐近线方程. 【详解】 故答案为：. 3. 在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求出指定项的系数. 【详解】展开式的第项为， 则当时，，所以项的系数为21. 故答案为：21. 4. 设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据反函数的概念，代值计算即可. 【详解】根据题意，，即，∴. 故答案为：7 5. 已知复数满足（是虚数单位），则________ 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得，从而可求解. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 6. 记等差数列的前项和为，若，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式，和等差数列各项之间的关系，求出前7项和. 【详解】已知，∴， 则， 由公式得， 故答案为：14. 7. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 8. 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，，表达出，求出最小值，设，，表达出，求出最小值，得到答案. 【详解】设，，∴，， ，当时，最小值为； 设，，∴，， ，当时，最小值为； 故答案： 9. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】总的情况为种，符合题意的有5、2、2和5、3、1两种情况， ∴概率为, 故答案为： 10. 设等比数列的通项公式为（），前项和为，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由得，化简，利用极限思想求解即可 【详解】， 当时，，，，不合题意； 当时，，， ①时，，不合题意； ②时，不存在； ③时，，不合题意； ④时， ， ∴. 故答案为：3 11. 已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】将点代入函数并相加可得，化简后可得，从而可求解. 【详解】根据题意，，即， 去分母化简得，所以，因为，所以. 故答案位：. 12. 已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可. 详解】设点，，，， 由，，， 可得A，B两点在圆上，且， 即有，即三角形OAB为等边三角形，， 所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和， 故设，则， 所以 ， 其中， 所以最大值为，当且仅当时，可取最大值. 故答案为： 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可． 【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=， P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2． 故选C． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题． 14. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案． 【详解】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意， 而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8， 当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意， 当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意， 故有8+4+4=16 故选D． 【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题． 16. 设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义，结合图象作出判断，得到答案. 【详解】A选项，若，将点依次旋转后可得到函数图像上的一些点， 由图可知，当、、0时，对应了两个y值，不符合函数定义， ∴. 同理，结合图像分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义， 故选：B 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小. 【答案】（1）； （2）（或）. 【解析】 【分析】（1）由圆锥的底面半径为2，母线长为4能求出高，再利用圆锥的体积公式计算即可； （2）法一：取中点，连接，作出异面直线与所成角，通过线面垂直的判定和性质证得，从而可得的值； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线所成的角． 【小问1详解】 由题意，，，∴， 圆锥底面积，∴圆锥体积. 【小问2详解】 法一：取中点，连接，则，异面直线与所成角即， 由题意，，，，ON，则， 即，则， 又平面， 平面， 平面，. 所以在中，，即， 所以异面直线与所成角大小为. 法二：以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 则，， 设异面直线与所成角为， 则，， 所以异面直线与所成角大小为. 18. 设常数R，函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解. 【答案】（1） （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出； （2）先求出的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【小问1详解】 ∵为偶函数，∴恒成立， 即恒成立， 所以恒成立 ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， 即， ∴， ∴， 由，得， ∵，∴ ∴或或或， 所以，，，. 19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】比较不同通勤方式的人均通勤时间来确定范围，再根据加权平均数求得人均通勤时间的表达式，最后分析其单调性. 【小问1详解】 根据题意，即， 当时，，不满足题意； 当时，，化简得， 即，∴或（舍），∴， 综上，当时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间； 【小问2详解】 由题意，， 当时，， 由一次函数图象性质可知，在时单调递减； 当时，， 由二次函数图象性质可知，当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，， 在上单调递减，在上单调递增， 说明当自驾群体范围小于时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为时，人均通勤时间最少； 当自驾群体范围超过时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. 20. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. （1）用表示点到点的距离； （2）设，，线段的中点在直线上，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线性质，即可求出点到点的距离； （2）根据题意得到点的坐标，即可得到线段的中点的坐标，从而得到直线方程，再联立抛物线和直线方程即可得到点的坐标，进而即可求出的面积； （3）设，分和两种情况讨论，通过在矩形中，，，当，求出点的坐标，并判断是否在上；当时，要使得点在上，设，并代入以上条件计算，看是否能求出的值，进而即可得出结论. 【小问1详解】 由曲线焦点线，准线为， 所以根据抛物线性质，点到点的距离. 【小问2详解】 当时，得，， 由，则，即， 所以线段的中点为， 又，所以直线方程为， 联立，整理得，解得，或（舍去）， 所以的面积. . 【小问3详解】 存在，已知，设，， ①若，则， 因为在矩形中，，， 所以，， 又不在曲线上，则此情况不成立； ②若，则PF的斜率， 因为在矩形中，，则，得， 所以直线QF为， 当时，Q点纵坐标，得， 所以，， 因为在矩形中，， 设，则， 所以，得到， 要使得点在上，则将代入， 得到，解得， 又，得，即. . 21. 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与 “接近”. （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由； （2）设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数； （3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围. 【答案】（1）数列与接近，理由见解析 （2）3或4； （3）. 【解析】 【分析】（1）计算出，时，，满足对任意，，数列与接近； （2）与接近，，则，，，，分三种情况，当时，时，，时，求出中元素的个数为3或4； （3）推出，，若，则恒成立，不合要求；若，令，，满足，数列与接近，且为奇数时，至少存在、、、这100个数为正，从而得到的取值范围为. 【小问1详解】 数列与接近，理由如下： 由题意，，， ∴， ∵时，，∴， 满足对任意，，∴数列与接近； 【小问2详解】 ∵，，，，又与接近，∴， ∴，则，，，， ∴当时，中有、、三个元素； 或时，中有、、三个元素； 当，时，中有、、、四个元素； ∴中元素的个数为3或4； 【小问3详解】 ∵，∴，， ∴，即，， ①若，则恒成立，不满足“至少有100个为正数”，不符； ②若，令，，∴， 满足，数列与接近，此时， 当为奇数时，， ∴在、、、这200个数中， 至少存在、、、这100个数为正， 故时，存在数列满足题意， ∴的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2018年上海市高考数学试卷 2018.06 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 行列式的值为________ 2. 双曲线的渐近线方程为________ 3. 在二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 4. 设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则________ 5. 已知复数满足（是虚数单位），则________ 6. 记等差数列的前项和为，若，，则________ 7. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 8. 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为________ 9. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示） 10. 设等比数列的通项公式为（），前项和为，，则________ 11. 已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 12. 已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） A 4 B. 8 C. 12 D. 16 16. 设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ） A. B. C. D. 0 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2. （1）设圆锥母线长为4，求圆锥的体积； （2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小. 18. 设常数R，函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解. 19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 20. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. （1）用表示点到点的距离； （2）设，，线段的中点在直线上，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 21. 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与 “接近”. （1）设是首项为1，公比为等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由； （2）设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数； （3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $