第06讲 有理数乘方、混合运算、近似数（知识清单+11大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第06讲 有理数乘方、混合运算、近似数（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 程序流程图与有理数计算 题型八 含乘方的有理数混合运算 题型九 求一个数的近似数 题型十 求近似数的精确度 题型十一 近似数推断取值范围 知识清单 知识点1．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点3．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点4．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点5．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点6．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点7．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点8．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 【题型一】有理数幂的概念理解 【例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列表示的含义的是（    ） A．9个8相乘 B．9个8相加 C．8个9相乘 D．8个9相加 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）在下列表述中，能表示整式“”的意义的是（    ） A．3的倍 B．的3倍 C．3个相加 D．3个相乘 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）的底数是 ，指数是 ，写成积的形式是 ． 3．（七年级·全国·假期作业）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2. （1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①62＝36； ②43＝64； （2）将下列对数式改为指数式： ①log525＝2； ②log327＝3； （3）计算：log232 【题型二】有理数的乘方运算 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是（   ） A．4 B．9 C．64 D．49 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）直接写出得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【题型三】有理数乘方逆运算 【例3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江金华·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或4 2．（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知一个棱长为的立方体铁块． (1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中（杯子底面直径和高度均为），则溢出水的体积为________． (2)将铁块恰好分割成16个棱长为的立方体与6个棱长为的立方体，求的值． 3．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【题型四】乘方运算的符号规律 【例4】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【举一反三】 1．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）已知，则的值是 ． 3．（七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五】乘方的应用 【例5】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知一个正方形的面积等于两个边长分别为和的正方形的面积之和，则这个正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 【举一反三】 1．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（   ） A． B．2 C．1 D．44 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：这样的一个细胞经过3小时可分裂成 个细胞：经过（n为正整数）小时后可分裂成 个细胞． 3．（七年级上·浙江·专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题 材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即)． 一般地，若(且)，则叫做以为底的对数，记为(即)． 如，则4叫做以3为底的对数，记为(即)． 问题： (1)计算以下各对数的值： =_________，=_________，=_________． (2)通过观察（1），思考：、、之间满足怎样的关系式？ (3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？＝______（且）． (4)利用（3）的结论计算＝______． 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例6】．（24-25七年级上·浙江台州·期末）是一种基于深度学习的自然语言处理模型（人工智能模型），它的参数量巨大． 截至2024年9月，的参数量已经达到了约500000000000个．将500000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·期末）2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节申遗成功是中国传统文化自信的彰显，春节的魅力穿越了岁月，把中华儿女的亲情紧紧相连．据有关部门预测，2025年春运约有90亿人次出行，将90亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）语文教科书每页大约有500字.一套《辞海》大约有个字，如果每页字数与语文教科书的字数相等，那么《辞海》大约有 页．（结果用科学记数法表示） 3．（七年级上·浙江·专题练习）（1）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027×104；④-70890． （2）把下列用科学记数法表示的数还原成原数：①3.5×106；②1.20×105；③-9.3×104；④-2.34×108． （3）下列的数各是几位数？①6×108；②1.4×107；③1019；④5.2×10n． 【题型七】程序流程图与有理数计算 【例7】（23-24七年级上·浙江温州·期末）按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为3，的值为时，输出的结果为（　　） A． B．11 C． D．35 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）有一个数值转换器，原理如图： (1)当输入的为81时．输出的是多少？ (2)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由； (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？ (4)若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【题型八】含乘方的有理数混合运算 【例8】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列四个式子中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为（ ） A． B．0 C．12 D．54 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有．例如：，那么 ； ． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 【题型九】求一个数的近似数 【例9】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用四舍五入法，把精确到百分位的近似数是（   ） A． B．0.054 C．0.055 D．0.050 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列实例中数据属于准确数的是（　　） A．2024年浙江省中考考生约54.9万人 B．杭州地铁1号线全线共设33个站点 C．新浙教版七年级上册数学课本长约26厘米 D．巴黎奥运会冠军潘展乐以46秒09摘取男子百米自由泳冠军 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）用计算器计算得到，则用四舍五入法取近似数为 （精确到）． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)579.56（精确到十分位）； (2)0.0040783（精确到0.0001）； (3)8.973（精确到0.1）； (4)692547（精确到十位）； (5)48378（精确到千位）； (6)（精确到千位）． 【题型十】求近似数的精确度 【例10】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（   ） A．十分位 B．十位 C．千位 D．万位 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（      ） A．近似数精确到 B．近似数精确到个位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数万精确到千位 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）浙江省是中国岛屿最多的省份，海岸线总长居全国首位，其中陆域面积约为10.55万平方公里，其中近似数10.55万精确到 位． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）指出下列各近似值精确到哪一位． (1)56.3 (2)5.630 (3) (4)5.630万 (5)0.017 (6)3800． 【题型十一】近似数推断取值范围 【例11】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）如果一个数用“四舍五入法”求近似数为4万，那么这个数最大是 ． 3．（七年级上·全国·课后作业）甲、乙两名同学的身高都约是，但甲却比乙高9，有这种可能吗？为什么？若有，请举例说明． 好题必刷 一、单选题 1．下列各数据中，是近似数的有（　　） ①小明的身高是172.5厘米；②黄山莲花峰海拔；③小强买笔花了4.8元；④小军同学的体重是60千克． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功，请将5亿这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．若，则 (　　) A． B． C． D．或 4．下面各组数中相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．将数1.4960用四舍五入法取近似数，若精确到百分位，则得到的近似数是（　　） A．1.49 B．1.50 C．1.496 D．1.4 6．若，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．9 7．有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．近似数 是精确到（    ） A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位 9．若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 10．下列说法正确的是（    ） A．近似数1.2和1.20精确度相同 B．取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 C．0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.015 D．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 二、填空题 11．某服装店将每件进价80元的服装按进价提高50%后标价，然后以九折销售，则售出每件服装可获利 元． 12．某种细菌在培养过程中，由一个分裂成两个，每小时分裂一次，若这种细菌由1个分裂为32个，则这个过程要经过 小时． 13．（1）精确到 位； （2）万精确到 位 14．计算的值是 ． 15．当温度每下降10℃时，某种金属丝缩短0.02mm．把这种30℃时10mm长的金属丝冷却到零下5℃，那么这种金属丝在零下5℃时的长度是 mm． 16．已知，那么 即，模仿上述求和过程， 设，则 ， ． 三、解答题 17．（1）﹣2+2.5﹣6+15； （2）（﹣2）×（﹣2）﹣4÷（﹣2）． 18．计算： （1）-5×2+3÷-（-1）； （2）（）÷． 19．根据运算式中符号规定的运算关系进行计算：设．求的值． 20．请观察： ①； ②． 观察算式①和②，你发现前后两个算式的值应该存在着什么关系？ 请计算：． 21．（1）计算：（）×30； （2）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2． 22．计算： (1)； (2)； (3)． 23．6袋大米，以每袋为标准，超过的千克数记作正数，不足的记作负数记录如下（单位：）： 0.3，0，，，1.2，， (1)最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差多少千克？ (2)这6袋大米的平均质量是多少千克？ 24．太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒400万吨的速度失去重量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．计算： (1)用科学记数法表示6378千米= 　千米，140万千米= 　千米； (2)在太阳的直径上能摆放多少个地球？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数乘方、混合运算、近似数（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 程序流程图与有理数计算 题型八 含乘方的有理数混合运算 题型九 求一个数的近似数 题型十 求近似数的精确度 题型十一 近似数推断取值范围 知识清单 知识点1．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点3．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点4．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点5．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点6．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点7．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点8．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 【题型一】有理数幂的概念理解 【例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列表示的含义的是（    ） A．9个8相乘 B．9个8相加 C．8个9相乘 D．8个9相加 【答案】A 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查乘方的定义，解题的关键是掌握有理数乘方的定义． 【详解】解：表示的是9个8相乘， 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）在下列表述中，能表示整式“”的意义的是（    ） A．3的倍 B．的3倍 C．3个相加 D．3个相乘 【答案】D 【知识点】列代数式、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了代数式的意义．根据代数式的意义逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、3的倍可以用代数式“”表示，不符合题意，本选项不符合题意； B、的3倍可以用代数式“”表示，不符合题意，本选项不符合题意； C、3个相加可以用代数式“”表示，不符合题意，本选项不符合题意； D、3个相乘可以用代数式“”表示，符合题意，本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）的底数是 ，指数是 ，写成积的形式是 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数幂的定义，根据幂的定义，即可求解． 【详解】解：的底数是，指数是，写成积的形式是 故答案为：，，． 3．（七年级·全国·假期作业）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2. （1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①62＝36； ②43＝64； （2）将下列对数式改为指数式： ①log525＝2； ②log327＝3； （3）计算：log232 【答案】（1）①log636＝2；②log464＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式； （2）根据题意可以把对数式写成指数式； （3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果． 【详解】解：（1）①62＝36； 对数式记作：log636＝2； ②43＝64； 对数式记作：log464＝3； （2）①log525＝2； 指数式为52＝25， ②log327＝3； 指数式为33＝27； （3）∵25＝32， log232＝5. 【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 【题型二】有理数的乘方运算 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】此题考查的知识点是有理数的乘方．根据有理数乘方的运算即可判定． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是（   ） A．4 B．9 C．64 D．49 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算，即可． 【详解】解：，继续输入： ，输出， 故选D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）直接写出得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)37 (2) (3)2870 (4)3 (5) (6) (7) (8) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的运算． （1）根据减法法则计算即可； （2）根据加法法则计算即可； （3）根据乘法法则计算即可； （4）根据除法法则计算即可； （5）根据乘法法则计算即可； （6）根据除法法则计算即可； （7）将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （8）根据乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 【题型三】有理数乘方逆运算 【例3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，且，则时值为（） A． B． C．20 D． 【答案】A 【知识点】有理数乘方逆运算、绝对值的几何意义 【分析】根据绝对值和乘方的性质求出和的值，再根据得到和同号，分类讨论求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴和同号， 当时，; 当时，; 综上，的值为， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值和乘方的性质，解题的关键是根据题意得到和同号． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江金华·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或4 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数乘方逆运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查的是绝对值的含义，平方运算的逆运算，求解代数式的值，本题先求解，的值，再根据，再分两种情况讨论计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵所表示的点在所表示的点的左边， ∴， ∴，， 当，，则， 当，，则， 故选C 2．（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知一个棱长为的立方体铁块． (1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中（杯子底面直径和高度均为），则溢出水的体积为________． (2)将铁块恰好分割成16个棱长为的立方体与6个棱长为的立方体，求的值． 【答案】(1)512 (2) 【知识点】乘方的应用、有理数乘方逆运算 【分析】（1）求出铁块的体积即可得出排开水的体积； （2）用铁块的体积减去16个棱长为的立方体的体积，得出6个棱长为的立方体的体积和，再求出一个立方体的体积，即可得出答案． 【详解】（1）解：溢出水的体积为：， 故答案为：512． （2）解：棱长为的立方体的体积为： ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考出乘方的应用，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则． 3．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 【题型四】乘方运算的符号规律 【例4】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律、绝对值非负性 【分析】由非负数的性质可得：，，从而可得答案. 【详解】解：∵ 而， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值和偶次幂的非负性，能理解绝对值和偶次幂的非负性并灵活运用是解本题的关键． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据绝对值和平方的非负性列简单方程求出m，n的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，； ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，求解代数式的值，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解决本题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】/ 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、乘方运算的符号规律、绝对值非负性 【分析】根据非负数的性质列出方程求出，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值意义，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键． 3．（七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【题型五】乘方的应用 【例5】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知一个正方形的面积等于两个边长分别为和的正方形的面积之和，则这个正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了正方形的面积、有理数乘方运算的应用，熟练掌握乘方运算法则是解题的关键．由题意得，先求出正方形的面积，即可得到这个正方形的边长． 【详解】解：正方形的面积等于两个边长分别为和的正方形的面积之和， 这个正方形的面积为：， ，正方形的边长为正数， 这个正方形的边长为． 故选：A． 【举一反三】 1．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（   ） A． B．2 C．1 D．44 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，定义运算，掌握用幂的意义推导定义运算是解题的关键． 根据，得出，根据，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： A． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：这样的一个细胞经过3小时可分裂成 个细胞：经过（n为正整数）小时后可分裂成 个细胞． 【答案】 64 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查幂的应用．根据题意，3小时是6个30分钟，从而得到答案；（经过n小时即个30分钟，根据题意，得到规律，即可得到答案． 【详解】解：经过3小时，即第6个30分钟后，可分裂成个细胞， ∴经过3小时后，可分裂成64个细胞； 根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第n个30分钟分裂为个细胞； 经过n小时即个30分钟分裂为个细胞； 故答案为：64；． 3．（七年级上·浙江·专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题 材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即)． 一般地，若(且)，则叫做以为底的对数，记为(即)． 如，则4叫做以3为底的对数，记为(即)． 问题： (1)计算以下各对数的值： =_________，=_________，=_________． (2)通过观察（1），思考：、、之间满足怎样的关系式？ (3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？＝______（且）． (4)利用（3）的结论计算＝______． 【答案】(1)2，4，6 (2) (3) (4)3 【知识点】乘方的应用 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论： （4）根据（3）的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：(1)∵ ∴， 故答案为：2，4，6； （2）∵，，，， ∴， 故答案为：； （3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘． 则， 故答案为：． （4） ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，对数，类比、归纳，推测出对数应有的性质是解题的关键． 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例6】．（24-25七年级上·浙江台州·期末）是一种基于深度学习的自然语言处理模型（人工智能模型），它的参数量巨大． 截至2024年9月，的参数量已经达到了约500000000000个．将500000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·期末）2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节申遗成功是中国传统文化自信的彰显，春节的魅力穿越了岁月，把中华儿女的亲情紧紧相连．据有关部门预测，2025年春运约有90亿人次出行，将90亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值0时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：90亿． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）语文教科书每页大约有500字.一套《辞海》大约有个字，如果每页字数与语文教科书的字数相等，那么《辞海》大约有 页．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．根据科学记数法来进行求解． 【详解】解：根据题意得《辞海》的页数有： ． 故答案为：． 3．（七年级上·浙江·专题练习）（1）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027×104；④-70890． （2）把下列用科学记数法表示的数还原成原数：①3.5×106；②1.20×105；③-9.3×104；④-2.34×108． （3）下列的数各是几位数？①6×108；②1.4×107；③1019；④5.2×10n． 【答案】（1）①2.021×103；②5.76×106；③2.7×102；④-7.089×104；（2）①3500000；②120000；③-93000；④-234000000；（3）①是9位数；②是8位数；③是20位数；④是(n+1)位数． 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数； （2）将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数； （3）将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就得出这个数是几位数． 【详解】解：（1）用科学记数法表示各数分别为： ①2.021×103；②5.76×106；③2.7×102；④-7.089×104； （2）把科学记数法表示的数还原成原数为： ①3500000；②120000；③-93000；④-234000000； （3）①还原成原数是600000000，是9位数； ②还原成原数是14000000，是8位数； ③还原成原数是10000000000000000000，是20位数； ④还原成原数是5200…0[有(n-1)个0]，是(n+1)位数． 【点睛】此题考查了科学记数法表示数的方法和还原原数．解题的关键是明确科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【题型七】程序流程图与有理数计算 【例7】（23-24七年级上·浙江温州·期末）按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为3，的值为时，输出的结果为（　　） A． B．11 C． D．35 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，将代入程序图，按步骤进行计算即可． 【详解】解：当输入的值为3，的值为时， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据题意列式计算，直至结果小于0即可． 【详解】解：输入1时，，输出结果， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）有一个数值转换器，原理如图： (1)当输入的为81时．输出的是多少？ (2)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由； (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？ (4)若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)x的值为0或1 (3)输入的数据可能是负数 (4)不唯一，4和2（答案不唯一） 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、程序流程图与有理数计算 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据被开方数是非负数即可求解； （4）找到使得输出值为的两个数即可． 【详解】（1）解：当时， ，=3，是无理数， 故； （2）解：x的值为0或1时，始终输不出y值． 因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； （3）解：因为负数没有算术平方根， 所以输入的数据可能是负数； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，例如4和2． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键． 【题型八】含乘方的有理数混合运算 【例8】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列四个式子中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解： ， ， ， ， 计算结果最大的是选项C． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为（ ） A． B．0 C．12 D．54 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，再进行计算即可． 本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有．例如：，那么 ； ． 【答案】 16 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解新定义运算规则，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．根据新定义运算法则进行逐个列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 【答案】[理解]（1）2，1，11；（2）D；[迁移] ；[创新] 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、八进制、十进制数的定义以及核算方法是正确解答的关键． [理解]（1）根据二进制与十进制的核算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的核算方法进行计算即可； [迁移]将25写成即可得出答案； [创新]先将二进制数转化为十进制数为89，再将十进制数89写出即可． 【详解】[理解]（1）解：， 故答案为：2，1，11； （2）解：一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数最小为，最大为， ∴一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是， 故选：D； [迁移]解：， ∴十进制数25转化为二进制数为； [创新]解：二进制数转化为十进制数为， 而， ∴十进制89写成8进制为， 即二进制数转化为八进制数为． 【题型九】求一个数的近似数 【例9】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用四舍五入法，把精确到百分位的近似数是（   ） A． B．0.054 C．0.055 D．0.050 【答案】A 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数．把千分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】解：把精确到百分位的近似数是． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列实例中数据属于准确数的是（　　） A．2024年浙江省中考考生约54.9万人 B．杭州地铁1号线全线共设33个站点 C．新浙教版七年级上册数学课本长约26厘米 D．巴黎奥运会冠军潘展乐以46秒09摘取男子百米自由泳冠军 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数．解答本题的关键是明确近似数和准确数的含义．能准确地表示一些量的数，叫做准确数，与实际接近但存在一定偏差的数，叫做近似数． 根据各个选项中的数据，可以判断是近似数还是准确数，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：选项A中的54.9万是近似数，故选项A不符合题意； 选项B中的33是准确数，故选项B符合题意； 选项C中的26是近似数，故选项C不符合题意； 选项D中的46秒09是近似数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）用计算器计算得到，则用四舍五入法取近似数为 （精确到）． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了求近似数，熟练掌握四舍五入法，是解题的关键． 根据近似数的求法，把应该精确到的数位后面的一位“四舍五入”即可解答． 【详解】解：（精确到）， 故答案为：． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)579.56（精确到十分位）； (2)0.0040783（精确到0.0001）； (3)8.973（精确到0.1）； (4)692547（精确到十位）； (5)48378（精确到千位）； (6)（精确到千位）． 【答案】(1)（精确到十分位）； (2)0.0041（精确到0.0001）； (3)9.0（精确到0.1）； (4)（精确到十位）； (5)（精确到千位）； (6)（精确到千位） 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （1 ）先用科学记数法表示，然后把百分位上的数进行四舍五入即可； （2 ）把十万分位上的数7进行四舍五入即可； （3 ）把百分位上的数7进行四舍五入即可； （4 ）先用科学记数法表示，然后把个位上的数7进行四舍五入即可； （5 ）先用科学记数法表示，然后把百位上的数进行四舍五入即可； （6 ）把3进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：（精确到十分位）； （2）解：（精确到0.0001）； （3）解：（精确到0.1）； （4）解：（精确到十位）； （5）解：（精确到千位）； （6）解：（精确到千位）． 【题型十】求近似数的精确度 【例10】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（   ） A．十分位 B．十位 C．千位 D．万位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查近似数的精确度，解题的关键是理解近似数精确到哪一位的判断方法． 先将54.9万还原为原数，再看近似数中最后一位数字所在的数位，即可确定其精确到的位数． 【详解】54.9万， 在近似数54.9万中，数字9在千位上，所以近似数“54.9万”精确到千位， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（      ） A．近似数精确到 B．近似数精确到个位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数万精确到千位 【答案】D 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查的是近似数的精确度，理解精确度的含义是解本题的关键．根据近似数的精确度逐一分析即可得到答案． 【详解】解：近似数精确到千分位，故A不符合题意； 近似数万精确到十分位，描述错误，故B不符合题意； 近似数与表示的意义不相同，精确到十分位，精确到百分位，故C不符合题意； 近似数万精确到千位，故D符合题意； 故选D 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）浙江省是中国岛屿最多的省份，海岸线总长居全国首位，其中陆域面积约为10.55万平方公里，其中近似数10.55万精确到 位． 【答案】百 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数，根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位进行求解． 【详解】解：10.55万， ∴近似数10.55万精确到百位， 故答案为：百． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）指出下列各近似值精确到哪一位． (1)56.3 (2)5.630 (3) (4)5.630万 (5)0.017 (6)3800． 【答案】(1)56.3精确到十分位； (2)5.630精确到千分位； (3)精确到万位； (4)5.630万精确到十位； (5)0.017精确到千分位； (6)3800精确到个位 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （1）所给数的数位最小到十分位，据此解答即可． （2）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可． （3）所给数的数位最小到万位，据此解答即可． （4）所给数的数位最小到十位，据此解答即可． （5）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可． （6）所给数的数位最小到个位，据此解答即可． 【详解】（1）解：56.3精确到十分位； （2）解：5.630精确到千分位； （3）解：精确到万位； （4）解：5.630万精确到十位； （5）解：0.017精确到千分位； （6）解：3800精确到个位． 【题型十一】近似数推断取值范围 【例11】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数，解题的关键是用四舍五入的方法来解答． 根据五入的方法得近似数3.14，说明a千分位是5或比5大，百分位是3，所以；根据四舍的方法得近似数3.14，说明千分位小于5，百分位是4，所以，由此得到答案． 【详解】解：近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是：， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）如果一个数用“四舍五入法”求近似数为4万，那么这个数最大是 ． 【答案】44999 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查近似数，掌握“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大是解题关键．根据“四舍”得到的近似数比原数小，故原数的万位和千位为4，其余数位为9． 【详解】解：如果一个数用“四舍五入法”求近似数为4万， 那么这个数最大是44999． 故答案为：44999． 3．（七年级上·全国·课后作业）甲、乙两名同学的身高都约是，但甲却比乙高9，有这种可能吗？为什么？若有，请举例说明． 【答案】有这种可能，理由见解析 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】确定身高约是的实际取值范围即可． 【详解】解：有这种可能，因为身高在至可视为， 当甲的身高为，乙的身高为时，他们相差9． 【点睛】本题考查由近似数推真值的范围．掌握相关结论是解题关键． 好题必刷 一、单选题 1．下列各数据中，是近似数的有（　　） ①小明的身高是172.5厘米；②黄山莲花峰海拔；③小强买笔花了4.8元；④小军同学的体重是60千克． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据近似数的实际意义进行判断即可． 【详解】解：①小明的身高是172.5厘米，是近似数；②黄山莲花峰海拔，是近似数；③小强买笔花了4.8元，是准确数；④小军同学的体重是60千克，是近似数； 综上，是近似数的有3个； 故选：C． 【点睛】本题考查了实际问题中的近似数，关键是明确近似数的含义． 2．“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功，请将5亿这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵5亿=500000000， ∴5亿用科学记数法表示为：5×108． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．若，则 (　　) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根和绝对值的意义先得出的值，再求出即可得出答案． 【详解】解：，， ，；，；，；，， 则或． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根和绝对值的意义和有理数的加法，理解概念，掌握运算法则是解题关键． 4．下面各组数中相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的运算、化简绝对值，理解乘方的意义、“乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数”是解题的关键． 【详解】解：A、，，二者不相等，故该选项不符合题意； B、，，二者不相等，故该选项不符合题意； C、，，二者不相等，故该选项不符合题意； D、，，二者相等，故该选项符合题意． 故选：D． 5．将数1.4960用四舍五入法取近似数，若精确到百分位，则得到的近似数是（　　） A．1.49 B．1.50 C．1.496 D．1.4 【答案】B 【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可． 【详解】1.4960≈1.50（精确到百分位）， 故选：B． 6．若，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．9 【答案】D 【分析】根据绝对值的非负性得到与的值，代入求值即可． 【详解】解：∵，， 当时， ∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值的非负性及幂的运算，熟练掌握非负式的和为零的条件是解决问题的关键． 7．有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解答本题的关键． 运用有理数加法、乘方、除法逐个判断即可． 【详解】解：①，即①错误；②，即②错误；③，即③正确；④，即④正确． 综上，正确的有2个． 故选C． 8．近似数 是精确到（    ） A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位 【答案】C 【分析】先将换算为，再判断的0在百位上，即可得到答案． 【详解】解： ∵的0在百位上， ∴近似数是精确到百位， 故选C． 【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的概念：经过四舍五入得到的数叫近似数． 9．若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C 【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键． 10．下列说法正确的是（    ） A．近似数1.2和1.20精确度相同 B．取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 C．0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.015 D．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和精确度，根据近似数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：A、近似数1.2和1.20精确度不一样，1.2精确到十分位，1.20精确到百分位，故本选项错误； B、取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数，故本选项正确； C、0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.016，故本选项错误； D、由四舍五入得到的近似数，精确到百位，故本选项错误； 故选：B． 二、填空题 11．某服装店将每件进价80元的服装按进价提高50%后标价，然后以九折销售，则售出每件服装可获利 元． 【答案】28 【分析】由题意得等量关系：售价=（1+50%）×进价×打折，进而可得每件服装的利润． 【详解】解：由题意得： 售价=80×（1+50%）×90%=108（元）， ∴每件服装的利润：108-80=28（元）， 故答案为：28． 【点睛】此题主要考查了有理数混合运算的应用，关键是正确理解售价、进价、打折的意义． 12．某种细菌在培养过程中，由一个分裂成两个，每小时分裂一次，若这种细菌由1个分裂为32个，则这个过程要经过 小时． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点． 根据已知可知细菌由一个分裂成两个，每小时分裂一次，从而得出第n次细菌分裂后的细菌个数为，再令，即可求解． 【详解】解：由题意可知细菌由一个分裂成两个，每小时分裂一次， 则一个细菌第一次分裂成个， 第二次分裂成个， 第三次分裂成个， 由上述规律可知，第n次时细菌分裂的个数为个， 设第n次分裂成32个， 令， 解得：， 即第5次分裂，细菌分裂成32个， 故答案为：5． 13．（1）精确到 位； （2）万精确到 位 【答案】 百 十 【分析】根据精确度的概念作答． 【详解】解：（1）因为2所在的数位是百万位，所以近似数精确到百位． （2）万精确到十位． 故答案为：百；十． 【点睛】此题考查精确度的确定以及用科学记数法表示的数的确定方法． 14．计算的值是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法运算，简便计算的方法，有理数的加减混合运算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，简便计算，掌握有理数的乘法运算法则及简便计算的方法是解题的关键． 15．当温度每下降10℃时，某种金属丝缩短0.02mm．把这种30℃时10mm长的金属丝冷却到零下5℃，那么这种金属丝在零下5℃时的长度是 mm． 【答案】9.93 【分析】根据题意，可以得到算式10+[30-(-5)]-10×0.02，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， 10+[30﹣（﹣5）]÷10×0.02 ＝10﹣（30+5）÷10×0.02 ＝10﹣35÷10×0.02 ＝10﹣3.5×0.02 ＝10﹣0.07 ＝9.93（mm）， 故答案为：9.93． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． 16．已知，那么 即，模仿上述求和过程， 设，则 ， ． 【答案】 2 338350 【分析】根据题意进行运算可得，即可求得a=2，再根据此规律即可求得的值． 【详解】解：∵ ， ∴a=2时等式成立． ∴ ． ， 故答案为：2，338350． 【点睛】本题考查了等式的性质及恒等变式，根据规律进行运算是解决本题的关键． 三、解答题 17．（1）﹣2+2.5﹣6+15； （2）（﹣2）×（﹣2）﹣4÷（﹣2）． 【答案】（1）9.5；（2）6 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握该知识点是解题关键． 18．计算： （1）-5×2+3÷-（-1）； （2）（）÷． 【答案】（1）0；（2）-23． 【分析】(1)根据有理数的四则运算法则进行运算即可求解； (2)根据有理数的四则运算法则进行运算即可，注意先算乘除，再算加减，有括号先算括号内的． 【详解】解：(1)原式=-10+3×3+1=-10+9+1=0， 故答案为：0； (2)原式= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的四则运算法则，注意运算顺序及符号，计算过程中细心即可． 19．根据运算式中符号规定的运算关系进行计算：设．求的值． 【答案】 【分析】先把带分数化为假分数，再按新定义计算转为有理数的乘法混合运算计算即可． 【详解】解：． 【点睛】本题考查有理数的新定义运算法则，仔细阅读，掌握运算法则的实质，转化为有理数的乘法混合运算是解题关键． 20．请观察： ①； ②． 观察算式①和②，你发现前后两个算式的值应该存在着什么关系？ 请计算：． 【答案】-14 【分析】本题考查有理数的混合运算和倒数的定义，掌握有理数的运算法则是解题的关键，首先根据倒数的定义判断两个算式的值是倒数关系，再根据乘法分配律计算第二个式子． 【详解】解：算式①和②的值是倒数关系． ． 21．（1）计算：（）×30； （2）计算：（﹣1）4×|﹣8|+（﹣2）3×（）2． 【答案】（1）1；（2）6. 【分析】（1）用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】解：（1）原式＝×30−×30＋×30 ＝15−20＋6 ＝1； （2）原式＝1×8＋（−8）× ＝8＋（−2） ＝6． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化是结题关键． 22．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算乘方，绝对值运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可； （2）先乘方，再乘除，最后计算加减运算即可； （3）先计算乘方运算，绝对值运算，利用乘法分配律计算乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，有理数乘法运算律的灵活应用，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键． 23．6袋大米，以每袋为标准，超过的千克数记作正数，不足的记作负数记录如下（单位：）： 0.3，0，，，1.2，， (1)最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差多少千克？ (2)这6袋大米的平均质量是多少千克？ 【答案】(1)最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差1.9千克 (2)这6袋大米的平均质量为50.05千克 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的混合运算的实际应用、有理数的减法的实际应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意，利用有理数的减法列式计算即可； （2）先计算出6袋大米的总重量，再除以6即可得出平均质量． 【详解】（1）解：由题意得： 最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差， 最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差1.9千克； （2）解：由题意得： 这6袋大米的总质量为：， 这6袋大米的平均质量为：， 这6袋大米的平均质量为50.05千克． 24．太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒400万吨的速度失去重量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．计算： (1)用科学记数法表示6378千米= 　千米，140万千米= 　千米； (2)在太阳的直径上能摆放多少个地球？ 【答案】(1)， (2)109个 【分析】（1）把一个大于10的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为，把整数位数减1作为，从而确定它的科学记数法形式． （2）太阳的直径上能摆放地球的个数太阳的直径地球的直径． 【详解】（1）解：千米， 140万千米． 故答案为：， （2）（个）． 答：在太阳的直径上能摆放109个地球． 【点睛】将一个绝对值较大的数写成科学记数法的形式时，其中，为比整数位数少1的数．在进行运算时，部分和的部分分别运算，然后再把结果整理成的形式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$