专题2.1 函数的概念（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题2.1 函数的概念（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数的概念】 2 【题型2 同一函数的判断】 3 【题型3 具体函数的定义域的求解】 4 【题型4 抽象函数的定义域的求解】 4 【题型5 函数值域的求解】 5 【题型6 已知函数定义域、值域求参数】 5 【题型7 已知函数类型求解析式】 6 【题型8 已知f(g(x))求解析式】 6 【题型9 分段函数及其应用】 7 1、函数的概念 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域 (2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数 (3)了解简单的分段函数，并会应用 2022年浙江卷：第14题，5分 2023年北京卷：第11题，5分 2025年北京卷：第7题，4分 函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现.预计明年高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域为主，主要在选择题中考查. 知识点1 函数的定义域、值域的求法 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)反解法； (3)配方法； (4)不等式法； (5)单调性法； (6)换元法； (7)数形结合法； (8)导数法. 知识点2 函数解析式的四种求法 1．函数解析式的四种求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 知识点3 分段函数的应用 1．分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型1 函数的概念】 【例1】（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【变式1-1】（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【题型2 同一函数的判断】 【例2】（2025·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【变式2-3】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 具体函数的定义域的求解】 【例3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·海南·模拟预测）函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型4 抽象函数的定义域的求解】 【例4】（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型5 函数值域的求解】 【例5】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 【变式5-3】（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型6 已知函数定义域、值域求参数】 【例6】（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 已知函数类型求解析式】 【例7】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【变式7-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型8 已知f(g(x))求解析式】 【例8】（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型9 分段函数及其应用】 【例9】（2025·吉林长春·三模）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式9-1】（2025·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 【变式9-3】（2025·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 一、单选题 1．（2025·山东·一模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 3．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 6．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·云南红河·三模）定义在上的函数满足：都有，，且，则（    ） A．45 B．46 C．91 D．92 二、多选题 9．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 10．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 13．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 14．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 17．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 18．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 19．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 函数的概念（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数的概念】 2 【题型2 同一函数的判断】 4 【题型3 具体函数的定义域的求解】 6 【题型4 抽象函数的定义域的求解】 7 【题型5 函数值域的求解】 9 【题型6 已知函数定义域、值域求参数】 10 【题型7 已知函数类型求解析式】 12 【题型8 已知f(g(x))求解析式】 14 【题型9 分段函数及其应用】 15 1、函数的概念 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域 (2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数 (3)了解简单的分段函数，并会应用 2022年浙江卷：第14题，5分 2023年北京卷：第11题，5分 2025年北京卷：第7题，4分 函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现.预计明年高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域为主，主要在选择题中考查. 知识点1 函数的定义域、值域的求法 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)反解法； (3)配方法； (4)不等式法； (5)单调性法； (6)换元法； (7)数形结合法； (8)导数法. 知识点2 函数解析式的四种求法 1．函数解析式的四种求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 知识点3 分段函数的应用 1．分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型1 函数的概念】 【例1】（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义判断可得出结论. 【解答过程】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 故选：D． 【变式1-1】（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义判断. 【解答过程】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】观察所给的四个选项是否符合函数的概念，自变量到因变量对应关系允许“一对一”、“多对一”不允许“一对多”；自变量元素不允许“剩余”即可判断. 【解答过程】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确． 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【解答过程】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 【题型2 同一函数的判断】 【例2】（2025·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得． 【解答过程】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，但对应法则不同，所以不是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：A． 【变式2-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同一函数的定义，逐项分析判断. 【解答过程】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【解答过程】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果. 【解答过程】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误. 故选：B. 【题型3 具体函数的定义域的求解】 【例3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解. 【解答过程】由， 得，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 【变式3-1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答. 【解答过程】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【变式3-2】（2025·海南·模拟预测）函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可 【解答过程】由题知,解得且 即函数的定义域为 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，求解即可. 【解答过程】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【题型4 抽象函数的定义域的求解】 【例4】（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域. 【解答过程】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可知解即可得答案. 【解答过程】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C. 【变式4-3】（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【解答过程】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C. 【题型5 函数值域的求解】 【例5】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【解答过程】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【解答过程】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据一次函数、二次函数、对勾函数值域的求法依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，的值域为，A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，由得：，即的定义域为， 当时，，，C正确； 对于D，当时，（当且仅当时取等号），，D错误. 故选：C. 【变式5-3】（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【解答过程】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型6 已知函数定义域、值域求参数】 【例6】（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解题思路】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【解答过程】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】时直接代入；时利用可得答案． 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以关于的方程无实数解， 当时，显然无解，符合题意； 当时，则，解得． 综上可得． 故选：D． 【变式6-2】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，求出相应的的值，即可画出的图象，数形结合求出的最值，即可得解. 【解答过程】由，即，解得或， 所以， 当时，，所以， 当时，令，即，解得，， 则的图象如下所示： 因为函数在上的值域为， 当，（或，）时取得最小值， 即； 当，时取得最大值， 即； 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【解答过程】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 【题型7 已知函数类型求解析式】 【例7】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【解题思路】根据条件求出，得的解析式，进而代入求值即可. 【解答过程】∵，∴且，解得， ∴，∴. 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【解题思路】设，根据恒成立可得a，b，然后可解. 【解答过程】设， 则， 整理得， 所以，解， 所以，所以. 故选：A. 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可. 【解答过程】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A. 【题型8 已知f(g(x))求解析式】 【例8】（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法令求解析式即可． 【解答过程】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 【变式8-1】（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由换元法求得函数的解析式，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】令，则，所以，即， 则， 故选：D． 【变式8-2】（24-25高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对的式子适当变形，即可直接求出. 【解答过程】因为， 所以，则. 故选：A. 【变式8-3】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用换元法求函数解析式，注意定义域. 【解答过程】令，则， 所以， 综上，. 故选：B. 【题型9 分段函数及其应用】 【例9】（2025·吉林长春·三模）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】根据分段函数解析式，代入求值即可. 【解答过程】由函数可得，. 故选：B. 【变式9-1】（2025·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况解方程即可求解. 【解答过程】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 【变式9-2】（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 【答案】A 【解题思路】通过计算求得函数的周期即可得到答案. 【解答过程】因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，，为3的倍数，则． 故选：A. 【变式9-3】（2025·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【解题思路】分和，求解，即可得出答案. 【解答过程】当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：. 故选：B. 一、单选题 1．（2025·山东·一模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由函数有意义得，解该不等式即可得解. 【解答过程】要使函数有意义，则，即， 所以或，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【解题思路】将看成一个整体，利用求解即可. 【解答过程】， 故， 所以， 故，解得. 故选：B. 3．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案. 【解答过程】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误； 对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确； 对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误； 对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 4．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】先计算，得出，再根据函数的定义即可写出所有符合条件的函数. 【解答过程】令，则， 则满足条件的有： ；；， 故满足条件的有个. 故选：C. 5．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 【答案】D 【解题思路】根据赋值法，用x替换y，y替换x得到，故是常函数，设，再结合可解即可求. 【解答过程】用x替换y，y替换x可得，当，时，，故可知是常函数，于是知当时，，其中c为常数，故，解得，于是. 故选：D. 6．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可. 【解答过程】设， 则 ， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 7．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】先利用函数的定义域求得集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【解答过程】∵函数的定义域为， 所以， 令，解得，即，即， ∵， ∴“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 8．（2025·云南红河·三模）定义在上的函数满足：都有，，且，则（    ） A．45 B．46 C．91 D．92 【答案】B 【解题思路】将中的替换为得到新的不等式，再和运算，即可得出，进而确定关系式，再赋值得出关系式，再相加即可. 【解答过程】由①，得：②， ②得：③， 又④ ③+④得：⑤， 由①和⑤，得：， 所以，，，，， 以上式子相加得， 则. 故选：B． 二、多选题 9．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 【答案】BC 【解题思路】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D. 【解答过程】对于A：，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误； 对于B：函数与定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B正确； 对于C：根据函数的定义可知，函数的图象与直线的图象至多有一个交点，故C正确； 对于D：因为，所以， 则，故D错误. 故选：BC. 10．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 11．（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】利用赋值法，对选项逐一判断即可求解. 【解答过程】由题意， 得：. 令， 则. 令，， 可得：， 由，得，故选项B错误； 令，替换为， 可得， 因为，， 所以，即， 故选项A正确； 令，替换为， 可得：，即， 所以， 所以，，…，， 故，故选项C错误； 令， 可得：， 所以， 故选项D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【解题思路】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解. 【解答过程】，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【答案】 【解题思路】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【解答过程】由题意可得. 故答案为：. 14．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【解题思路】运用赋值法可求解. 【解答过程】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3){且 (4)且 【解题思路】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可； （3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可. 【解答过程】（1）， 所以定义域为； （2）， 所以定义域为； （3）且， 所以定义域为且； （4）且， 所以定义域为且. 16．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【答案】（1） （2） 【解题思路】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式. （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式. 【解答过程】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 17．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【解答过程】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 18．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】(1) (2)作图见解析， 【解题思路】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可； （2）根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可. 【解答过程】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）由（1）得 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. 19．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【解题思路】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域. （2）（3）代入自变量值，计算得函数值. 【解答过程】（1）函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. （2）. （3）当时，，所以，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$