专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 3 【题型2 根据函数的单调性求参数】 4 【题型3 求函数的最值】 4 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 5 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 5 【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 6 【题型7 函数的对称性与周期性】 6 【题型8 类周期函数】 7 【题型9 利用函数的性质比较大小】 7 【题型10 利用函数的性质解不等式】 8 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 9 【题型12 函数新定义】 9 1、函数的性质 考点要求 真题统计 考情分析 (1)借助函数图象，会用符 号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义 (2)结合具体函数，了解奇 偶性和对称性的概念和几何意义 (3)了解周期性的概念和几何意义 2023年I卷：第4题，5分、第11题，5分 2023年Ⅱ卷：第4题，5分 2024年新课标I卷：第8题，5分 2025年全国一卷：第5题，5分 2025年全国二卷：第10题，6分 2025年天津卷：第3题，5分 从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点和热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性、周期性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想. 知识点1 函数的单调性与最值的求法 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 知识点2 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（2025·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【变式1-1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时， ；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【例2】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3 求函数的最值】 【例3】（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【变式3-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式3-3】（2025·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有 ，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 【例4】（2025·浙江杭州·一模）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【变式4-1】（2025·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 【例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数为偶函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-1】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【变式5-3】（2025·安徽蚌埠·二模）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 【例6】（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·吉林·三模）已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【题型7 函数的对称性与周期性】 【例7】（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-1】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 【变式7-2】（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【变式7-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．2025 【题型8 类周期函数】 【例8】（2024·云南昆明·二模）定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·浙江台州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型9 利用函数的性质比较大小】 【例9】（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型10 利用函数的性质解不等式】 【例10】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·全国·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式10-3】（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例11】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（   ） A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12 C． D． 【变式11-1】（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 【变式11-2】（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【变式11-3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且，，则（    ） A．是奇函数 B． C． D．是周期为2的函数 【题型12 函数新定义】 【例12】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【变式12-1】（2025·辽宁·二模）若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025·山东·模拟预测）若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为，给出下面两个条件：条件单调递减且；条件单调递增且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【变式12-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、单选题 1．（2025·吉林长春·模拟预测）函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 3．（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 7．（2025·重庆·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·福建·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.  若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·陕西商洛·模拟预测）若函数 ，则（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．的最小值为 0 10．（2025·山东泰安·模拟预测）函数对于任意的，满足，且，则（    ） A．为偶函数 B．是函数的一个周期 C．点是图象的对称中心 D． 11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数满足：①定义域为，②，③当时，，则（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 三、填空题 12．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 13．（2025·甘肃白银·三模）若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是 . 14．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 15．（2025·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 16．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 17．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 18．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 19．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 3 【题型2 根据函数的单调性求参数】 5 【题型3 求函数的最值】 7 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 9 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 11 【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 13 【题型7 函数的对称性与周期性】 14 【题型8 类周期函数】 17 【题型9 利用函数的性质比较大小】 17 【题型10 利用函数的性质解不等式】 22 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 24 【题型12 函数新定义】 27 1、函数的性质 考点要求 真题统计 考情分析 (1)借助函数图象，会用符 号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义 (2)结合具体函数，了解奇 偶性和对称性的概念和几何意义 (3)了解周期性的概念和几何意义 2023年I卷：第4题，5分、第11题，5分 2023年Ⅱ卷：第4题，5分 2024年新课标I卷：第8题，5分 2025年全国一卷：第5题，5分 2025年全国二卷：第10题，6分 2025年天津卷：第3题，5分 从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点和热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性、周期性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想. 知识点1 函数的单调性与最值的求法 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 知识点2 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（2025·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【解答过程】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【解答过程】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 【变式1-2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时， ；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性. 【解答过程】对A，令，则， ，即， 故，所以A不正确； 对B，取代入：， 即，即在上为奇函数， 设， 所以，且， 故： 即：，故B错误； 对C，由B知函数在上单调递增，故C错误； 对D，由C结合函数为奇函数且， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【例2】（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【变式2-1】（2025·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由表达式可知当时，是单调减函数，故在上单调递减，则需要时，单调递减，且在断开位置处也要满足减函数的定义. 【解答过程】因为时，是单调减函数， 又因为在上单调，所以，故时，单调递诚， 则只需满足，解得， 故选：B. 【变式2-2】（2025·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【解答过程】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式2-3】（2025·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果. 【解答过程】函数的对称轴为， 由函数在上单调递增可得，即， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型3 求函数的最值】 【例3】（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】利用换元法，令，可将原函数转化为，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果. 【解答过程】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【解题思路】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【解答过程】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【解答过程】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得 ，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得 ，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得 ，与矛盾，不符合题意； 综上所述， . 故选：D. 【变式3-3】（2025·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有 ，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】令可得，再令可得，再令即可得，再利用函数单调性定义可得该函数为单调递增函数，故的值即为所求. 【解答过程】令，则，令有， 又，所以， 令，所以 ，所以， 设，则，所以， 所以， 则，故在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为. 故选：D. 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 【例4】（2025·浙江杭州·一模）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【解题思路】根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】当时，，则， 当时，，则， 又, 综上可得，， 即函数为偶函数. 故选：B. 【变式4-1】（2025·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可. 【解答过程】对于A，为偶函数，故A错误； 对于B，设，所以 故在定义域上不是单调递增，故B错误； 对于C，，故函数的单调增区间为和， 所以在定义域上不是单调递增，故C错误； 对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确. 故选：D. 【变式4-2】（2025·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【解答过程】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 【变式4-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】D 【解题思路】由题意令，可得，令，可得，可得关于对称，据此逐项判断可得结论. 【解答过程】令，则，，所以， 令，则， 即，又， 所以关于对称， 所以关于对称，故A不正确； 关于对称，故B不正确； 由A可知关于对称，故C不正确； 由A可知关于对称，故为奇函数， 所以为偶数，故D正确. 故选：D. 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 【例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数为偶函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】由题意可得为偶函数，则恒成立，从而可求出的值. 【解答过程】因为为偶函数，为偶函数， 所以为偶函数， 所以恒成立， 所以恒成立，所以. 故选：A. 【变式5-1】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【解答过程】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 【变式5-2】（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解. 【解答过程】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 【变式5-3】（2025·安徽蚌埠·二模）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用奇函数的定义列式求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】若函数为奇函数，则，即， 整理得，即，解得， 当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为，都符合题意， 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 【例6】（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【解答过程】由题知对一切成立， 于是. 故选：A. 【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值. 【解答过程】因为函数为奇函数，即， 所以，可得①， 因为函数是偶函数，即， 所以，可得②， 联立①②可得，因此. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由偶函数的性质即可求解. 【解答过程】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C. 【变式6-3】（2025·吉林·三模）已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解题思路】利用与的奇偶性推得是周期函数，从而结合题设条件即可得解. 【解答过程】是偶函数，， 则，从而， 又是奇函数，则， ，进而， 所以是周期为的周期函数， 又当时，，则， 所以. 故选：D. 【题型7 函数的对称性与周期性】 【例7】（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值. 【解答过程】由为奇函数，得， 所以图象的对称中心为，令 由的图象关于直线对称，得， 由得，所以， 则的一个周期为4，则 则． 故选：B. 【变式7-1】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 【答案】B 【解题思路】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进行分析判断. 【解答过程】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则. 令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误. 对于B选项，因为是奇函数，则. 由可得. 用代替可得，又因为，所以，即. 那么. 同理. . . 令，则，所以B选项正确. 对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误. 对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误. 故选：B. 【变式7-2】（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【解题思路】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可. 【解答过程】因为，所以，所以. 由，得，两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以 ， 所以 . 故选：D. 【变式7-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．2025 【答案】B 【解题思路】在中用代换得，结合得，即可得出函数的周期，进而得出函数的周期，根据的对称性求出，的值，结合函数周期即可求得结果. 【解答过程】由，得，又因为， 所以，故，， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 由，得，所以， 所以也是以4为周期的周期函数， 因为当时，，所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 又因为，所以，所以. 故选：B. 【题型8 类周期函数】 【例8】（2024·云南昆明·二模）定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可得，，然后利用函数的单调性即得. 【解答过程】∵时,， ∴当时,； 当时,， 即时,， ∵在上单调递增， ∴且， 解得， ∴实数的取值范围是. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一上·浙江台州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得. 【解答过程】因为函数的定义域为，满足， 且当时，， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 作出函数的大致图象， 对任意，都有，设的最大值为， 则，所以，解得或， 结合图象知m的最大值为，即的取值范围是. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【解答过程】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍. 当时，，故，则， ； 当时，，故，则， ； 当时，，故，则，. 如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ． 故选：A. 【变式8-3】（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解. 【解答过程】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，， 则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【题型9 利用函数的性质比较大小】 【例9】（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出图象关于直线对称，再利用对数的运算性质和函数的单调性比较即可. 【解答过程】因为定义在上的函数满足， 所以即图象关于直线对称， 所以，， 又在上单调递增，所以. 故选：A. 【变式9-1】（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】易得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解. 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B. 【变式9-2】（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解. 【解答过程】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 【变式9-3】（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 【解答过程】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A. 【题型10 利用函数的性质解不等式】 【例10】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【解答过程】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 【变式10-1】（2025·全国·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数是偶函数及函数单调性，分类讨论计算求解不等式即可. 【解答过程】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则， 则；； 当即时，，，成立； 当时，，，； 当时，，，； 当即时，， 所以的取值范围是． 故选：D． 【变式10-2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围. 【解答过程】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 【变式10-3】（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可. 【解答过程】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例11】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（   ） A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12 C． D． 【答案】D 【解题思路】用代替，可得，可判断C；用替换，结合偶函数的性质可得A正确；用替换，结合偶函数的性质可得B正确；由函数的周期性可得D错误. 【解答过程】因为，用代替，可得， 令，得，即， 令，得，所以，C正确； 用替换，可得，所以， 所以函数为偶函数，A正确； 用替换，可得， 所以，所以， 所以，即． 所以， 故是以12为周期的周期函数，B正确； ， 所以； ，，， 所以，D错误. 故选：D. 【变式11-1】（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项. 【解答过程】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； 在中，令，得，所以，故C错误； 因为，所以，所以，所以，， 故，故D正确． 故选：C. 【变式11-2】（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对称性可得的图象关于对称，直线对称，且以以4为周期的周期函数，即可根据函数图象的平移，结合奇偶性的定义求解. 【解答过程】令，得，即，故函数的图象关于对称． 又的图象关于直线对称，故，的图象关于直线对称． ，是以4为周期的周期函数． 对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，故的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误； 对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，故的图象关于原点对称，是奇函数，故B错误； 对于C，由，得；由，得， ，故C正确； 对于D，依题意，得，，，故D错误． 故选：C． 【变式11-3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且，，则（    ） A．是奇函数 B． C． D．是周期为2的函数 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法逐项分析判断. 【解答过程】函数，， 对于A，取，，则， 解得，不是奇函数，A错误； 对于B，，取，则， 即，B正确； 对于C，取，则，即，C错误； 对于D，由，得，即， 因此2不是的周期，D错误. 故选：B. 【题型12 函数新定义】 【例12】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【解题思路】由新定义赋值得的图象关于直线对称，进一步赋值得为奇函数，是周期为8的周期函数，故只需求出的值即可. 【解答过程】令，则，所以； 令，则， 所以的图象关于直线对称； 令，则， 因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数， 所以，所以， 所以是周期为8的周期函数，令，则， 解得，又为奇函数，所以， 所以. 故选：A. 【变式12-1】（2025·辽宁·二模）若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用绝对值的性质，得，再利用奇函数的性质，得到的图象，再利用题设定义，数形结合，即可求解. 【解答过程】当，即时， ； 当，即时，， 所以当时， ，因为为奇函数，所以其图象关于原点对称， 作出的大致图象，如图所示， 因为为“衰减函数”，所以在上恒成立， 所以将的图象向右平移个单位长度后得到的图象不在图象的上方， 由图象知点向右平移6个单位长度后得点不在点的左边， 所以 ，解得． 故选：D． 【变式12-2】（2025·山东·模拟预测）若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为，给出下面两个条件：条件单调递减且；条件单调递增且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【答案】C 【解题思路】根据单调函数的性质结合函数具有性质的定义对两个命题判断后可得正确的选项. 【解答过程】对于，当时，， 因为单调递减且，所以， 故存在且，对任意的， 均有即成立， 所以是函数具有性质的充分条件； 对于，当时，， 因为单调递增，所以恒成立， 故存在，且， 对任意的，均有成立， 所以也是函数具有性质的充分条件. 故选：C. 【变式12-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得，即是周期为1的周期函数，利用周期性并讨论、且判断④. 【解答过程】①，对于，定义域为R， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误． ②，是＂严格增函数＂，存在，对任意，都有， 因为，所以，故， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是＂严格增函数＂，正确． ③，，定义域为，当时，对任意的，都有， 即，所以函数，＂严格增函数＂，正确． ④，对于函数，， 所以是周期为1的周期函数，， 若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设， 设，则， 而，此时，矛盾； 所以函数不是＂严格增函数＂，正确． 故选：C. 一、单选题 1．（2025·吉林长春·模拟预测）函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先观察函数函数的定义域，得到对称中心的横坐标，再代入求对称中心的纵坐标. 【解答过程】因为的定义域为，根据定义域对称且有对称中心，所以对称中心横坐标为1， 由，得对称中心纵坐标为0， 所以对称中心为. 故选：A. 2．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解题思路】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【解答过程】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A. 3．（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值. 【解答过程】函数，对，有， 取，得，而，则， 对，令，得， 即，因此，函数周期为4， 令，得，而，则， 所以. 故选：A. 4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D. 5．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数奇偶性的定义判断可得结论． 【解答过程】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 6．（2025·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】根据题意，做出函数的图像，结合图像，即可得到结果. 【解答过程】 因为时，单调递增， 又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示， 由图像可知，若，则或. 故选：C. 7．（2025·重庆·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据①得关于直线对称，再得其关于点对称，则得到其周期性，再利用其单调性即可比较大小. 【解答过程】由①，有关于直线对称； 由②，令，则，有关于点对称； 则，又因为，则， 则，则，则， 则的周期为12，故； 由③，知在单调递增，关于点对称， 在单调递增，又在上连续， 在单调递增，故有， 即． 故选：C. 8．（2025·福建·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.  若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先在的条件下证明，然后在的条件下证明，即可说明的取值范围是. 【解答过程】一方面，由于对任意实数恒成立，故，即，所以. 另一方面，若，则对有. 且对有. 故在的情况下，必有恒成立. 综合上述两个方面，可知实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·陕西商洛·模拟预测）若函数 ，则（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．的最小值为 0 【答案】ABC 【解题思路】求出函数值判断A；求出定义域判断B；由奇函数定义判断C；举例说明判断D. 【解答过程】对于A，，A正确； 对于B，由，解得或，因此的定义域为 ，B正确； 对于C，，是奇函数，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC. 10．（2025·山东泰安·模拟预测）函数对于任意的，满足，且，则（    ） A．为偶函数 B．是函数的一个周期 C．点是图象的对称中心 D． 【答案】BCD 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得. 【解答过程】由题知， 对于选项A：令，得，所以， 令，得，即，所以为偶函数， 所以函数为奇函数，故选项A不正确； 对于选项B：令，，即， ，所以周期为，故选项B正确； 对于选项C： 由B中，即，所以关于 对称，且，又周期为，所以，故选项C正确； 对于选项D：令，得，即， 令，得，所以， 所以， 故，故选项D正确.    故选：BCD. 11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数满足：①定义域为，②，③当时，，则（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 【答案】BC 【解题思路】用赋值法先令求得，再令即可求得，进而判断A、B；任取，则，由函数单调性的定义判断C；令可判断奇偶性，利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【解答过程】在中， 令得，则， 令得，则， 故，，故A错，B对； 对于C，设，则， 由，得， 所以， 则在上是增函数，从而，故C正确； 对于D，令得，即， 所以是偶函数，故等价于， 又在上是增函数，所以， 解得且，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值. 【解答过程】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为：. 13．（2025·甘肃白银·三模）若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由题意可得，解不等式即可得出答案. 【解答过程】由题知，，解得：. 故答案为：. 14．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围. 【解答过程】由函数的图象关于中心对称，则. 又因为在上单调递减，所以时，， 且在上单调递减，且，可得在上单调递减. 又因为，所以可得， 则，得. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在区间上为严格增函数，证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案； （2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案． 【解答过程】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得， 所以，定义域为， 且，所以； （2）在区间上为严格增函数． 证明如下：设任意，则， 由，得， 即，，， 所以，即， 故在区间上为严格增函数． 16．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求，的值； （2）定义法求函数单调性，由单调性求最值. 【解答过程】（1）因为点，是图象上的两点， 所以，解得. （2）设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减. 故，. 17．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数为奇函数，即，求出函数解析式即可. （2）有分段函数解析式，画出函数图像，根据函数图形的单调区间，列出参数的不等式，求出参数范围. 【解答过程】（1）当时，因为函数是奇函数，故，满足条件； 当时，， 由是奇函数，得， 所以， （2）由（1）的解析式，作出的图象： 可知函数的在上单调递增，在上单调递减区，要使在上不单调， 则，解得． 或，解得． 所以实数的取值范围是. 18．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)，. (2)函数在上为减函数；证明见解析 (3). 【解题思路】（1）根据函数是定义在上的奇函数，且，即可求得解析式；（2）用函数单调性的定义证明即可；（3）由前两问可得函数的单调性，结合已知条件的奇偶性，利用函数性质解不等式. 【解答过程】（1））函数是定义在上的奇函数，， 解得：， ∴，而，解得， ∴，. （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意且， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以函数在上为减函数. （3）由题意，不等式可化为， 所以，解得，所以该不等式的解集为. 19．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)在R上单调递减，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）令得，再令并结合已知确定的值； （2）由得，讨论、，并结合及已知即可证； （3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集. 【解答过程】（1）令，则，故，可得， 令，则， 当，则，即，与题设不符， 所以； （2）在R上单调递增，证明如下： 当时，；当时，， 由（1）知， 由， 当，即，，， 所以，即在上单调递减， 当，则，，， 所以，即在上单调递减， 综上，结合，易知在R上单调递减，得证. （3）令，则，故，即， 所以，则， 由（2）知，，即，可得或， 所以不等式解集为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$