专题2.2 函数的基本性质-单调性、奇偶性、对称性、周期性 讲义2026届高三数学一轮复习

专题2.2 函数的基本性质 目录 考点1 函数的单调性与奇偶性 0 题型1 函数的单调性 0 题型2 函数的奇偶性 5 题型3 判断函数的单调性与奇偶性 5 题型4 判断函数的图像与解析式 5 题型5 根据单调性与奇偶性判断大小 5 题型6 根据单调性与奇偶性求取值范围 10 考点2 函数的对称性与周期性 11 题型7函数对称性的应用 11 题型8函数周期性的应用 11 题型9 导函数与原函数的基本性质 17 考点3 分段函数的基本性质 22 题型10 分段函数的单调性 22 考点1 函数的单调性与奇偶性 1．单调性 一般地，设函数的定义域为： ①如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有．那么就说在这个区间上是增函数．在单调区间上，增函数的图像是上升的； ②如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有．那么就说在这个区间上是减函数．在单调区间上，减函数的图像是下降的． 注意: （1）函数单调性定义中的、有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． （2）单调性定义的等价形式 ①设，那么在是增函数；在是减函数； ② 在是减函数. 在是增函数. 2．奇偶性 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 函数奇偶性常用结论 结论1：如果函数是奇函数且在处有意义，那么． 结论2：如果函数是偶函数，那么． 结论3：若函数是定义在R上的奇函数，则函数关于点中心对称． 结论4：若函数是定义在R上的偶函数，则函数关于直线对称． 题型1 函数的单调性 【高考真题】 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 4．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 3．（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 题型2 函数的奇偶性 【高考真题】 1．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【模拟真题】 1．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ． 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2025·广东梅州·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型3 判断函数的单调性与奇偶性 【高考真题】 1．（2020·全国II卷·高考真题）设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 2．（2012·天津·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为 A．，xR B．，xR且x≠0 C．,xR D．，xR 3．（2017·北京·高考真题）已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 4．（2015·湖南·高考真题）设函数，则是 A．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B．奇函数，且在（0,1）上是减函数 C．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D．偶函数，且在（0,1）上是减函数 5．（2014·湖南·高考真题）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东梅州·模拟预测）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（    ） A． B． C． D． 题型4 判断函数的图像与解析式 【高考真题】 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的图像大致为 A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·云南·阶段练习）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 题型5 根据单调性与奇偶性判断大小 【高考真题】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2019·全国III卷·高考真题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 3．（2017·天津·高考真题）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 4．（2017·天津·高考真题）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 题型6 根据单调性与奇偶性求取值范围 【高考真题】 1．（2017·全国I卷·高考真题）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 2．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2012·上海·高考真题）已知函数（a为常数）.若在区间[1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是 . 4．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ． 5．（2016·天津·高考真题）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是 . 6．（2015·新课标Ⅱ·高考真题）设函数,则使成立的的取值范围是 A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 5．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点2 函数的对称性与周期性 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 总论:“内同表示周期性，内反表示对称性”。 ①若，则具有周期性； ②若，则具有对称性； 题型7函数对称性的应用 【高考真题】 1．（2016·全国II卷·高考真题）已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（ x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则 A．0 B．m C．2m D．4m 2．（2016·全国II卷·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A．0 B． C． D． 3．（2015·新课标Ⅰ·高考真题）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为 . 2．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（    ） A．2 B．－4 C．2026 D．－4052 3．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（2025高三·全国·专题练习）若对，有，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型8函数周期性的应用 【高考真题】 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2008·湖北·高考真题）已知在R上是奇函数，且，当时，，则 A．-2 B．2 C．-98 D．98 5．（2009·山东·高考真题）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数是周期为2的奇函数，当时，，则 . 2．（2025·湖北黄冈·一模）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 3．（2025·全国·模拟预测）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有，则=（   ） A．0 B．1013 C．2025 D．4050 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 5．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数与的定义域都为是的导函数，若，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．4为的一个周期 D． 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知定义域为的函数的图象经过坐标原点，若，，且为偶函数，则（   ） A．190 B．210 C．230 D．400 题型9 导函数与原函数的基本性质 【高考真题】 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．4是的一个周期 C． D．的图象关于点对称 2．（2025·广东佛山·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·模拟预测）函数及其导函数的定义域均为，且满足，为奇函数，若2是的极值点，则（    ） A．的周期为3 B．是偶函数 C．是奇函数 D．在上至少有7个零点 4．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为 . 5．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，的定义域均为R，其导函数分别是，，且满足．若是奇函数，当时，，则（   ） A．是偶函数 B．的图象关于点对称 C．的周期为4 D． 考点3 分段函数的基本性质 题型10 分段函数的单调性 【高考真题】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2006·北京·高考真题）已知是上的增函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 4．（2006·北京·高考真题）已知是上的减函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2016·天津·高考真题）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 . 6．（2015·福建·高考真题）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ． 7．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【模拟真题】 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．存在实数a，使得成立 B．若为奇函数，则 C．若在上单调递增，则 D．若方程有两个不等实根，则 2．（2025·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 6．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为 ；若有最小值，则的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 函数的基本性质 目录 考点1 函数的单调性与奇偶性 0 题型1 函数的单调性 0 题型2 函数的奇偶性 5 题型3 判断函数的单调性与奇偶性 5 题型4 判断函数的图像与解析式 5 题型5 根据单调性与奇偶性判断大小 5 题型6 根据单调性与奇偶性求取值范围 10 考点2 函数的对称性与周期性 11 题型7函数对称性的应用 11 题型8函数周期性的应用 11 题型9 导函数与原函数的基本性质 17 考点3 分段函数的基本性质 22 题型10 分段函数的单调性 22 考点1 函数的单调性与奇偶性 1．单调性 一般地，设函数的定义域为： ①如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有．那么就说在这个区间上是增函数．在单调区间上，增函数的图像是上升的； ②如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有．那么就说在这个区间上是减函数．在单调区间上，减函数的图像是下降的． 注意: （1）函数单调性定义中的、有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． （2）单调性定义的等价形式 ①设，那么在是增函数；在是减函数； ② 在是减函数. 在是增函数. 2．奇偶性 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 函数奇偶性常用结论 结论1：如果函数是奇函数且在处有意义，那么． 结论2：如果函数是偶函数，那么． 结论3：若函数是定义在R上的奇函数，则函数关于点中心对称． 结论4：若函数是定义在R上的偶函数，则函数关于直线对称． 题型1 函数的单调性 【高考真题】 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数. 故选：C 4．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 【模拟真题】 1．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质可得不等式在上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可得.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数的取值范围. 【详解】由题意可知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号， 所以. 因为函数在上单调， 所以在上单调， 由复合函数单调性可知在上单调， 所以结合二次函数的性质可得：或，解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 2．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 【答案】D 【分析】利用导数分析函数的单调性即可判断AB；结合零点存在性定理及函数的单调性判断C；由，进而结合函数的单调性判断D. 【详解】由，则， 令，得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故A错误； 而，故B错误； 由，且时，， 根据零点存在性定理及函数的单调性可知，只有一个零点，故C错误； 由， 因为函数在上单调递减，且， 所以，故D正确. 故选：D. 3．（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质，求得函数在上不单调时，求得的取值范围，再由导数求得函数在上不单调时，求得的取值范围，进而得到答案. 【详解】由函数的对称轴为， 若在上不单调，则满足，解得； 又由函数，可得， 若在上不单调，则满足，解得， 所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 4．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解. 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 5．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先利用换元法求出的解析式，再利用定义法求证在上的单调性即可求出. 【详解】，令，则， 则， 且，则 因，则，则， 又，则，即， 则在上单调递增， 则的最大值为. 故选：C 题型2 函数的奇偶性 【高考真题】 1．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 【模拟真题】 1．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用奇、偶函数的定义，列出方程组，求解即得函数解析式，结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求得函数最大值. 【详解】因为偶函数，则①， 又为奇函数，则②， 由①－②，整理得，则，其中， 故当时，即时，的最大值为. 故答案为：. 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求出a的值，可得的解析式，继而代入求值，即得答案. 【详解】由题意知函数（且）的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 得，即， 故，解得或（舍去）， 故，故， 故选：C 3．（2025·广东梅州·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据化简即可得解. 【详解】因为是奇函数，定义域关于原点对称， 所以对任意,， 即， 解得. 故选：D 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】由题意可得函数为奇函数，由代入计算可得，由代入计算可得，计算即可求解. 【详解】因为函数定义域为且， 所以函数是奇函数且， 即，所以， 又，所以，所以，即. 故选：A． 题型3 判断函数的单调性与奇偶性 【高考真题】 1．（2020·全国II卷·高考真题）设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 2．（2012·天津·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为 A．，xR B．，xR且x≠0 C．,xR D．，xR 【答案】B 【详解】首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D， 对于先减后增，排除A，故选B. 考点：函数的奇偶性、单调性. 3．（2017·北京·高考真题）已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案. 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数， 又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数． 故选A. 点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 4．（2015·湖南·高考真题）设函数，则是 A．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B．奇函数，且在（0,1）上是减函数 C．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D．偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得， 又，所以函数的奇函数， 由，令，又由，则 ，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A. 考点：函数的单调性与奇偶性的应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题. 5．（2014·湖南·高考真题）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：中是偶函数，且在上是增函数，故满足题意；B中是偶函数，但在上是减函数；C中是奇函数；D中是非奇非偶函数．故都不满足题意，故选A． 考点：1、函数的奇偶性；2、单调性. 【模拟真题】 1．（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可. 【详解】对于A：函数为奇函数，在上单调递减，不符合； 对于B：函数为偶函数，不符合； 对于C：函数为奇函数，在和分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，不符合； 对于D：函数为奇函数，在上单调递增，符合题意. 故选：D 3．（2025·广东梅州·模拟预测）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由定义域判断A，由复合函数的单调性判断B，根据函数的定义域、奇偶性、单调性判断CD. 【详解】的定义域为，不是，不符合题意，故A错误； 令，则在上函数单调递增，且，而单调递减， 由复合函数的单调性知在上单调递减，故B错误； 的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确； ，所以函数的定义域为，且，函数为偶函数， 当时，，由幂函数性质知，函数为增函数，故D正确. 故选：CD 题型4 判断函数的图像与解析式 【高考真题】 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 2．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 3．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果． 【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·云南·阶段练习）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象上特殊点代入可排除BCD，得解. 【详解】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD； 对A，，而对于C，，故排除C. 故选：A 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察图象，可知，，，对选项一一排除得到答案. 【详解】从图象上看，可知， 对于A选项：，排除A选项； 对于B选项：； 对于C选项： ； 对于D选项：； 从图象上看，可知， 对于B选项：； 对于C选项：，排除C选项； 对于D选项：； 从图象上看，可知， 对于B选项：，排除B选项； 对于D选项：，从而得到D选项正确. 故选：D 3．（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得为奇函数，即可排除A、C，由函数在上的函数值的特征排除D，即可得解. 【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为偶函数，不符合题意，故A错误； 对于C：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数， 当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误； 故利用排除法可知选项B符合题意. 故选：B 4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项. 【详解】由奇偶性判断可知： 是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数， 而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误； 再当时，可知，故A错误； 所以C正确， 故选：C. 题型5 根据单调性与奇偶性判断大小 【高考真题】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 2．（2019·全国III卷·高考真题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 3．（2017·天津·高考真题）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：， 且：， 据此：， 结合函数的单调性有：， 即. 本题选择C选项. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 4．（2017·天津·高考真题）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数， ， ，又，则，所以即， ， 所以，故选C． 【考点】指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 【模拟真题】 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数导数，判断函数单调性，再根据函数单调性，比较函数值的大小，判断结果. 【详解】由题意得， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可知， 所以为偶函数，可知 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，， ，即， 所以，即， 所以，即. 故选：A. 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系. 【详解】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 3．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【分析】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据导函数可得为R上的增函数，利用单调性比较大小即可. 【详解】由，得， ，当且仅当，即时等号成立， 而，，即在R上单调递增， ，，即. 故选：A. 5．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性即可得解. 【详解】因为， 所以函数为偶函数， ， 令，则， 所以函数， 即当时，， 所以函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 6．（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数在上的单调性，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结果. 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数， 因为， 所以，，且函数在上为增函数， 所以，， 因为函数在上为减函数，则， 故，且， 所以，， 故选：D. 题型6 根据单调性与奇偶性求取值范围 【高考真题】 1．（2017·全国I卷·高考真题）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 2．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 3．（2012·上海·高考真题）已知函数（a为常数）.若在区间[1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是 . 【答案】(-∞, 1] 【详解】令，则，由于底数，故增且增， 由的图象知在[,+∞)上递增, 所以在区间[1,+∞)上是增函数时，a≤1. 则a的取值范围是(-∞, 1]. 4．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以数在上单调递增， 又，即，所以，即， 解得，故实数的取值范围为． 点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内． 5．（2016·天津·高考真题）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意在上单调递减，又是偶函数， 则不等式可化为，则，，解得． 6．（2015·新课标Ⅱ·高考真题）设函数,则使成立的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A. 考点：抽象函数的不等式. 【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可． 【模拟真题】 1．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 2．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知函数为奇函数，且在内单调递减，根据题意可得原题意等价于不等式在上有解，构建，利用导数求其最大值即可得结果. 【详解】因为，可知的定义域为， 且， 可知函数为奇函数， 又因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 可得在内单调递减，可知在内单调递减， 若， 即，可得，且，即， 原题意等价于不等式在上有解， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．（2025·全国·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数奇偶性，得到函数为偶函数，再分析单调性，根据偶函数单调性相反即可把不等式转化为，解不等式即可. 【详解】函数的定义域为，且，即为偶函数． 当时，和，和均在上单调递增，所以和均在上单调递增，则在上单调递增，所以不等式等价于，即，解得或． 所以不等式的解集为． 故选:D 4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可. （2）利用定义法得到函数的单调性即可. （3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. （2）由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3）由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 5．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析易得在上单调递增，，进而结合单调性解不等式即可求解. 【详解】的定义域为，所以在上单调递增， 而， 所以， 由， 则，由的单调性可得， ，即，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A． 6．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得在区间上单调递增，所以可将不等式转换为即可求解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，因为，， 所以，所以， 即或，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：D. 考点2 函数的对称性与周期性 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 总论:“内同表示周期性，内反表示对称性”。 ①若，则具有周期性； ②若，则具有对称性； 题型7函数对称性的应用 【高考真题】 1．（2016·全国II卷·高考真题）已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（ x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则 A．0 B．m C．2m D．4m 【答案】B 【详解】试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性 【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心. 2．（2016·全国II卷·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】[方法一]：直接法. 由得关于对称， 而也关于对称， ∴对于每一组对称点， ∴，故选B． [方法二]：特值法. 由得 不妨设因为，与函数的交点为 ∴当时，，故选B． [方法三]：构造法. 设，则，故为奇函数. 设，则，故为奇函数. ∴对于每一组对称点. 将，代入，即得 ∴，故选B． [方法四]： 由题意得,函数和的图象都关于对称, 所以两函数的交点也关于对称, 对于每一组对称点和，都有. 从而.故选B. 考点：函数的性质. 【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度. 3．（2015·新课标Ⅰ·高考真题）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为 （），由已知（）在函数的图像上，∴， 解得，即， ∴，解得，故选C． 考点：函数求解析式及求值 4．（2011·新课标卷·高考真题）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】试题分析：由于函数与函数 均关于点成中心对称，结合图形以点 为中心两函数共有个交点，则有 ，同理有，所以所有交点的横坐标之和为 .故正确答案为D. 考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用. 【详解】 【模拟真题】 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为 . 【答案】 【分析】根据条件先得出函数的周期性与对称性，函数的对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以， 所以，即函数是以为周期的函数， 当时，，所以函数的图象是以为圆心，为半径的圆的一部分， 由函数的图象可知函数关于直线对称， 因为， 所以函数关于直线对称， 因为，，， 所以函数与函数在有一个交点， 因为，，，，，    所以函数与函数在上有两个交点， 当时，，，此时函数与函数无交点， 因为，所以时，函数与函数无交点， 综上，当时，函数与函数有三个交点， 根据对称性可知，函数与函数的交点关于直线对称， 作出函数与函数的图象如下图所示： 所以函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为. 故答案为： 2．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（    ） A．2 B．－4 C．2026 D．－4052 【答案】A 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出是的一个周期，再利用赋值法和奇偶性求出，最后结合周期性即可求出. 【详解】函数的图象关于点对称，则， 即，则当时， 又，则对任意恒成立①， 又是定义在上的奇函数，则②，则， 即， 则，得，即是的一个周期， 由②可得，；由①可得，； 因，则，则， 则， 则. 故选：A 3．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由函数的对称性易得和的图象都关于直线对称，从而根据对称性求解两个图象所有交点横坐标的和. 【详解】由知的图象关于直线对称， 又的图象也关于直线对称， 所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）若对，有，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题可推出函数关于点对称，根据对称性即可求解. 【详解】令，则，所以， 令，则得， 由可得， 所以关于点对称， 所以的最大值与最小值之和是8． 故选：C． 题型8函数周期性的应用 【高考真题】 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 3．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 4．（2008·湖北·高考真题）已知在R上是奇函数，且，当时，，则 A．-2 B．2 C．-98 D．98 【答案】A 【分析】根据题意可知函数的周期为，即可利用周期性和奇偶性将转化为，即可求出． 【详解】∵，∴是以4为周期的周期函数，由于为奇函数， ∴，而，即. 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数周期性和奇偶性的应用，属于基础题． 5．（2009·山东·高考真题）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小. 【详解】因为满足，所以， 所以函数是以8为周期的周期函数， 则. 由是定义在上的奇函数， 且满足，得. 因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数， 所以在区间上是增函数， 所以，即. 【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． 【模拟真题】 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数是周期为2的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据周期性和奇偶性的定义结合对数的运算化简求解即可. 【详解】因为函数是周期为2的奇函数， 所以， 因为， 所以，. 故答案为：. 2．（2025·湖北黄冈·一模）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 【答案】BCD 【分析】对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则， 故，由， 则，且有， 即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即， 即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 3．（2025·全国·模拟预测）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有，则=（   ） A．0 B．1013 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】通过代入特定值分析函数的周期性，确定取值规律，进而求解的值. 【详解】令，则，所以． 令，则，又，所以． 令，则，所以函数的图像关于直线对称． 令，则，所以，的图像关于点对称． 故，则,是周期的函数． 又，当为偶数时，．当为偶数时，也为偶数，此时；当为奇数时，令，则. 所以1013． 故选：B． 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可. 【详解】因为 是定义在 上的奇函数， 所以 , 所以 ， 所以 关于 对称，且 ， 又 的一个周期为 2 ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以 的周期为 4 ，所以 A 选项错误； 因为 ， 所以 ， 又 的周期为 4 ，即， 所以 ， 所以 ，所以 B 选项错误； 因为 ， ， 所以 ，, 即 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 C 选项错误，D 选项正确． 故选：D． 5．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数与的定义域都为是的导函数，若，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．4为的一个周期 D． 【答案】ACD 【分析】对于A由得，令即可求，进而判断，对于B由得即可判断，对于C由有，又得，进而得，即可判断，对于D由求，又由得，利用周期即可求解. 【详解】对于A：由有，为常数， 令得，所以，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：由有， 所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由有，又， 所以，即，所以， 所以4为的一个周期，故C正确； 对于D：由，令得，令得， 又，令得，所以，所以 ，故D正确. 故选：ACD. 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知定义域为的函数的图象经过坐标原点，若，，且为偶函数，则（   ） A．190 B．210 C．230 D．400 【答案】D 【分析】利用的关系式，借助于为偶函数，通过先后赋值代入可推得的周期，分别计算出一个周期内的函数值，代入所求式，利用函数周期及求和计算即得． 【详解】由，得（*）． 在中，用替换，可得， 则，即①， 在①式中，用替换，则得②． 又因为偶函数，所以③， 故由②③，可得，用替换，可得 ， 比较两式，可得，即是以4为一个周期的函数． 因为的图象经过原点，所以，由（*）可得． 在中，令，得，所以， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 则， 则 ． 故选：D 题型9 导函数与原函数的基本性质 【高考真题】 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 【模拟真题】 1．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．4是的一个周期 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】由已知及复合导数的求法、偶函数性质得，结合得、、判断A、B、D；利用周期性求函数值判断C； 【详解】因为为偶函数，所以，则， 而，故，所以， 又为偶函数，所以，即， 所以，故，且， 所以，则4是的周期，故B正确． A：由两边求导得， 令得，解得，A正确； C：由上知，令，则， 则，C错误； D，因为，，则， 所以，则的图象关于对称，D正确． 故选：ABD 2．（2025·广东佛山·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】方法一：根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.方法二：构造满足题意的函数，进一步逐一验证各个选项即可. 【详解】解法1：由，令，则，因为，所以，故A错误； 令，则，① 所以， 因为为奇函数，所以为偶函数，， 所以，② 由①－②并整理得， 即， 所以， 所以是周期为3的周期函数，故，故B正确； 因为，所以，故C正确； 由上知， 在①中，令，得，所以， 所以，所以，故D正确． 解法2：令，此函数满足题意． 对于A，，A错误． 对于B，，B正确． 对于C， 因此，C正确． 对于D，， ，D正确． 故选：BCD. 3．（2025·河北·模拟预测）函数及其导函数的定义域均为，且满足，为奇函数，若2是的极值点，则（    ） A．的周期为3 B．是偶函数 C．是奇函数 D．在上至少有7个零点 【答案】AD 【分析】由已知根据周期的定义判断A；由函数周期性以及复合函数求导公式，结合函数周期性的定义判断B；由，可得，求出即可判断C；利用赋值法求得，即可判断D. 【详解】因为，得，所以的周期为3，故正确； 两边同时求导得，所以的周期为3. 因为为奇函数，得，即， 又因为的周期为3，得，所以是奇函数.故错误； 由，也就是，为常数. 又函数的定义域为，所以当时，，可知. 即，则函数为偶函数.故错误； 又因为2是的极值点，所以，函数为周期为3的奇函数， 故，，，， 函数的周期为3，，又是奇函数得， 综上可知，即关于点对称，又的定义域为， 所以，，则， 在上至少有7个零点，D正确. 故选：AD. 4．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据为偶函数，得出关于中心对称，再根据为偶函数，得出关于对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性，结合赋值法计算即可. 【详解】为偶函数，则，左右两边同时求导得， ，将看作整体得①， 将图象向右平移个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故， 即的周期为， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则 故答案为：. 5．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，的定义域均为R，其导函数分别是，，且满足．若是奇函数，当时，，则（   ） A．是偶函数 B．的图象关于点对称 C．的周期为4 D． 【答案】ABC 【分析】根据函数得出对称中心判断A，求导数得出函数是偶函数判断B，应用对称性与周期性判断C，应用周期性求函数值计算求解D. 【详解】因为函数，的定义域均为R，，所以， 所以关于对称，的图象关于点对称， 又因为是奇函数，，所以，， 所以是偶函数，所以是偶函数，A选项正确；B选项正确； 因为，所以，令，所以， 所以，所以的周期为4，C选项正确； ，D选项错误； 故选：ABC. 考点3 分段函数的基本性质 题型10 分段函数的单调性 【高考真题】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 2．（2006·北京·高考真题）已知是上的增函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数为增函数列不等式组，即可解得. 【详解】因为是上的增函数， 所以，解得：. 故选：D 3．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 4．（2006·北京·高考真题）已知是上的减函数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由在上单调递减，确定，以及的范围，再根据单调递减确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题. 【详解】解：由题意得： 是上的减函数 解得： 故 a的取值范围是 故选：C 5．（2016·天津·高考真题）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 6．（2015·福建·高考真题）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围. 考点：对数函数的性质及函数的值域. 【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围. 7．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 【模拟真题】 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．存在实数a，使得成立 B．若为奇函数，则 C．若在上单调递增，则 D．若方程有两个不等实根，则 【答案】BCD 【分析】根据方程的判别式可判断A选项；由奇偶性可判断B选项；利用分段函数的单调性可判断C选项；结合单调性和最值可判断D选项. 【详解】对于A：，即，其判别式， 所以该方程无解，即不存在实数a，使得成立，故A错误； 对于B：若为奇函数，则， 当时， ，则， ，其对都成立，解得； 当时同理可得； 当时，也符合题意，故，B正确； 对于C：函数在单调递增； 当时，，单调递增，又，即处连续， 所以在单调递增，符合题意； 当时，，即在单调递减，单调递增，又处连续 因此，函数在单调递增，所以， ，得，则； 当时，，又处连续， 因为，所以在单调递增， 因此，函数在单调递增，符合题意， 综上可知，若在上单调递增，则，故C正确. 对于D：由单调性可知，当时在单调递增， 则方程有一个实根； 当时， 在单调递减，在单调递增， 则，所以方程有两个不等实根； 综上可知，方程有两个不等实根，则. 故选：BCD 2．（2025·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围. 【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 3．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数为增函数可知在各段上为增函数，列出不等式组求解，即可得解. 【详解】由函数在上单调递增， 可得，即，解得， 故答案为： 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究单调性，结合在上单调递减，得，解出即可. 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. 5．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可. 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 6．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为 ；若有最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 0（答案不唯一） 【分析】先判断是上的单调递减函数，结合分界点的函数值的大小关系可得a的取值范围；根据函数的单调性，分别求解每一段上的值域，即可分类讨论求解. 【详解】因为在递减，在上递减， 若是上的单调函数，则是上的单调递减函数， 只需， 则的一个取值为0（任取即可）； 当时，单调递减，所以， 当时，， 若，则当时，单调递增，所以，则此时函数无最小值； 若，则当时，，时，，函数有最小值为满足题意； 若，则当时，单调递减，，时，，要使函数有最小值，则且，解得； 综上，的取值范围是， 故答案为：0（答案不唯一）；. 学科网（北京）股份有限公司 $