1.1定义与命题（教学课件）数学青岛版2024八年级上册

青岛版2024·八年级上册 1.1 定义与命题 第一章 推理与证明 章节导读 1.1定义与证明 1.2证明 1.3几何证明举例 定义 命题 基本事实 定理以及推论 代数推理 几何证明 学 习 目 标 1 2 理解数学定义的必要性与规范性，能识别命题、定义与陈述句。 掌握命题的结构（条件与结论），并能判断命题的真假 新课导入 假如你现在带着现代的手机穿越到了古代，你该如何向两千年前的古人解释‘手机’是什么？” 情境导入 解决这个问题，我们就明确事物的本质特征，手机的本质是一个通话工具，因此我们可以解释为“能无线通信的电子设备” 那么古人是如何解释数学的呢？这样的解释方式是什么？接下来我们一起学习。 新知探究 战国时期有一位极具影响力的科学家——墨子，他与弟子及后学整理了一部名为《墨经》的书，在此书中记载了对圆的理解： “圆，一中同长也” 而我们在教材中对圆是这样定义的： 平面上到定点距离等于定长的点的集合 这是我国古代对数学概念描述的一个例证，你还能想到哪些数学描述数学概念的例子？ 新知探究 例1：同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线 例2：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形 例3：求几个相同因数的积的运算叫做乘方 含有n个a 以上描述概念的语句有什么特点？ 思考 探究一 定义——数学大厦的基石 ． 像以上例子那样，能够说明一个概念含义的语句叫做定义 定义的意义 定义可以帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征 如平行线的定义，不仅揭示了平行线“没有公共点”这一特点，更是指出了平行线与相交线的区别。 定义也可以当作性质使用，也可以提供判定的依据 注意 例题讲解 例1：下列哪个选项是“数 a () 的平方根”的定义？ A.谁的平方等于 a？ B. 平方等于 a 的数. C. 如果一个实数 x 的平方等于 a ()，那么 x 叫做 a 的平方根. D. 大概就是 a 开平方得到的那个非负数吧. 答案解析：C 定义必须是陈诉句 表诉不全且有歧义，缺少关键“非负实数”，且没有明确a的范围 不精确且过于口语化，违法了定义的精确与确定性要求 要点总结 定义必须是一个陈诉“是什么”的句子，而非疑问句、反问句或者感叹句 即时训练 1.下列哪个选项是 “长方体” 的定义？ (A)长方体有6个面，每个面都是长方形. (B) 长方体是长长方方的，放在桌子上很稳当. (C) 长方体是由6个面围成的立体图形，且每个面都是长方形（特殊时可有正方形），相对的面完全相同。 (D) 长方体是一个六面体吗？ 性质不完整 描述性非定义，且未指出数学本质 反问句 答案解析：D 新知探究 探究二 发现“命题”的秘密 （1）如果两个角的和是180°，那么这两个角互补； （2）同一平面内，如果两条直线相交所成的角是直角，那么这两条直线垂直； （3）如果一个整数的个位上的数是0或5，那么这个数能被5整除。 以上表达数学结论的语句有何种特点？ 以上语句都对某个数学结论做出了判断，像这样， 对某件事作出判断的语句叫做命题 总结 命题的结构是什么？一般的叙述形式又是怎样的呢？ 以上命题中，都是“如果…，那么…”的形式 “如果”后面的部分是条件，“那么”后面的部分是结论，由此可得命题一般是由条件和结论构成的 以命题一为例 新知探究 探究二 发现“命题”的秘密 你能准确识别以上三个命题的条件和结论是那部分吗？以上结论是否正确？ 条件 结论 两个角的和是180° 这两个角互补 由于这三个命题都是经过严谨证明的结论，因此三个命题都是成立的 条件成立 结论一定成立 真命题 条件成立 结论不一定成立 假命题 归纳小结 例2：写出下列命题的结论和条件，并判断真假。如果是假命题，请举出反例. （1）如果ab=0，那么a=0或b=0； （2）两条直线被第三条所截，如果两个角是同位角，那么这两个角相等； 解：（1）条件：ab=0 结论：a=0或b=0 真命题 （2）条件：两条直线被第三条所截，两个角是同位角 结论：这两个角相等 假命题 反例：如图，直线a,b被直线c所截，其中同位角∠1与∠2不相等 （3）对顶角相等； （4）如果a是有理数，那么 （3）先将材料改为“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角是对顶角 条件：两个角是对顶角 结论：这两个角相等 （4）条件：a是有理数 结论： 假命题 反例：当a=1时，a是有理数，但不满足 满足条件，但结论与命题结论不不相同的例子叫做命题的反例； 若能举出一个反例，则该命题一定是假命题 基础巩固题 1.下列语句中，哪些是命题? （1）过点A做一条射线。 （2）线段AB的长是5cm吗？ （3）如果ab>0，那么a+b>0。 解：（1）这是祈使句，是一句操作指令，并非陈诉句，也不能判断真假。 （2）这是疑问句，不是陈述句，无法判断真假 （3）这是陈诉句，且能够通过反例“如a=-1,b=-2,ab=2>0但a+b+-3<0”判断为假，因此这是命题 提分笔记 命题需要满足两个核心的条件： 1.陈诉句 2.能判断真假 命题的结构为： “如果条件，那么结论” 其中条件是已知事项， 结论是由条件推出的事项。 基础巩固题 2.指出下列命题的条件和结论，并判断真假。如果是假命题，请举出反例。 （1）如果|a|=|b|，那么a=b； （2）如果a是负整数，那么a就小于或等于它的倒数。 解：（1）条件：|a|=|b| 结论：a=b 假命题 反例：当a=2，b=-2时，|2|=|-2|，但2 （2）条件：a是负整数 结论： a就小于或等于它的倒数。 提分笔记 3.将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论。 （1）平行于同一条直线的两条直线平行； （2）两个有理数相乘，同号的正。 （1）改写：如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线平行。 条件：两条直线平行于同一条直线 结论：这两条直线平行 （2）改写：如果两个有理数相乘且他们同号，那么积为正 条件：两个有理数相乘且他们同号 结论：积为正 课堂检测 1.下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，请指出命题的条件和结论。 （1）过直线l外一点P作l的平行线； （2）△ABC是锐角三角形吗？ （3）直角三角形的两个锐角互余。 （1）这是祈使句，并非陈诉句，因此不是命题。 （2）这是疑问句，不是命题。 （3）这是陈诉句，并且可以判断真假，是命题。 条件：一个三角形是直角三角形； 结论：这个三角形的两个锐角互余。 解题的关键： 会判断一个句子是否是命题，掌握判断命题的核心：是陈诉句且能判断真假（祈使句、疑问句、反问句都不是） 课堂检测 2.判断下列命题的真假。如果是假命题，请举出反例。（1）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）四边形的两条对角线相等； （3）若a＞b，则a²＞b²； （4）若两个有理数的和小于0，则这两个有理数的积也小于0。 （1）同一平面内，垂直于同一直线的两条直线方向一致，均垂直于该直线 （2）如普通平行四边形的两条对角线不相等 （3）当a=1，b=-2时，满足a＞b，但a²=1< b²=4 （4）如-1，-2两数，他们的和小于0，但积大于0 解题的关键： 会判断一个命题的真假，证明题需要逻辑证明，假命题需要举反例（满足条件但不满足结论） 课堂检测 3.写出下列命题的条件和结论，并判断真假。如果是假命题，请举出反例。 （1）直角三角形的斜边大于它的任何一条直角边； （2）一个角的补角大于这个角； （3）在一个圆中，直径大于不经过圆心的弦。 （1）条件：一个三角形是直角三角形； 解： 结论：这个三角形的斜边大于它的任何一条直角边； （2）条件：一个角存在补角（0°＜α＜180°）； 结论：这个角的补角（180°-α）大于α； 反例：α=100°时，补角为80°，80°＜100°；或α=90°时，补角=90° （3）条件：在一个圆中，有一条不经过圆心的弦； 结论：这个圆的直径大于这条弦； 课堂总结 定义 作用：明确概念含义 要求：清晰且无歧义 命题 本质：可判断真假的陈诉句 结构：条件+结论 命题的真假 感谢聆听! $