第14讲 函数的概念和图象（5知识点+14大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第14讲 函数的概念和图象 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：14大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：函数的概念 设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。 知识点2：函数的三要素（定义域、值域、对应关系） 在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。 知识点3：具体函数的定义域问题 具体函数的定义域 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 知识点4：函数相等 两个函数的定义域和对应关系一样，则两个函数相等 知识点5：函数图象的定义 将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点当自变量取遍函数定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合（点集）为即,所有这些点组成的图形就是函数的图象 【题型1 函数关系的判断】 例1-1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 例1-2．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（多选）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求函数值】 例2-1．已知函数，则 ． 例2-2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，则（    ） A．9 B．8 C．3 D．1 【变式2-1】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，那么＝ ． 【题型3 己知函数值求参数】 例3．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式3-1】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【变式3-2】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，且，则实数 ． 【题型4 具体函数的定义域】 例4．（24-25高一上·河北承德·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型5 抽象函数及复合函数的定义域】 例5-1．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例5-2．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例5-3．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 例5-4．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型6 已知函数定义域求参数】 例6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【变式6-3】（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【题型7 换元法求函数值域】 例7．已知函数，则的值域为 . 【变式7-1】求函数的值域． 【变式7-2】求下列函数的值域． (1)； (2). 【变式7-3】时，的值域为 . 【题型8 分离常数法求函数值域】 例8．已知函数 ，则函数的值域为 . 【变式8-1】函数，的值域为 . 【变式8-2】函数的值域为 ． 【题型9 判别式法求函数值域】 例9．函数，的值域为 ． 由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【变式9-1】函数的值域是 ． 当时，，解得， 【变式9-2】函数的值域是 . 【变式9-3】函数在上的值域是 . 【题型10 基本不等式法求函数值域】 例10．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】求函数的值域 【变式10-2】（1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 【题型11 根据值域求参数的值或者范围】 例11．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】若函数的值域为，则的取值范围为 . 【变式11-3】已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 【题型12 抽象函数及复合函数的值域】 例12-1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 例12-2．若函数的值域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式12-2】若函数的值域为，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型13 判断函数相等】 例13．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【题型14 函数新定义】 例14．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式14-1】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过的最大整数，例如，.定义符号函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2025·云南·模拟预测）定义.若函数，则关于的方程的根为（    ） A．1 B． C．2 D．11 【变式14-3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．  B．  C．  D．   2．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）若函数的定义域为，值域为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江杭州·开学考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 二、多选题 6．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江西抚州·期中）已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（   ） A． B．若，则 C．函数的定义域是 D．函数的值域是 三、填空题 8．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知，则 . 9．（24-25高一上·山东济宁·期末）给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 10．（24-25高一上·广西玉林·期末）函数的定义域为，则的定义域为 ． 11．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 12．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 13．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 14．求函数的值域． 15．求函数的值域. 16．求函数的值域． 17．（24-25高一上·新疆阿克苏·期中）求下列函数的定义域或值域： (1)求的定义域； (2)的值域； 18．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知的定义域为，求的定义域． （2）求下列函数的值域： ①； ②． 19．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （2）求函数的值域． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 函数的概念和图象 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：14大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：函数的概念 设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。 知识点2：函数的三要素（定义域、值域、对应关系） 在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。 知识点3：具体函数的定义域问题 具体函数的定义域 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 知识点4：函数相等 两个函数的定义域和对应关系一样，则两个函数相等 知识点5：函数图象的定义 将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点当自变量取遍函数定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合（点集）为即,所有这些点组成的图形就是函数的图象 【题型1 函数关系的判断】 例1-1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 例1-2．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 【变式1-1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（多选）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由函数的定义，对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，即可判断. 【详解】根据函数的定义，在选项A、C、D中的图象中， 对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，所以可以作为函数图象， 选项B中，当 时，有2个 与之对应，不能作为函数图象. 故选：ACD. 【变式1-2】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 【变式1-3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 【题型2 求函数值】 例2-1．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】求出，即可得出的值. 【详解】由题意， 在中，，， 故答案为：. 例2-2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，则（    ） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】B 【分析】直接代入即可. 【详解】令，则. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用换元法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】令，则， 则， 所以， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 【变式2-3】已知，那么＝ ． 【答案】/ 【分析】根据函数解析式代入即可求解. 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为：. 【题型3 己知函数值求参数】 例3．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令，解得， 所以， 因为，所以， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 【变式3-2】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 【变式3-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，且，则实数 ． 【答案】或4或 【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或． 故答案为：或4或 【题型4 具体函数的定义域】 例4．（24-25高一上·河北承德·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数表达式有意义求函数的定义域. 【详解】由题意可得，解得或或． 所以函数的定义域为：. 故选：A 【变式4-1】（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式、根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：且，的定义域为. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得且，所以定义域为． 【题型5 抽象函数及复合函数的定义域】 例5-1．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 例5-2．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，可得， 故函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. 故选：D. 例5-3．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 例5-4．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 【变式5-1】（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 【变式5-2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于函数，根据函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 故函数的定义域为， 故选：C. 【变式5-3】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A 【变式5-4】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式和可得． 【详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：C. 【题型6 已知函数定义域求参数】 例6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由函数特征得到不等式，得到，结合函数的定义域得到方程，求出. 【详解】由题得，解得， 函数的定义域为，故，. 故选：B 【变式6-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【变式6-3】（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 【题型7 换元法求函数值域】 例7．已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】换元后，转化为二次函数问题，求出值域. 【详解】令，则，， ， 当时，取的最小值，最小值为， 则的值域为. 故答案为： 【变式7-1】求函数的值域． 【答案】 【分析】借助换元法可将原函数化为二次函数，结合二次函数的性质计算即可得. 【详解】设，则， 函数可化为，对称轴为， 所以该函数在上单调递减，所以当时，， 所以原函数的值域为. 【变式7-2】求下列函数的值域． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，再根据二次函数相关性质即可求得结果； （2）先求得函数定义域，再求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （2）由题意得：，即， 所以函数定义域为， ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 【变式7-3】时，的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 【题型8 分离常数法求函数值域】 例8．已知函数 ，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】分离常数法求函数的值域. 【详解】定义域为， 因为，所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式8-1】函数，的值域为 . 【答案】 【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域. 【详解】， 因为，所以，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故选： 【变式8-2】函数的值域为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，再根据求解即可. 【详解】， 因为， 所以，，. 所以的值域为. 故答案为： 【题型9 判别式法求函数值域】 例9．函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】 由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 【变式9-1】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用判别式法即可求出函数的值域. 【详解】由题知函数的定义域为， 所以，将整理得， 所以，当时，； 当时，，解得， 所以，，即函数的值域是 故答案为： 【变式9-2】函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用判别式法即可求出函数的值域. 【详解】解：， 因为 所以函数的定义域为 令，整理得方程： 当时，方程无解； 当时， 不等式整理得： 解得： 所以函数的值域为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求值域的常见方法 单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二次函数的值域；利用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域. 【变式9-3】函数在上的值域是 . 【答案】 【分析】将函数变形为，当时，；当时，，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解. 【详解】函数， 当时，； 当时，， 根据对勾函数的性质可知： 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 综上所述，函数在上的值域是. 故答案为： 【题型10 基本不等式法求函数值域】 例10．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由可得， 当时，故，当且仅当时等号成立， 而恒成立，故， 故的值域为， 故选：C 【变式10-1】求函数的值域 【答案】 【分析】根据题意，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以，，当且仅当，即时等号成立， 所以，函数的值域为. 【变式10-2】（1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）函数化成，结合均值不等式分别判断、的最值，从而得出值域. （2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题. 【详解】（1），， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为； （2）函数定义域为，令 ，则，故函数值域为 【题型11 根据值域求参数的值或者范围】 例11．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 【变式11-1】已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质，结合定义域与值域的概念可以得到实数m的取值范围. 【详解】函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增， 时时， 函数的部分图象及在上的图象如图所示. 所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是， 故选：B. 【变式11-2】若函数的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】当时，函数的开口向下， 则函数的值域不是，不符合题意. 当时，， 定义域是，值域是符合题意. 当时，函数的值域为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【变式11-3】已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 【答案】 5 5 【分析】可将整理为,因为,由，则，即，则关于y的一元二次方程的两根为1和9，利用韦达定理求解；同时,时也成立. 【详解】由,得, 由，得若，则, 即, 由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9, 故有，解得. 当时,也符合题意, ∴. 故答案为：5；5. 【题型12 抽象函数及复合函数的值域】 例12-1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 例12-2．若函数的值域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可推导得到的范围，即为所求值域. 【详解】的值域为，，， 即的值域为. 故选：A. 【变式12-1】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 【变式12-2】若函数的值域为，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数与函数的关系，即可求得值域． 【详解】因为的值域是［1，2］， 而与函数定义不同，值域相同， 所以的值域是［1，2］， 所以的值域为. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数图象的变换及其特征，函数的值域，属于基础题． 【变式12-3】函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据的定义域求出的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出. 【详解】的定义域为， 中，，解得， 即的定义域为，令，则 则， 当时，；当时，， 的值域为. 故选：B. 【题型13 判断函数相等】 例13．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 【变式13-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以A错误；B选项中，与的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B正确；C选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以C错误；D选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以D错误． 【变式13-2】（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 【题型14 函数新定义】 例14．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由，取可求，由，取可求，再取，，可求结论. 【详解】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得， 所以，又， 故， 由，取，， 可得， 故选：D. 【变式14-1】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过的最大整数，例如，.定义符号函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中定义求出、的值，代值计算可得出的值. 【详解】因为，由题意可得，， 故. 故选：D. 【变式14-2】（2025·云南·模拟预测）定义.若函数，则关于的方程的根为（    ） A．1 B． C．2 D．11 【答案】D 【分析】根据新定义列出关于的等式，计算即可. 【详解】由题意可知，的定义域为， 由，得， 即，解得：. 故选：D. 【变式14-3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令找到关键点坐标，作出函数大致图像，由函数图像可以得到函数值域. 【详解】令，解得， 函数大致图像如下： 由图可知，函数， 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据函数的定义，结合图象判断自变量对应函数值的个数，即可得. 【详解】由函数的定义，对于任意自变量只能有唯一函数值与之对应， 结合各图知，A、B、C不符合，D符合. 故选：D 2．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 3．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）若函数的定义域为，值域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求函数的定义域和值域，再求即可. 【详解】由有意义可得， 所以， 所以， 所以函数的定义域， 由，可得， 所以函数的值域 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·浙江杭州·开学考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件通过特值法逐步求出， ，，的值，从而找到的值. 【详解】令，则有，由于，则，故； 令，则有，将已知条件代入，得到，因此； 令，则有； 令，则有； 令，则有. 因此，. 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】D 【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误. 二、多选题 6．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数定义，结合函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的定义可知，只有选项C中，当时，有二个函数值与对应，不符合函数定义， 故选：ABD 7．（24-25高一上·江西抚州·期中）已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（   ） A． B．若，则 C．函数的定义域是 D．函数的值域是 【答案】AD 【分析】根据图象逐项分析即可. 【详解】对A，由图可知，，所以，A正确； 对B，易知直线与的图象有两个交点，所以时，不一定为0，B错误； 对CD，由图可知，函数的定义域为，值域为，C错误，D正确. 故选：AD 三、填空题 8．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知，则 . 【答案】2 【分析】要求的值，需要先找到时的值，然后将其代入已知等式中求解. 【详解】令，则，得. 把代入中， 此时，那么. 故答案为：2. 9．（24-25高一上·山东济宁·期末）给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用函数的定义求解； 【详解】由函数的定义得：，（答案不唯一） 故答案为：，（答案不唯一） 10．（24-25高一上·广西玉林·期末）函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义以及分式的性质即可求解. 【详解】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为： 11．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】要使函数解析式有意义，则，分类讨论即可得出结论. 【详解】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 12．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得不等式对于恒成立，进而结合一元二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式对于恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 13．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将分别代入与的解析式即可得解； （2）利用（1）中结论，将，的值分别代入与的解析式，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）由（1）知， . 14．求函数的值域． 【答案】 【分析】借助换元法可将原函数化为二次函数，结合二次函数的性质计算即可得. 【详解】设，则， 函数可化为，对称轴为， 所以该函数在上单调递减，所以当时，， 所以原函数的值域为. 15．求函数的值域. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为. 16．求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 17．（24-25高一上·新疆阿克苏·期中）求下列函数的定义域或值域： (1)求的定义域； (2)的值域； 【答案】(1)且且； (2). 【分析】（1）根据题意由求解； （2）令，由求解. 【详解】（1）解：由题意得：， 解得且且， 所以函数的定义域为且且. （2）由题意得， 所以， 所以函数的值域是. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知的定义域为，求的定义域． （2）求下列函数的值域： ①； ②． 【答案】（1） ；（2）① ；② ． 【详解】解：（1）在函数中，，则．因此在函数中，，解得，所以函数的定义域为． （2）①函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为． ②函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为． 19．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据的定义域列不等式组求解x，即为的定义域； （2）对所给函数进行常数分离，由可推出该函数的值域. 【详解】（1）由题意得， 所以函数的定义域为． （2），显然． 故函数的值域为． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 【答案】(1)1；1 (2)证明见解析 (3)1098 【详解】（1）解：因为， 所以， ． （2）证明：． （3）解：由（2）知，所以，所以． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$