第12讲 指数（4知识点+5大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第12讲 指数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：n次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 知识点2：根式的概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数 当为奇数时， 当为偶数时， 知识点3：分数指数幂的意义及应用 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 知识点4：实数指数幂的运算性质及应用 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 【题型1 根式的化简求值（一）】 例1．求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】 利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可. 【详解】 （1）； （2）； （3）； （4）. 【点睛】 本题考查利用根式的性质化简计算，考查计算能力，属于基础题. 【变式1-1】计算的值 【答案】 【分析】 利用根式化简及去绝对值，即可得到答案. 【详解】 . 【点睛】 本题考查根式的化简，考查运算求解能力，属于基础题. 【变式1-2】求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 【答案】（1）100；（2）；（3）；（4）. 【分析】 （1）根据偶次根式运算法则可得； （2）根据奇数次根式化简运算可得； （3）根据偶次根式化简法则，考虑即可得解； （4）根据偶次根式化简法则，考虑符号不确定，加绝对值即可得解. 【详解】 （1）； （2）； （3）； （4）. 【点睛】 此题考查根式的计算化简，关键在于准确判定代数式的符号. 【变式1-3】化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）（2）原式（3） 【分析】 将式子化简成含绝对值的式子，再对绝对值内的数进行正负讨论，去绝对值. 【详解】 （1）原式. （2）原式， 当时，原式； 当时，原式. ∴原式 （3）原式 . 【点睛】 本题考查去绝对值的方法、根式的运算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 【变式1-4】化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】 利用根式与分数指数幂的互化，直接进行化简求解. 【详解】 （1）原式； （2）原式； （3）原式. 【点睛】 本题考查分数指数幂与根式的互化，考查运算求解能力，属于基础题. 【题型2 根式的化简求值（二）】 例2．已知，，化简 【答案】 【分析】 由可得，；分别在为奇数和为偶数两种情况下，根据根式运算法则化简可得结果. 【详解】 ， 当为奇数时，原式 当为偶数时，原式 【点睛】 本题考查根式的化简，关键是明确根式有意义的条件： 根指数为奇数，被开方数正负均可，结果的符号与被开方数的符号相同； 根指数为偶数，被开方数非负，结果非负. 【变式2-1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的取值范围，再进行根式化简. 【详解】由题意得，，即， 所以. 故选：B 【变式2-2】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合根式的运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 【题型3 分数指数幂与根式的互化】 例3．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)1 (2). (3) (4) 【分析】根据指数幂公式化简即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 【变式3-2】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）1；（2）；（3）1. 【解析】（1）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （2）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （3）分别将分子分母的根式化简为分数指数幂的形式，进行计算求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 【点睛】此题考查根式与分数指数幂的化简计算，熟练掌握运算法则，准确化简求值. 【变式3-3】（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】结合根式化指数幂和指数的基本运算化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【题型4 指数幂的运算】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【答案】C 【详解】原式． 【变式4-1】（24-25高一上·天津滨海新·期中） 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高一上·重庆·期中）化简： . 【答案】 【分析】利用指数运算性质化简计算即可. 【详解】；； 原式 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·广东深圳·期中） . 【答案】6.4 【分析】根据指数运算即可得到答案. 【详解】原式. 故答案为：6.4. 【题型5 指数幂的化简求值】 例5-1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 例5-2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】． 故选：D. 例5-3．先化简，再求值：，其中：． 【答案】，． 【分析】利用平方差化简后可求代数式的值. 【详解】原式 ， ∵ ∴原式 例5-4．已知，且，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． （注：立方和公式） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得，结合平方差公式求得正确答案. （2）结合指数运算求得正确答案. （3）结合指数运算以及立方和公式求得正确答案. 【详解】（1）因为，且，所以. . （2）. （3）. 【变式5-1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的两根为，（）. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）求出，再利用指数幂运算求值. 【详解】（1）依题意，， 由，得 . （2）由（1）知，. 【变式5-3】化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数的幂的运算可得答案； （2）由，构造出，再由幂的运算法则可得答案. 【详解】（1）原式 ． 当，时， 原式； （2）因为，所以， 所以． 所以． 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林四平·期末）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得①；由得②．得，得． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 4．（24-25高三上·河南开封·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式及指数幂运算求解即可. 【详解】由，则， 所以. 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【详解】原式． 二、多选题 6．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 8．以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据根式运算化简各项即可. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意. 故选：BCD 9．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 【答案】CD 【详解】对于A，偶次根式的结果只能是正数，故A错误；对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，故B错误；对于C，D，根据指数幂的运算法则可知C，D正确． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以A正确；，所以B错误；由可知，，所以，所以C正确；因为，又，所以原式，所以D正确． 三、填空题 11．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【答案】 【分析】化根式为分数指数幂即可列式计算得答案. 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则第5次倒出的纯酒精的升数为 ． 【答案】 【详解】第一次倒出的酒精浓度为1，每次用水填满后的酒精浓度依次为，故每次倒出的纯酒精为，所以第5次倒出的纯酒精为． 13．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知正数、满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用指数运算可得出，利用乘“1”法，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【详解】，则．又，所以，所以． 四、解答题 16．（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)答案见解析 【分析】利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，， 当时，， 所以当时，， 当时，. 17．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） 1；（2） 【分析】根据指数幂的运算法则，进行化简计算即可； 【详解】（1） . （2）因为， 所以， 所以， 所以． 18．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）利用根式和指数幂的运算求解； （2）利用指数幂和平方关系求解. 【详解】解：（1）， ， ； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 所以. 19．（1）计算 （2）化简：. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）化根式为分数指数幂，运用指数的云算法化简求值. 【详解】（1） ； （2）原式. 【点睛】本题主要考查了根式化分数指数幂，指数的运算法则，属于中档题. 20．化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把根式转化为分数指数幂化简即可. （2）（3）分数指数幂的运算法则，结合分母有理化计算即可. （4）多次进行完全平方运算，结合指数幂的运算法则即可求解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4），即， ，，即， ， . 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 指数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：n次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 知识点2：根式的概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数 当为奇数时， 当为偶数时， 知识点3：分数指数幂的意义及应用 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 知识点4：实数指数幂的运算性质及应用 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 【题型1 根式的化简求值（一）】 例1．求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 【变式1-1】计算的值 【变式1-2】求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 【变式1-3】化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 【变式1-4】化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 【题型2 根式的化简求值（二）】 例2．已知，，化简 【变式2-1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则 . 【题型3 分数指数幂与根式的互化】 例3．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3-2】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）. 【变式3-3】（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【题型4 指数幂的运算】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【变式4-1】（24-25高一上·天津滨海新·期中） 【变式4-2】（24-25高一上·重庆·期中）化简： . 【变式4-3】（24-25高一上·广东深圳·期中） . 【题型5 指数幂的化简求值】 例5-1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 例5-2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 例5-3．先化简，再求值：，其中：． 例5-4．已知，且，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． （注：立方和公式） 【变式5-1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知方程的两根为，（）. (1)求的值； (2)求的值. 【变式5-3】化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林四平·期末）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设，那么（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高三上·河南开封·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 二、多选题 6．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 8．以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 12．（25-26高一上·全国·课后作业）从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则第5次倒出的纯酒精的升数为 ． 13．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知正数、满足 ，则 的最小值为 ． 14．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 15．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则 ． 四、解答题 16．（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 17．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值． 18．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，，求的值. 19．（1）计算 （2）化简：. 20．化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$