第10讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（4知识点+10大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第10讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：零点 一般地,一元二次方的根就是二次函数当函数值取零时自变量x的值,即二次函数的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数的零点. 知识点2：二次函数的图象，对应方程的根及零点情况 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 二次函数的零点 有两个相异零点，（） 有两个相等零点 无零点 知识点3：一元二次不等式的定义 像这样只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式. 知识点4：“三个二次“”之间的联系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 R 一元二次不等式的解集 【题型1 求二次函数的零点】 例1．求下列函数的零点： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】由函数零点定义可知，在函数表达式中令解关于方程即可. 【详解】（1）在中令，得， 解得或， 所以函数的零点为. （2）在中令，得， 解得或， 所以函数的零点为. 【变式1-1】求下列函数的零点： (1)； (2). 【答案】 (1)无零点 (2)1 【详解】 （1）在中令，得， 又此方程无解， 所以函数无零点. （2）在中令，得， 解得， 所以函数的零点为1. 【题型2 证明及判断二次函数的零点】 例2-1．求证：二次函数有两个零点. 【答案】证明见解析 【分析】计算得出，可证得结论成立. 【详解】考察一元二次方程. 因为, 所以方程有两个不相等的实数根. 因此，二次函数有两个零点. 例2-2．判断二次函数在区间上是否存在零点. 【答案】存在零点. 【分析】令，由求根公式求根，即函数零点，判断是否在区间上即可. 【详解】令， 由求根公式可得一元二次方程的两个根分别为，. 因为， 所以. 因此，二次函数在区间上存在零点. 【变式2-1】证明：函数没有零点. 【答案】证明见解析 【分析】根据二次函数的性质证明恒成立即可求证. 【详解】, 所以无解， 所以函数没有零点. 【变式2-2】设m为实数，若函数有且只有一个零点，求m的值. 【答案】 【分析】由题知方程只有一个根，即求. 【详解】∵函数有且只有一个零点， ∴方程只有一个根， 则， ∴. 【变式2-3】设m为实数，已知二次函数的两个零点都在区间内，求m的取值范围. 【答案】 【分析】根据二次函数的零点分布可得，解不等式组即可求解. 【详解】二次函数的图象是一条抛物线， 开口向上，对称轴方程为， 若它的两个零点都在区间内， 只需满足 ， 解得. 所以m的取值范围. 【题型3 解不含参的一元二次不等式】 例3．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由可得， 解得或， 故不等式的解集为. （2）由的判别式可知， 的解集为. （3）由可得，解得， 所以不等式的解集为. （4）由可得， 因为的两根为， 所以不等式解为或， 即不等式的解集为. （5）由可得，即， 解得， 所以不等式的解集为. （6）由可得， 即， 解得， 所以不等式的解集为 【变式3-1】解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式3-2】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】根据一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 所以不等式的解集为. （2）由题意可得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由题意可得，解得或， 所以不等式的解集为或. （4）由题意可得，令，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式3-3】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】根据解一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为不等式等价于， 所以解得， 所以不等式的解集为. （2）因为不等式等价于， 所以解得或， 所以不等式的解集为或. （3）因为不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. （4）因为不等式等价于， 所以解得， 所以不等式的解集为. 【题型4 解含参的一元二次不等式】 例4-1．（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 例4-2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知函数， (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求和的值； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次不等式即可； （2）将问题转化为：和是的两个根，由韦达定理列式求解即可； （3）将不等式进行变形，然后通过对进行分类，并对两个根的大小比较，进而分别求出解集，即可得到答案. 【详解】（1） 不等式可化为 又方程的解为或 不等式的解集为 不等式的解集为 （2）关于的不等式的解集为 关于的方程的解为或 解得， （3）不等式即不等式 ①当时，不等式可化为，解得 ②当时，不等式可化为 方程的解为或 若，即时，解得 若，即时，解得 若，即或时 时，解得 时，解得或 综上所述， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【变式4-1】（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【变式4-2】求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）整理不等式后，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）， 解得， 所以不等式的解集为. （2）由得， 即， 当时，即恒成立， 不等式的解集为. 当时，，所以不等式的解集为或. 当时，，所以不等式的解集为或. 【变式4-3】（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （2）由题设有，应用分类讨论求对应解集. 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【题型5 由一元二次不等式的解确定参数】 例5．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用三个二次的关系推得方程有两根为和4，由韦达定理求出，代入所求不等式，求解即得. 【详解】由题意，方程有两根为和4， 故由韦达定理，，解得， 则不等式即，解得或. 故选：D. 【变式5-2】若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由关于的不等式的解集是，分析得到且即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是，所以可知， 所以原不等式可化为 显然是方程的两根， 所以只须，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 【变式5-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理得到，再代入利用基本不等式计算可得. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 【题型6 整数解问题】 例6．（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【详解】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 【变式6-1】若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 【变式6-2】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类时，分别得出解析计算求参. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 【变式6-3】关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围． 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 【题型7 一元二次方程根的分布问题】 例7-1．关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 【答案】 【分析】利用判别式大于零且两根之积小于零列不等式组求解即可. 【详解】因为关于x的方程，有一正根一负根， 所以，即，解得． 故所求实数的取值范围为． 例7-2．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 例7-3．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 【变式7-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-2】关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的分布可得，解不等式组可求得结果. 【详解】设，则，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 【变式7-3】已知是方程的两根，若两根都大于1，求的取值范围． 【答案】. 【分析】利用一元二次方程实根分布求出的范围，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，解得或， ，由，得， 则，即，则，解得， 因此，，当且仅当，即时取等号， 而，所以的最小值为10，即的取值范围是. 【变式7-4】已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． 【题型8 一元二次不等式的实际应用】 例8．（24-25高一上·江苏连云港·期末）近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【答案】(1)实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费， (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义； （2）变形得，再利用基本不等式即可； （3）由题意得到不等式，解出即可. 【详解】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费． 即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费． 当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得： ，则， . （2）， ， 当且仅当，即等号成立，的最小值为. （3）由题可知． 即，解得， 即的取值范围为. 【变式8-1】某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，求的取值范围． 【答案】 【分析】确定提价后每年得销售量，即可表示出年销售额，由此可得代理商向服装公司收取代理费的表达式，由此列不等式求解，即得答案. 【详解】由题意知提价后每年可销售万件， 每件衬衫的价格为元，故年销售额为万元， 则代理商向服装公司收取代理费为万元， 则，且， 整理得，解得， 结合得， 可得的取值范围为. 【变式8-2】在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 【变式8-3】某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． (1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ (2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 【答案】(1)20元 (2)当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元 【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价. （2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价. 【详解】（1）设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶， 所以提价少月销售总利润为万元． 因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润， 所以，即， 所以，所以售价最多为(元)， 故该饮料每瓶售价最多为20元． （2）由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为， 整理得 因为，所以， 所以， 当且仅当时取到等号， 故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元． 【题型9 解分式不等式】 例9-1．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，运用一元二次不等式解法计算即可. 【详解】不等式的解集，等价于, 即，即,解得. 故答案为：. 例9-2．（24-25高一上·北京·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由. 故选：B 【变式9-1】不等式的解集为 ． 【答案】，或 【分析】先移项、通分，再转化为整式不等式求解即可. 【详解】由得，，通分得， 此不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为，或 故答案为：，或 【变式9-2】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式化成和它等价的整式形式，求解即可. 【详解】即 原不等式可化为， 解得. 故答案为： 【变式9-3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用分式不等式解法即可求得结果. 【详解】等价于，即， 得到,解得：， 故不等式的解集为. 故答案为： 【题型10 解高次不等式】 例10．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】将分式不等式等价转化为高次不等式，求解即可，注意分母不为0. 【详解】由题意，且， 所以，利用穿针引线法，在数轴上标根如下图：解得：不等式的解集为. 故答案为：. 【变式10-1】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】将所求不等式变形为，利用“穿针引线”法可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 【变式10-2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由高次不等式奇穿偶回的性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 即， 由高次不等式的性质可知： 不等式解集为：. 故答案为：. 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集. 【详解】由， 可得， 所以 方程的根为， 由数轴标根法可得. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】原不等式即为，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 2．下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式、分式不等式及一元二次不等式解法求解判断即可. 【详解】由，则，解得. 对于A，由，则，解得； 对于B，由，则，解得； 对于C，由，则，解得或； 对于D，由，则，解得. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数和的图象如图，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的图象知，当时，，当时，.由的图象知，当时，，当时，.故当时，，；当时，；当时，.因此，不等式的解集为. 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】设方程的两个实数根为，结合根的判别式和韦达定理求解即可. 【详解】设方程的两个实数根为， 则，即， 且， 由题意，得， 则，解得（舍去）或. 故选：C. 5．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 二、多选题 6．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择. 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 7．（24-25高一上·山西晋城·期中）已知是方程的两个根，其中，不等式的解集是，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可判断AC正确，再由根与系数关系可判断B正确，D错误. 【详解】不等式的解集是，其中，所以， 且是一元二次方程的解， 所以， 所以，故A，C正确； 又因为，所以D错误； 又方程的解是1和，且不等式的解集为， 所以，B正确. 故选：ABC. 8．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A选项，根据一元二次不等式解集与方程根的关系来确定参数的值，再验证等式. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，得到方程有一个根，借助根的判别式，得到，关系式，化简式子，再求最值即可. 对于C选项，先根据已知条件得到与的关系，再利用换元数学方法，结合基本不等式求式子的最大值. 对于D选项，根据不等式的解集以及已知条件确定的取值范围. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或， 则和是两根. 由韦达定理， ， 解得，. 则，所以A选项正确. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，则方程有一个根，所以判别式，即，可得. 把代入得： 所以当时，取得最大值.所以B选项错误. 对于C选项，若，则，即. 令，则. 所以. 令，则. 对求最大值，. 根据均值不等式，当且仅当时取等号. 所以，所以C选项正确.   对于D选项，当时，. 因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令， 则的解集中有且仅有三个正整数,所以,的解集为, 所以的解集中有且仅有三个正整数，，， 则，解得，所以D选项正确. 故选：ACD. 9．（24-25高一下·河南·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A．可能为空集 B．中可能只有一个元素 C．若，则中的元素为负数 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据根的判别式即可判断AB；由，求出集合即可判断C；由，结合C选项，列出不等式即可判断D. 【详解】对于A，由题意得， 则不可能为空集，A错误； 对于B，由，得， 当，即时，，得，则，B正确； 对于C，当，即时，，C正确． 对于D，当，即时，， 因为，所以，得，D正确． 故选：BCD. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合. 三、填空题 11．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】化不等式的右边为0 ，通分并转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式，则， 解得或，所以原不等式的解集为. 故答案为： 12．不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】首先将分式不等式等价转换为，且，利用数轴“穿针引线”法即可求解. 【详解】原不等式等价于，且 分别令各个因式为0，可得根依次为，2， 利用数轴“穿针引线”法可得不等式的解集为或． 故答案为：或. 13．（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 14．已知方程的两个根满足，则m的值是 . 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系可得，结合已知可得，求解即可. 【详解】因为的两根为，所以， 又因为，所以， 所以，解得，检验可得， 所以. 故答案为：. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为 ． 【答案】2 【详解】依题意，，解得，即实数的最小值为2． 四、解答题 16．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)设，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) (5)或 (6)答案见解析 【详解】解：（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，方程的两根分别为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （3）原不等式为，整理得．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （4）不等式可化为．因为方程的两根为，．又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集是． （5）原不等式等价于不等式组不等式①可化为，解得或．不等式②可化为，解得．故原不等式的解集为或． （6）①当时，不等式可化为，原不等式的解集为． ②当时，方程的两根分别为2和．a．当时，解不等式得，故原不等式的解集为；b．当时，不等式无解，故原不等式的解集为；c．当时，解不等式得，故原不等式的解集为．综上所述，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为． 方法总结  1．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 2．对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 核心笔记1．解不含参的一元二次不等式有以下3种方法（先化为标准式）． （1）因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；（第2，5题） （2）配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．（第1，7题） 2．分式不等式的解法（第6题） （1）； （2）且． 3．解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论．（第3，5，9题） （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； （2）关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根；（第3题） （3）关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，．（第5，13（6）题） 4．三个“二次”之间的关系（第7，8，10，13题） （1）一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，也是相应的一元二次不等式解集的端点值； （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应的二次函数的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定的系数．（第4，6，8，11题） 5．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在上恒成立的问题． 设，则恒成立，；恒成立，；恒成立，；恒成立，． 若未说明不等式是否为一元二次不等式，则先讨论的情况．（第3，12题） 17．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 18．（2025高一·全国·专题练习）已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到，利用，所以解此方程得到，然后根据都大于1确定k的值． 【详解】根据题意得, ∵ ∴， ∴ ∴ 整理得 ,解得 当时,原方程为,解得 (不符合条件舍去)， 当时,原方程为,解得 符合题意； ∴k的值为7. 19．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知关于的不等式. (1)当不等式的解集为时，求的值； (2)若且不等式恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由方程根与系数的关系求解即可； （2）由一元二次不等式恒成立得到，再由基本不等式的乘“1”法可求. 【详解】（1）由题意可知：为方程的根， 或， . （2）不等式恒成立， ，即，. （当且仅当时取等号）， 的最小值为4. 20．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解不等式，可得其解集； （2）利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，利用韦达定理可得出关于的函数关系式，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，解得或， 所以，当时，不等式的解集为. （2）关于的方程有两个不相等的正实数根、， 所以，，解得， 因为， 因为，则，故. 故的取值范围为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：零点 一般地,一元二次方的根就是二次函数当函数值取零时自变量x的值,即二次函数的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数的零点. 知识点2：二次函数的图象，对应方程的根及零点情况 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 二次函数的零点 有两个相异零点，（） 有两个相等零点 无零点 知识点3：一元二次不等式的定义 像这样只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式. 知识点4：“三个二次“”之间的联系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 R 一元二次不等式的解集 【题型1 求二次函数的零点】 例1．求下列函数的零点： (1)； (2)； 【变式1-1】求下列函数的零点： (1)； (2). 【题型2 证明及判断二次函数的零点】 例2-1．求证：二次函数有两个零点. 例2-2．判断二次函数在区间上是否存在零点. 【变式2-1】证明：函数没有零点. 【变式2-2】设m为实数，若函数有且只有一个零点，求m的值. 【变式2-3】设m为实数，已知二次函数的两个零点都在区间内，求m的取值范围. 【题型3 解不含参的一元二次不等式】 例3．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3-1】解下列一元二次不等式 (1) (2) 【变式3-2】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 解含参的一元二次不等式】 例4-1．（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 例4-2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知函数， (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求和的值； (3)解关于的不等式. 【变式4-1】（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【变式4-2】求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： (1)； (2)． 【变式4-3】（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【题型5 由一元二次不等式的解确定参数】 例5．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式5-2】若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【题型6 整数解问题】 例6．（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 一元二次方程根的分布问题】 例7-1．关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 例7-2．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7-3．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【变式7-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【变式7-2】关于的方程有两个不相等的实数根且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知是方程的两根，若两根都大于1，求的取值范围． 【变式7-4】已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【题型8 一元二次不等式的实际应用】 例8．（24-25高一上·江苏连云港·期末）近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【变式8-1】某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，求的取值范围． 【变式8-2】在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【变式8-3】某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． (1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ (2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 【题型9 解分式不等式】 例9-1．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 例9-2．（24-25高一上·北京·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【变式9-1】不等式的解集为 ． 【变式9-2】不等式的解集为 ． 【变式9-3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集是 . 【题型10 解高次不等式】 例10．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集是 ． 【变式10-1】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 【变式10-2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）不等式的解集为 ． 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 一、单选题 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数和的图象如图，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 7．（24-25高一上·山西晋城·期中）已知是方程的两个根，其中，不等式的解集是，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 9．（24-25高一下·河南·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A．可能为空集 B．中可能只有一个元素 C．若，则中的元素为负数 D．若，则 10．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集为 ． 12．不等式的解集为 . 13．（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 14．已知方程的两个根满足，则m的值是 . 15．（25-26高一上·全国·课后作业）我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为 ． 四、解答题 16．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)设，解关于的不等式． 17．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 18．（2025高一·全国·专题练习）已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值． 19．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知关于的不等式. (1)当不等式的解集为时，求的值； (2)若且不等式恒成立，求的最小值. 20．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$