第09讲 基本不等式（含权方和不等式及基本不等式链）（6知识点+12大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

表示第09讲 基本不等式 （含权方和不等式及基本不等式链） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：两个正数的算术平均数与几何平均数 ，其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数 知识点2：基本不等式 ，称为基本不等式，当且仅当时取等号 知识点3：几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式：（，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. （5）对勾函数型 知识点4：基本不等式求最值 （1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记为：积定和最小）. （2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）. 知识点5：基本不等式链 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 知识点6：权方和不等式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决考试中的这类型最值问题的秒杀) 【题型1 直接用基本不等式求和的最小值】 例1-1．（24-25高一上·江苏·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 例1-2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【变式1-1】）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【题型2 直接用基本不等式求积的最大值】 例2．已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-1】若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【变式2-2】函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2-3】已知x，，若，则（    ） A． xy的最大值为1 B．xy的最大值为2 C．xy的最小值为1 D．xy的最小值为2 【题型3 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值】 例3-1．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 例3-2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 例3-3．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例3-4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·陕西·期末）设，，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式3-2】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【变式3-4】（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3-5】（24-25高一上·河北·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 换元法求最值】 例4-1．若实数 满足，则的最大值为 A． B． C． D． 例4-2．已知正实数满足且，则的最小值为 【变式4-1】已知，，，则的最大值为 ． 通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【变式4-2】设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【变式4-3】已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【变式4-4】已知实数、满足，则的最小值为 ． 【题型5 二次与二次（一次）的商式求最值】 例5-1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 例5-2．已知实数，则的最大值为 ． 【变式5-1】若，则的最小值为 . 【变式5-2】函数的值域是 ． 【变式5-3】函数在上的最大值为 ． 【题型6 两次应用基本不等式求最值】 例6．已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【变式6-1】对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 【变式6-2】已知的最小值为 . 【变式6-3】已知，，，则的最小值为 ． 【题型7 条件等式变形求最值】 例7-1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例7-2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为 【变式7-1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【变式7-2】（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【变式7-3】（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】已知实数、满足，则的最小值为 ． 【题型8 基本不等式链的应用】 例8．若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型9 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围】 例9-1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9-2．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【变式9-2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-4】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型10 利用基本不等式证明不等式】 例10．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【变式10-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 【变式10-2】已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【变式10-3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【题型11 基本不等式的实际应用】 例11-1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 例11-2．（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【变式11-1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【变式11-2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【变式11-3】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【题型12 权方和不等式（拓展）】 例12．已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 【变式12-1】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【变式12-2】已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式12-3】已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 一、单选题 1．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（24-25高一下·云南临沧·阶段练习）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 7．（24-25高一上·广东广州·期末）已知（a，b，），且，则（   ） A． B．存在a，c使得 C．不存在a，c使得 D． 8．（24-25高一上·四川宜宾·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）若正实数p，q满足，则（   ） A．pq的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是6 10．（24-25高一上·山东烟台·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 11．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 12．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）函数，当时取最大值1，则的值为 ． 四、解答题 16．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 17．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）（1）已知，求证：. （2）设均为正实数，求证：． 18．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值． 19．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 20．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 表示第09讲 基本不等式 （含权方和不等式及基本不等式链） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：12大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：两个正数的算术平均数与几何平均数 ，其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数 知识点2：基本不等式 ，称为基本不等式，当且仅当时取等号 知识点3：几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式：（，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. （5）对勾函数型 知识点4：基本不等式求最值 （1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记为：积定和最小）. （2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）. 知识点5：基本不等式链 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 知识点6：权方和不等式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决考试中的这类型最值问题的秒杀) 【题型1 直接用基本不等式求和的最小值】 例1-1．（24-25高一上·江苏·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 例1-2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 【变式1-1】）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意知，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【变式1-2】若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：C. 【变式1-3】已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 【题型2 直接用基本不等式求积的最大值】 例2．已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 【变式2-1】若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 【变式2-2】函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 【变式2-3】已知x，，若，则（    ） A． xy的最大值为1 B．xy的最大值为2 C．xy的最小值为1 D．xy的最小值为2 【答案】A 【分析】利用重要不等式求解. 【详解】由不等式可知，，所以， 当且仅当时取得等号，所以xy的最大值为1，A正确，B错误； 由不等式可知，，所以， 当且仅当或时取得等号， 所以xy的最小值为，CD错误； 故选:A. 【题型3 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值】 例3-1．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 例3-2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 例3-3．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】将已知变形为，再利用基本不等式乘“1”的方法求最值. 【详解】． ． 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 例3-4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一上·陕西·期末）设，，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意利用“1”代换，结合基本不等式运算求解. 【详解】，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A. 【变式3-2】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】利用“1”的妙用结合基本不等式可求最小值. 【详解】，，， 当且仅当，即，时等号成立， 因此所求最小值为， 故选：B. 【变式3-4】（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 【变式3-5】（24-25高一上·河北·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得.再将变形为，利用基本不等式“1”的代换即可求出最小值. 【详解】，，即. ，即. ， 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 【题型4 换元法求最值】 例4-1．若实数 满足，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【法一】试题分析：由实数 满足，，设，解得， 则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为 【法二】解：令， 则 ， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”，故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，换元思想以及转化思想，是一道中档题．应用基本不等式时要注意“一正二定三相等”. 例4-2．已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 故答案为： 【变式4-1】已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】 通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 【变式4-2】设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令，则，且，， 又， 而， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立. 【变式4-3】已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【详解】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 【变式4-4】已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值 【题型5 二次与二次（一次）的商式求最值】 例5-1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 例5-2．已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 【变式5-1】若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 【变式5-2】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 【变式5-3】函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 【题型6 两次应用基本不等式求最值】 例6．已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先化简提公因式再应用，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可. 【详解】由条件知 ，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18． 故答案为：18. 【变式6-1】对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意将原式整理成，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可求得当，时的最小值为. 【详解】由正实数，且可得 ; 当且仅当时，即时，等号成立； 又， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当，时，等号成立，此时的最小值为. 故答案为： 【变式6-2】已知的最小值为 . 【答案】 【详解】由，得到，所以， 则， 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件变形为，再利用基本不等进行求解. 【变式6-3】已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解得，再根据取等号的条件可得，判断出的范围，进而判断得的范围，可得，可得所求最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取“＝”， 此时，∵，， ∴，∴，∴， ∴原式，此时，，． 故答案为： 【点睛】求解本题的关键是将原式变形为，根据基本不等式求最值，由取等号的条件，化简得，从而求解 【题型7 条件等式变形求最值】 例7-1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，得出的表达式再由基本不等式计算可得结果. 【详解】由得， 即， 当且仅当，取到等号， 故选：C. 例7-2．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为 【答案】 【分析】设，则利用基本不等式计算可得. 【详解】设，因为， 所以 ， 令，解得或（舍去）， 因此，即，当且时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 【变式7-1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 【变式7-2】（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 /0.4 【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，将化为，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】由,可得， 当且仅当，即时取到等号, 即的最大值为； ，可得， 当且仅当，即或时取到等号， 即的最小值为； 故答案为：； 【变式7-3】（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简再应用基本不等式计算求解. 【详解】由， 又因为，所以， 即得， 所以当且仅当时取等号， 所以，所以的最大值是 故选：B. 【变式7-4】已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 【题型8 基本不等式链的应用】 例8．若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 由基本不等式链: , 可得（R）， 对于AB 由可变形为，， 解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 对于C 【法一】由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 【法二】由 ,得 , 又因为 ,所以 ,即 . 【法三】 , 又因为 ,所以 . 【答案】：BC． 【变式8-1】（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可得出选项A、B、D正确，选项C，取特殊值即可排除. 【详解】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误， 故选：ABD. 【变式8-2】若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D. 【详解】对于A，由，可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以可得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：D． 【变式8-3】（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解. 【详解】解：对A选项：，，， ，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确； 对B选项：，而成立， 成立，故B选项正确； 对C选项：， （当且仅当时等号成立），故C选项正确； 对D选项：，（当且仅当时等号成立）， ，故D选项错误. 故选：ABC. 【变式8-4】（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可判断ABC；将题设配方可得，结合进行求解即可判断D. 【详解】对于A，由 当且仅当时等号成立，即，故A错误； 对于B，由，得， 即， 当且仅当时等号成立，即，故B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时等号成立，即，故C正确； 对于D，由，得， 即，即，故D正确. 故选：BCD. 【题型9 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围】 例9-1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 例9-2．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 【变式9-1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，满足（为常数），若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式，得到，再由，结合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由，且，可得，当且仅当时等号成立， 又由， 因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式9-4】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果. 【详解】当，时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 所以，即． 故选：A. 【题型10 利用基本不等式证明不等式】 例10．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 【变式10-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对分别应用基本不等式求解即可. 【详解】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 【变式10-2】已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先将证明的式子进行化简，运用已知条件，基本不等式“1”妙用即可计算证明. 【详解】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立. 【变式10-3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 【题型11 基本不等式的实际应用】 例11-1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【答案】(1)育苗区的长为，宽为； (2) 【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）依题意，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 例11-2．（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 【变式11-1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)m时，取得最小值1200. 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【详解】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 【变式11-2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【变式11-3】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 【题型12 权方和不等式（拓展）】 例12．已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 因为，所以 由权方和不等式 可得 当且仅当，即时，等号成立． 【答案】C 【变式12-1】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可得. 【详解】由于，，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【变式12-2】已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解. 【详解】，， ， ， 当且仅当，且，即时等号成立， 的最小值为. 故选：A 【变式12-3】已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对关系式进行恒等变换, 进一步整理得 , 最后利用基本不等式的应用求出结果. 【详解】已知正数 满足 , 所以 ,所以: 则: ，当且仅当时，取等号； 要使 恒成立, 只需满足 即可, 故 . 故答案为: . 一、单选题 1．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，当且仅当，即时取等号．故当时，的取值范围是． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】依题意有，当且仅当时取等号． 4．（24-25高一下·云南临沧·阶段练习）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式变形得出，令，，可得出且，，代入，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意知，所以．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 二、多选题 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AB 【分析】根据基本不等式以及函数关系，可得答案. 【详解】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 7．（24-25高一上·广东广州·期末）已知（a，b，），且，则（   ） A． B．存在a，c使得 C．不存在a，c使得 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式逐项推理判断即可. 【详解】对于A，由，，得，则，A正确； 对于B，由，，得，则，， 若存在，使得，则，与已知相矛盾，B错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一上·四川宜宾·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过对已知条件进行变形，利用均值不等式来分析，，的取值范围，进而判断各个选项的正确性. 【详解】已知，因为，那么. 设（），则，移项得到. 因为，即，也就是，两边平方可得，所以A选项正确、B选项错误. 由可得，因为，所以，当且仅当时取等号，所以C选项正确. 根据完全平方公式，由前面可知，. 那么，当且仅当时取等号，所以D选项正确. 故选：ACD. 9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）若正实数p，q满足，则（   ） A．pq的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是6 【答案】BCD 【分析】AB均利用求解即可；C利用1的代换，即再利用基本不等式；D利用消元，求一元二次函数的最值. 【详解】由题意知 ，，且 对于A，由，解得，当且仅当，时等号成立，则pq的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C ，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是，故C正确． 因为，所以 ， 因为，所以，当，时等号成立，D选项正确. 故选：BCD 10．（24-25高一上·山东烟台·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 三、填空题 11．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据题意得出；再根据均值不等式求出即可得出结果. 【详解】因为，恒成立， 所以． 又因为， 所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 12．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【分析】先根据求得和的关系式，进而代入到利用均值不等式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 14．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式的应用求解即可. 【详解】 ， ，当且仅当时，等号成立， 可得， 时取最大值， 故的最大值为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）函数，当时取最大值1，则的值为 ． 【答案】3 【详解】函数．因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，则，解得，所以． 四、解答题 16．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 17．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）（1）已知，求证：. （2）设均为正实数，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可得证； （2）由，结合基本不等式，得到，进而得证. 【详解】（1）证明：由 ， 当且仅当时，等号成立， 所以. （2）证明：由 因为均为正实数，所以， 当且仅当时，等号同时成立， 所以， 所以 18．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值． 【答案】最大面积为， 【分析】设，根据题设条件可得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，矩形的周长为，且，则， 设，则，又为直角三角形， 所以，整理得到，则， ， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，时，取等号，满足， 故，时，取最大面积为. 19．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②，最小值. 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，则，再利用①求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值. （2）①因为，所以， 因为 ， 当且仅当且同号时取等号，此时满足， 所以. ②令，所以， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： 当且仅当且时，即取等号， 解得时，取最小值. 20．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由得，由x，y为正数得． （2）由得，利用基本不等式求最值即可. （3）由得，化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴． （2）∵，∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为． （3）∵， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$