第08讲 不等式的基本性质（3知识点+7大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第08讲 不等式的基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么； 知识点2：不等式的基本性质 性质1 对称性 性质2 传递性 性质3 可加性 性质4 可乘性 ， 性质5 同向可加性 性质6 同向同正可乘性 性质7可乘方性 性质8可开方性 【拓展：糖水不等式】 若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．　 知识点3：作差法/作商法比较大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； ； 另外，若，则有；；. 【题型1 解不等式，并用不等式的性质说明】 例1．解不等式：，并用不等式的性质说明理由. 【变式1-1】解不等式，并用不等式的性质说明理由. 【变式1-2】解不等式，并用不等式的性质说明理由. 【题型2 用不等式的性质判断式子大小关系】 例2-1．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 例2-2．（多选）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】（24-25高一下·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【变式2-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 用不等式的性质求不等式的范围】 例3-1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3-2．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式3-3】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 用不等式的性质证明不等式】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【变式4-1】已知，且，求证： 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【变式4-3】（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【题型5 作差法比较大小】 例5-1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 例5-2．设，，，则P与Q的大小关系是P Q. 【变式5-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课后作业）设，，，则，，，的大小顺序是 ． 【变式5-3】设a＞b＞0，若x，y则x，y的大小关系是 （用”＜”号连接） 【题型6 作商法法比较大小】 例6-1．设，比较与的大小 例6-2．已知，试比较和的大小. 例6-3．已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【变式6-1】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【变式6-2】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【变式6-3】若，则、、、中最小的是 . 【变式6-4】，则的大小关系为 ． 【题型7 糖水不等式及其应用】 例7．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【变式7-1】已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定不成立的有（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·河南周口·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则M与N的大小关系是 ． 四、解答题 11．（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 13．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 14．（24-25高一·上海·课堂例题）叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a元、b元、c元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是哪位老师？请写出理由的关键不等式． 15．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数，求证：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 不等式的基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么； 知识点2：不等式的基本性质 性质1 对称性 性质2 传递性 性质3 可加性 性质4 可乘性 ， 性质5 同向可加性 性质6 同向同正可乘性 性质7可乘方性 性质8可开方性 【拓展：糖水不等式】 若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞，(b－m＞0)；＞；＜，(b－m＞0)．　 知识点3：作差法/作商法比较大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； ； 另外，若，则有；；. 【题型1 解不等式，并用不等式的性质说明】 例1．解不等式：，并用不等式的性质说明理由. 【答案】，理由见解析 【分析】根据题意结合不等式的性质运算求解. 【详解】去分母得.（性质4） 去括号得. 移项得.（性质3） 合并同类项得，即. 系数化为1，得.（性质4） 【变式1-1】解不等式，并用不等式的性质说明理由. 【答案】解集为，理由见解析. 【分析】将原不等式变形得出，再利用不等式的基本性质可解此不等式. 【详解】由移项得，在所得不等式两边同乘以可得. 故原不等式的解集为. 【变式1-2】解不等式，并用不等式的性质说明理由. 【答案】，理由见解析 【分析】利用不等式的性质求解即可 【详解】给，两边同乘以，得（不等式的性质4）， 即， 两边同时加，得（不等式的性质3）， 即（不等式的性质1）， 两边同乘以，得（不等式的性质4）， 所以不等式的解集为 【题型2 用不等式的性质判断式子大小关系】 例2-1．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【详解】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 例2-2．（多选）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 【变式2-1】（24-25高一下·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一上·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对于AＣＤ，由做差法与题意可判断选项正误； 对于B，由不等式性质可判断选项正误． 【详解】对于A，，因，则， 又，则，故A错误； 对于B，由不等式同向可加性可知，当时，，故B正确； 对于C，，因，则，又， 则，故C正确； 对于D，，因，则， ，则， 故D正确． 故选：A 【变式2-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可. 【详解】，所以B正确； 当时，满足， 但，所以A，C； ,故D正确. 故选：BD 【题型3 用不等式的性质求不等式的范围】 例3-1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 例3-2．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用表示，利用不等式的性质求的范围. 【详解】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，进一步根据不等式的性质即可求解. 【详解】因为，，所以，， 所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 【题型4 用不等式的性质证明不等式】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 【变式4-1】已知，且，求证： 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合综合法，即可得证. 【详解】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【变式4-3】（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明；方法四：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法五：构造一次函数， 证明对于，都有即可； （2）方法一：由，利用，即可证明； 方法二：由，利用，即可证明； 方法三：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法四：构造一次函数，，证明对，都有即可. 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 方法三：几何法 做边长为的正方体．分别在棱上取点，使得， 过做平面，过做平面，过做平面，交点见图． 长方体的体积， 长方体的体积． 长方体的体积． 正方体的体积． ． 方法四：设． 将看做内的常数，对于一次函数， 有， ． ∴对于，都有， 即． ． 【题型5 作差法比较大小】 例5-1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，所以，，所以， 所以. 故答案为： 例5-2．设，，，则P与Q的大小关系是P Q. 【答案】 【分析】用作差的方法比较大小，对根式进行分子有理化，利用不等式的性质即可得出结果. 【详解】 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小和不等式的基本性质的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 【变式5-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课后作业）设，，，则，，，的大小顺序是 ． 【答案】 【分析】方法一：利用特殊值法，方法二：作差法，两两作差比较大小. 【详解】方法一：特殊值法  取，，，， 则，，，，则． 方法二：作差法 因为，，，所以， 所以， 所以． 因为，，， 所以，， 所以，，所以． 或，所以． ，所以． 所以． 故答案为： 【变式5-3】设a＞b＞0，若x，y则x，y的大小关系是 （用”＜”号连接） 【答案】x＜y． 【分析】先证明x＞0，y＞0，再平方作差比较可得x2﹣y2＜0，进一步可得x＜y．x＜y． 【详解】因为a＞b＞0，所以，a-b＞0， 所以x＞0，y＞0， ， ＝＝ ＝＝ ∵a＞b＞0，∴＜0， ∴x2﹣y2＜0，所以x＜y， 故答案为：x＜y． 【点睛】本题考查了作差比较大小，考查了不等式的性质，属于基础题. 【题型6 作商法法比较大小】 例6-1．设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 例6-2．已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 例6-3．已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数的性质，结合，即可得证； （2）由对正数和，证得，进而得到，两端次方，即可得证. 【详解】（1）证明：因为，，都是正数且，，可得， 所以，也是正数． 又因为， 即得． （2）证明：由于对正数和，可得， 故，则， 从而， 两端次方得． 【变式6-1】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【答案】aabb>abba 【详解】 ∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴ aabb>abba. 【变式6-2】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【变式6-3】若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 【变式6-4】，则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 【题型7 糖水不等式及其应用】 例7．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得 【变式7-1】已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定不成立的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，进而根据依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A选项，由题意可知，故正确； 对于B选项，因为，所以，故正确； 对于C选项，由可得，进而得，故错误； 对于D选项，，故正确. 故选：C 【变式7-2】（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有: 【法二】，故B正确； 【答案】BCD 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，由，得，，要证，则需证，即，这显然成立，故①正确；对于②，由，得，由①知，②正确；对于③，当，时，显然不成立，所以③错误；对于④，当，时，有，④错误． 3．（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【答案】B 【分析】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案. 【详解】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，知可得，可推出，反向推不出，故A满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故B不满足题意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故D不满足题意. 二、多选题 6．（24-25高一上·河南周口·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法可判断A，D，利用不等式性质可得，进而分析可得，可判断B；利用不等式性质可得，可判断C. 【详解】对于A，D，取，则，故A，D错误； 对于B，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 结合B选项的分析，可得，所以，故C正确． 故选：BC. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 8．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；利用不等式性质推理判断B；作差判断C. 【详解】由，得， 对于A，当时，，A错误； 对于B，由不等式的性质，得，B正确； 对于C， ，则，C正确； 对于D，当时，满足条件，但，D错误. 故选：BC 三、填空题 9．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 【答案】 【分析】平方计算判断大小. 【详解】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 四、解答题 11．（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】 ， 所以，当且仅当时取等号. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：因为，所以．又，所以，所以，所以．又，所以． （2）解：因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是． （3）解：由，得．又，所以，即．故的取值范围是． 13．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 14．（24-25高一·上海·课堂例题）叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a元、b元、c元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是哪位老师？请写出理由的关键不等式． 【答案】叶老师， 【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可. 【详解】叶老师的平均价格为， 王老师的平均价格为， 于是有： ， 因为每次打的酱油价格都不相同，所以a、b、c互不相等， 所以， 即 所以叶老师的平均价格更低． 故平均价格较低的是叶老师， 理由的关键不等式为． 15．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知条件及不等式的性质证明即可. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 综上，. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$