专题05 函数的概念及其表示、分段函数（八大考点精讲）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题05 函数的概念及其表示、分段函数 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点一、函数的概念 2 知识点二、函数三要素 2 知识点三、分段函数 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 函数的概念 4 重难点题型2 求具体函数的定义域 6 重难点题型3 求抽象函数的定义域 8 重难点题型4 判断函数为同一（或相等）函数 9 重难点题型5 函数的表示法（求解析式） 12 重难点题型6 求函数值域 17 重难点题型7 由函数的定义域或值域求参数 20 重难点题型8 分段函数 23 四、突破热点题型 26 知识点一、函数的概念 （1）、一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）、函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 知识点二、函数的三要素 1．求函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： （1）、分式的分母不为零； （2）、偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）、零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）、已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （5）、对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2．求函数的解析式 (1) 、表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． (2) 、函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (3) 、求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．、求函数的值域 （1）、的值域是． （2）、的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）、的值域是． 知识点三、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 重难点题型1 函数的概念 例1.（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 例2.（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（多选题）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断、区间的定义与表示 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 1.（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别、抽象函数的定义域、抽象函数的值域 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 2.（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选题）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 重难点题型2 求具体函数的定义域 例3.（24-25高一上·广东广州·月考）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由求解即可. 【详解】 故定义域为， 故答案为： 例4.（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据分式、根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：且，的定义域为. 故选：D. 1.（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组，进而求得函数的定义域，得到答案. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 2.（2025高二下·湖南娄底·学业考试）函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 重难点题型3 求抽象函数定义域 例5.（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 例6.（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【详解】由函数的定义域为得，解得． 2.（24-25高二下·天津河东·月考）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数的定义域求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为. 故答案为： 重难点题型4 判断函数为同一（或相等）函数 例7.（24-25高一上·四川德阳·期中）（多选题）与函数是同一函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】定义域和对应法则均相同的两函数为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，与定义域和对应法则均相同，为同一函数，A正确； B选项，定义域为，的定义域为R，定义域不同，B错误； C选项，，故定义域和对应法则均相同，为同一函数，C正确； D选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，D错误. 故选：AC 例8.（24-25高一下·河北保定·周考）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 1.（24-25高一上·广东·期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】两函数定义域和对应法则均一致，才是同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，的定义域和对应法则均一致，A正确； B选项，的定义域为的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，，故两函数的定义域和对应法则均一致，C正确； D选项，的对应法则不一致，D错误. 故选：AC 2.（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误. 故选：B. 重难点题型5 函数的表示法（求解析式） 例9.（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 例10.已知是二次函数，且，，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的解析式 【分析】设，由，，可得，结合多项式相等的充要条件，求出，，的值，可得答案． 【详解】设， ，， 即 即， 解得：， 故， 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． 例11.已知函数满足，则函数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】构造关于的方程组后可解得. 【详解】由题知用代换得到，， 与两式联立，消去， 解得． 故答案为：. 例12.（23-24高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的解析式 【分析】（1）利用换元法，可求得函数解析式； （2）利用待定系数法，即可求得答案. 【详解】（1）令，则， 所以由， 得， 所以； （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以. 1.已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】令，利用换元法求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以． 故选：B． 2.已知，且为一次函数，求 【答案】或. 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设，求出的表达式，根据已知条件列方程，由对应系数相等列方程组即可求得和的值即可求解. 【详解】因为为一次函数，所以设， 所以， 因为，所以恒成立， 所以，解得：或， 所以或， 故答案为：或. 3.若函数满足，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得. 【详解】由，可得， 联立两式消去，可得． 故答案为：. 4.求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知是一次函数且，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式． 【答案】 （1）； （2）； （3）. 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】（1）设，由换元法可得出答案. （2）由，由配凑法可得答案. （3）可设，利用待定系数法可得答案. （4）将用替换,由方程消元法可得答案. 【详解】（1）（换元法）设，则． 所以，所以． 即． （2）（配凑法）因为， 又当时，（当且仅当时取“”）， 当时，（当且仅当时取“”）， 所以． （3）（待定系数法）因为是一次函数，可设， 所以. 即，所以 解得 所以的解析式是． （4）（方程组法）因为，① 所以将用替换，得，② 由①②解得． 重难点题型6 求函数的值域 例13.（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 例14.（23-24高一下·贵州黔西·期末）函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数在上的最小值是3. 故选：D 例15.（24-25高一上·上海·周考）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 1.（24-25高一上·江苏常州·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据定义域即可直接求得值域进行判断. 【详解】由已知值域为，故A错误 因为定义域为， 值域为，故B正确. ，，，所以，故C错误. ，，所以，故D错误. 故选：B 2.（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 3．求下列函数的值域. (1)； (2)，. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用分离常数的方法确定的值域； （2）判断出在上的单调性，从而求出值域. 【详解】（1）函数的定义域为 ，的值域为. （2）,则的对称轴是，在上单调递减，在单调递增， 故；，的值域为. 重难点题型7 由函数的定义域或值域求参数 例16.（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、分类讨论解绝对值不等式 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 例17.已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据函数单调性可列关于、、的方程组，然后转化为关于或的函数可解决此题． 【详解】由题意得在，上单调递减， 因为函数的值域为，， 所以， ， ，，，， ， ，，结合可得：，， ，． 故选：． 1.（24-25高一上·江西九江·月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】求得在区间，上的解析式，画出的图象，结合图象列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】时，，而时，， 所以 又，所以当时，， 当时，， 作出示意图如下图所示： 要使，则需，结合上图， 由，解得，所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式. 2.若函数在区间上的最小值为，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的值域或最值 【分析】化简得到，讨论，，三种情况，根据单调性计算最小值得到答案. 【详解】，如图所示，画出函数图像 当时，在上单调递增，故，不满足； 当时，，不满足； 当时， 若则，，满足；若，则，，满足. 综上所述： 故答案为： 【点睛】本题考查了分段函数，函数的最值，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握. 重难点题型8 分段函数 例18.（24-25高一上·广东湛江·月考）已知函数，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求分段函数值、求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用、求函数值 【分析】根据分段函数的表达式求出. 【详解】因为函数，所以. 故答案为：. 例19.（23-24高二下·重庆·期末）设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解分段函数不等式、分段函数的性质及应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案. 【详解】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 1.（23-24高一上·河南·周考）已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求分段函数值、分段函数的性质及应用 【分析】由分段函数性质分别代入计算即可求得结果. 【详解】由题意可知：， ， 故. 故选：B 2.（23-24高一上·北京朝阳·期中）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、分段函数的性质及应用 【分析】易知时，，根据函数的值域为R，由时，充满求解. 【详解】解：当时，， 因为函数的值域为R， 所以当时，充满， ， 因为若函数的值域为R， 所以，解得或， 所以实数a的取值范围是， 故答案为：. 1．下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 2．（24-25高一下·浙江金华·周考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案. 【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法， 在函数中，，解得且. 则定义域为. 故选：C. 4．（24-25高一下·河北保定·月考）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】判断解析式和定义域是否都相同，若相同则是同一函数，若有不同，则不是同一函数. 【详解】A. 与，定义域均为，故是同一函数，A正确； B. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误； C. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错误； D. 与，定义域均为，但是解析式不同，不是同一函数，D错误. 故选：A 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知二次函数满足，且，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的解析式、待定系数法 【分析】设二次函数，利用待定系数法解得即可. 【详解】设，则， 由，得， 化简得， ，解得 ， 由，得， 故. 故选：A 6．已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围. 【详解】由题设，，易知：关于对称，又恒成立， 当时，，则，可得； 当时，，则，可得； 当，即时，，则，即，可得； 当，即时，，则，即，可得； 综上，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围. 7．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】分段函数的单调性、根据分段函数的值域（最值）求参数、分段函数的性质及应用 【分析】先求出当时，的值域为.由题意可知，当时，有解，此时，所以，故，然后根据的单调性对分和两种情况进行讨论即可求解. 【详解】解：由题意，当时，， 又函数的值域是， 当时，有解，此时，所以，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则，所以，此时，符合题意； ②若，则，所以，要使， 只须，即； 综上，. 故选：B. 8．（24-25高一上·江苏·期中）已知实数，函数若，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的性质及应用 【分析】对a分类讨论判断出，在分段函数的区间段，代入求出函数值，解方程求出 【详解】解：①当时，，， 由， 得， 解得，不满足，故舍去; ②当时，，， 由， 得， 解得满足， 故 故选：B. 9．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案. 【详解】当时，，当时，， 故由，得， 故选：A 10．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】由换元法，即可求解. 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 11．已知，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】由，，联立可求解． 【详解】因为，① 所以， 所以，② ②-①可得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查方程法求函数的解析式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 12．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】由题意，结合二次函数的图象与性质及分段函数的单调性可得在时不单调或，即可求解. 【详解】当时，为增函数，且当时，， 因为存在，且，使得成立， 所以在时不单调或， 即或，解得或， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 【答案】（1）或；（2） 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设，则. ，解得，或， 或. （2）令，则，， 即. 14．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的概念及其表示、分段函数 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点一、函数的概念 2 知识点二、函数三要素 2 知识点三、分段函数 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 函数的概念 4 重难点题型2 求具体函数的定义域 5 重难点题型3 求抽象函数的定义域 6 重难点题型4 判断函数为同一（或相等）函数 6 重难点题型5 函数的表示法（求解析式） 7 重难点题型6 求函数值域 9 重难点题型7 由函数的定义域或值域求参数 10 重难点题型8 分段函数 10 四、突破热点题型 12 知识点一、函数的概念 （1）、一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）、函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 知识点二、函数的三要素 1．求函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： （1）、分式的分母不为零； （2）、偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）、零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）、已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （5）、对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2．求函数的解析式 (1) 、表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． (2) 、函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (3) 、求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．、求函数的值域 （1）、的值域是． （2）、的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）、的值域是． 知识点三、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 重难点题型1 函数的概念 例1.（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C． D． 例2.（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（多选题）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 1.（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选题）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 求具体函数的定义域 例3.（24-25高一上·广东广州·月考）函数的定义域为 ． 例4.（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 1.（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 2.（2025高二下·湖南娄底·学业考试）函数的定义域是（   ） A．且 B． C． D．且 重难点题型3 求抽象函数定义域 例5.（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 例6.（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 2.（24-25高二下·天津河东·月考）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 重难点题型4 判断函数为同一（或相等）函数 例7.（24-25高一上·四川德阳·期中）（多选题）与函数是同一函数的有（    ） A． B． C． D． 例8.（24-25高一下·河北保定·周考）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高一上·广东·期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 函数的表示法（求解析式） 例9.（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 例10.已知是二次函数，且，，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 例11.已知函数满足，则函数 ． 例12.（23-24高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 1.已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2.已知，且为一次函数，求 3.若函数满足，则 ． 4.求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知是一次函数且，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式． 重难点题型6 求函数的值域 例13.（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例14.（23-24高一下·贵州黔西·期末）函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 例15.（24-25高一上·上海·周考）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 1.（24-25高一上·江苏常州·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．求下列函数的值域. (1)； (2)，. 重难点题型7 由函数的定义域或值域求参数 例16.（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例17.已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高一上·江西九江·月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 2.若函数在区间上的最小值为，则 . 重难点题型8 分段函数 例18.（24-25高一上·广东湛江·月考）已知函数，则 . 例19.（23-24高二下·重庆·期末）设函数，则不等式的解集为 . 1.（23-24高一上·河南·周考）已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 2.（23-24高一上·北京朝阳·期中）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 1．下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江金华·周考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北保定·月考）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知二次函数满足，且，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏·期中）已知实数，函数若，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．或 9．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 10．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 11．已知，则 . 12．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是 . 13．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 14．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$