课后习题20 导数与函数的极值-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

课后习题(二十)　导数与函数的极值 1．C　2．C 3．D　[由题意知，f (x)的定义域为R，f ′(x)＝x2＋x－c，要使函数f (x)有极值，则f ′(x)＝0必有两个不等的实根，则Δ＝1＋4c>0，解得c>－．故选D．] 4．解：　(1)当a＝时，f (x)＝ln x－x，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＝． 令f ′(x)＝0，得x＝2． 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示． x (0，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － f (x)  ln 2－1  故f (x)在x＝2处取得极大值，即f (x)极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值． (2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－a＝． 当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 此时函数f (x)在定义域内无极值点． 当a>0时，令f ′(x)>0，得0<x<， 令f ′(x)<0，得x>， 故为函数f (x)的极大值点． 综上可知，当a≤0时，函数f (x)在定义域内无极值点， 当a>0时，函数f (x)在定义域内有一个极大值点． 5．A　[因为f ′(x)＝(x－2)(x＋4)ex，令f ′(x)＝0，得x＝2或x＝－4，则f (x)在(－∞，－4)，(2，＋∞)上单调递增，在(－4，2)上单调递减， 所以极小值点为2．故选A．] 6．D　[A．φ′(x)＜0的解集为函数y＝f ′(x)的单调递减区间，为(－2，－1)，故A错误； B．函数y＝f ′(x)只有1个变号零点－3，所以函数y＝f (x)有1个极值点，故B错误； C．当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＜0，所以函数y＝f (x)的单调递减区间为(－∞，－3)，故C错误； D．当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，当x∈(－3，＋∞)时，f ′(x)≥0，f (x)单调递增，所以－3是函数y＝f (x)的极小值点，故D正确．故选D．] 7．BC　[由题意得f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x＋1－， 当x＞1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增， 当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减， 所以f (x)的极小值为f (1)＝0，故A错误，C正确； 因为f (1)＝0，所以x＝1是f (x)的零点，故B正确； 因为f (x)的定义域不关于原点对称，所以f (x)不是奇函数，故D错误．故选BC．] 8．C　[因为f ′(x)＝(x2－ax－2＋2x－a)ex， 因为f (x)在x＝－2处取得极大值， 所以f ′(－2)＝(4＋2a－2－4－a)e-2＝0， 解得a＝2，故f ′(x)＝(x2－4)ex， 当x＞2或x＜－2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增， 当－2＜x＜2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减， 故x＝2时，函数取得极小值，f (2)＝－2e2．故选C．] 9．A　[因为f (x)＝a ln x＋， 所以f ′(x)＝， 根据题意有f ′(1)＝a－(b＋1)＝0， 且f (1)＝b＋1＝4， 解得a＝4，b＝3，a＋b＝7． 此时f ′(x)＝＝，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0，1)时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增． 所以函数f (x)在x＝1处取得极小值，满足题意，故a＋b＝7．] 10．4　[令f ′(x)＝3ax2－＝0，解得x1＝，x2＝－， 当x＞x1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，当x＜x2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，当x2＜x＜x1时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减， 所以f (x1)＋f (x2)＝f ＋f ＝4．] 11．1　[因为f (x)＝x3－px2－qx，所以f ′(x)＝3x2－2px－q， 由题有，解得p＝2，q＝－1， 此时f ′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)， 当x<或x＞1时，f ′(x)＞0，当<x<1时，f ′(x)＜0， 所以x＝1是函数f (x)的极小值点， 故p＝2，q＝－1满足题意，所以p＋q＝2－1＝1．] 12．解：　(1)证明：当a＝0时，函数f (x)＝－－ln x，求导得，f ′(x)＝， 令f ′(x)＞0，得0＜x＜1；令f ′(x)＜0，得x＞1， 则函数f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故f (x)max＝f (1)＝－1， 所以曲线y＝f (x)与直线y＝－1只有一个交点． (2)函数f (x)＝ax－－(a＋1)ln x的定义域为(0，＋∞)， 求导得f ′(x)＝a＋ ＝， 设g(x)＝ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)， 令g(x)＝0，解得x1＝，x2＝1． 因为f (x)既存在极大值，又存在极小值，即g(x)在(0，＋∞)上有两个不同零点， 则，解得a＞0且a≠1， 综上所述，a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后习题(二十)　导数与函数的极值 1．(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)函数f (x)＝2x－x ln x的极大值是(　　) [A]　 [B]　 [C]　e [D]　e2 2．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为(　　) [A]　4　　 [B]　2或6 [C]　2 [D]　6 3．(人教B版选择性必修第三册P101练习BT3改编)已知函数f (x)＝x3＋x2－cx－d有极值，则c的取值范围为(　　) [A]　 [B]　 [C]　 [D]　 4．(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)当a＝时，求f (x)的极值； (2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数． 5．(2024·西安莲湖区四模)函数f (x)＝(x2－8)ex的极小值点为(　　) [A]　2　　 [B]　－4e2 [C]　－4 [D]　8e-4 6．(2025·无锡梁溪区模拟)若函数y＝f (x)的导函数y＝φ(x)＝f ′(x)图象如图所示，则(　　) [A]　φ′(x)＜0的解集为(－∞，－3) [B]　函数y＝f (x)有两个极值点 [C]　函数y＝f (x)的单调递减区间为(－2，1) [D]　－3是函数y＝f (x)的极小值点 7．(多选)(2024·龙岩三模)已知函数f (x)＝(x－1)·ln x，则(　　) [A]　f (x)在(0，＋∞)上单调递增 [B]　x＝1是f (x)的零点 [C]　f (x)的极小值为0 [D]　f (x)是奇函数 8．(2025·石嘴山模拟)若函数f (x)＝(x2－ax－2)ex在x＝－2处取得极大值，则f (x)的极小值为(　　) [A]　－6e2　　 [B]　－4e [C]　－2e2 [D]　－e 9．(2025·合肥模拟)若当x＝1时，函数f (x)＝a ln x＋取得极小值4，则a＋b＝(　　) [A]　7　　 [B]　8 [C]　9 [D]　10 10．(2024·合肥包河区期末)已知a＞0，函数f (x)＝ax3－x＋2有两个不同极值点x1，x2，则f (x1)＋f (x2)＝________． 11．(2025·哈尔滨市道里区模拟)已知函数f (x)＝x3－px2－qx在x＝1处取得极小值0，则p＋q＝________． 12．(2025·长沙雨花区模拟)已知函数f (x)＝ax－－(a＋1)ln x(a∈R)． (1)求证：当a＝0时，曲线y＝f (x)与直线y＝－1只有一个交点； (2)若f (x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$