进阶训练8 数列中的综合问题-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

进阶训练(八)　数列中的综合问题 1．(2025·广州市越秀区模拟)已知正项等差数列{an}满足3an＝a3n，且a4是a3－3与a8的等比中项，则a3＝(　　) [A]　3 [B]　6 [C]　9 [D]　12 2．(多选)(2025·莆田模拟)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，q＝2，则(　　) [A]　数列{a2n}是等比数列 [B]　数列是递增数列 [C]　数列{log2an}是等差数列 [D]　数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列 3．(2025·青岛模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1＝，a4是a2与a8的等比中项，记Sn为数列{an}的前n项和，则S20＝________． 4．(2024·新余二模)在公差为正数的等差数列{an}中，若a1＝3，a3，a6，a8成等比数列，则数列{an}的前10项和为________． 5．(2024·横峰县校级期末)已知Sn为数列{an}的前n项和，且an＋2Sn＝1． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn为数列{(2n－1)an}的前n项和，求证：≤Tn<1． 6．(2024·黑龙江三模)已知等差数列{an}的公差d>0，a2与a8的等差中项为5，且a4a6＝24． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝求数列{bn}的前20项和T20． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 进阶训练(八)　数列中的综合问题 1．C　[设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 所以a3n＝a1＋(3n－1)d，又因为3an＝a3n， 即3a1＋3(n－1)d＝a1＋(3n－1)d，可得a1＝d， 又由(a3－3)a8＝，即(a1＋2d－3)(a1＋7d)＝(a1＋3d)2， 即(3d－3)(d＋7d)＝(d＋3d)2，即24d2－24d＝16d2， 且正项等差数列{an}，即d≠0，解得d＝3， 所以a3＝a1＋2d＝3d＝9．故选C．] 2．AC　[等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则an＝2n-1， ∴a2n＝22n-1， ∴数列{a2n}是等比数列，故A正确； 数列是递减数列，故B不正确； ∵log2an＝n－1，故数列{log2an}是等差数列，故C正确； 数列{an}中，S10＝＝210－1，S20＝220－1，S30＝230－1，故D错误． 故选AC．] 3．105　[等差数列{an}中，a1＝，a4是a2与a8的等比中项， 所以＝a2a8，即＝， 解得d＝或d＝0(舍去)， 所以S20＝20×＝105．] 4．165　[设等差数列{an}的公差为d(d＞0)，由a1＝3，a3，a6，a8成等比数列， 可得(3＋5d)2＝(3＋2d)×(3＋7d)， 整理得8d2－21d－9＝0，解得d＝3或d＝－(舍去)， 故等差数列{an}的前10项和S10＝10×3＋×3＝165．] 5．解：　(1)因为an＋2Sn＝1，当n≥2时，an－1＋2Sn－1＝1， 两式相减，得an－an－1＋2an＝0，即an＝an－1(n≥2)， 又因为a1＋2S1＝1，即a1＝， 所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， 所以an＝． (2)证明：因为(2n－1)an＝， 则Tn＝＋…＋， Tn＝＋…＋， 两式相减得，Tn＝＋2＝＋2×＝， 所以Tn＝1－<1， 因为(2n－1)an＝＞0，所以Tn≥T1＝， 故≤Tn<1． 6．解：　(1)因为{an}为等差数列，且a2与a8的等差中项为5， 所以a2＋a8＝2×5＝2a5，解得a5＝5， 因为a4a6＝24， 所以(5－d)(5＋d)＝24，解得d＝±1， 因为d>0，所以d＝1， 所以an＝a5＋(n－5)d＝5＋(n－5)＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n． (2)由题知，bn＝ 即bn＝ 所以T20＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b19＋b20 ＝1＋＋3＋＋…＋19＋ ＝＝100＋＝， 故数列{bn}的前20项和T20为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$