阶段提能7 三角函数的图象与性质-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

阶段提能(七)　三角函数的图象与性质 1．(湘教版必修第一册P208T18)已知y＝a－b cos 的最大值为6，最小值为－2，求实数a，b的值． 2．(人教B版必修第三册P66T8)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，写出与之对应的一个函数解析式． 3．(人教A版必修第一册P255T21)已知函数f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a的最大值为1． (1)求常数a的值； (2)求函数f (x)的单调递减区间； (3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合． 4．(北师大版必修第二册P75C组T2)某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的． (1)若有以下几个函数模型：y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)，y＝A sin ωt＋K，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式； (2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ 5．(2024·上海卷)下列函数中，最小正周期是2π的是(　　) [A]　y＝sin x＋cos x [B]　y＝sin x cos x [C]　y＝sin2x＋cos2x [D]　y＝sin2x－cos2x 6．(2024·天津卷)已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值为(　　) [A]　－ [B]　－ [C]　0 [D]　 7．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) [A]　－ [B]　－ [C]　 [D]　 8．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) [A]　f (x)与g(x)有相同的零点 [B]　f (x)与g(x)有相同的最大值 [C]　f (x)与g(x)有相同的最小正周期 [D]　f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴 9．(2023·天津卷)已知函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为(　　) [A]　f (x)＝sin x [B]　f (x)＝cos x [C]　f (x)＝sin x [D]　f (x)＝cos x 10．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) [A]　1 [B]　 [C]　 [D]　3 11．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________． 12．(2023·北京卷)已知函数f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ． (1)若f (0)＝－，求φ的值． (2)若f (x)在区间上单调递增，且f＝1，再从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f (x)存在，求ω，φ的值． 条件①：f＝；②：f＝－1；③：f (x)在上单调递减． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段提能(七)　三角函数的图象与性质 1．解：　由题意，－1≤cos ≤1， 当b>0时，∴ 当b<0时，∴ 故a＝2，b＝4或a＝2，b＝－4． 2．解：　由题图可以看出A＝＝， B＝＝， T＝2＝， ∴|ω|＝＝． 当ω>0时，函数的解析式为y＝sin ， ∵在函数图象上， ∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z． ∵|φ|<π，∴φ＝，∴y＝sin ． 当ω<0时，函数的解析式为y＝－sin ， ∵在函数图象上， ∴－φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝－2kπ，k∈Z． ∵|φ|<π，∴φ＝． ∴y＝－sin ． 综上，所求的一个函数解析式为y＝sin 或y＝－sin ． 3．解：　(1)因为函数f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a＝sin x cos ＋cos x sin ＋sin x·cos －cos x sin ＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin ＋a，由f (x)的最大值为1，则2＋a＝1，a＝－1． (2)由(1)知，f (x)＝2sin －1，由正弦曲线知，＋2kπ≤x＋＋2kπ，k∈Z，即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f (x)的单调递减区间为，k∈Z． (3)因为f (x)≥0，所以2sin －1≥0，sin ，则＋2kπ≤x＋＋2kπ，k∈Z，解得2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以使f (x)≥0成立的x的取值集合为． 4．解：　(1)函数y＝A sin ωt＋K可以更好地刻画y与t之间的对应关系． 不妨令A>0，ω>0， 根据题表数据可得∴ 易得最小正周期T＝15－3＝12， ∴|ω|＝＝，又ω>0， ∴ω＝， ∴y＝3sin t＋10(0≤t≤24)． (2)由题意知y≥4.5＋7， 即3sin t＋10≥11.5(0≤t≤24)， ∴sin t≥，0≤t≤24， ∴t∈(k∈Z)， ∴t∈[12k＋1，12k＋5](k∈Z)， 又∵0≤t≤24，∴k＝0，1， ∴t∈[1，5]∪[13，17]， ∴该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时． 5．A　[对于A，y＝sinx＋cos x＝sin ，其最小正周期为2π，A正确；对于B，y＝sin x cos x＝sin 2x，其最小正周期为π，B错误；对于C，y＝sin2x＋cos2x＝1，为常值函数，不存在最小正周期，C错误；对于D，y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，其最小正周期为π，D错误．故选A．] 6．A　[f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝， 即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，sin 2x∈， 所以f (x)min＝－． 故选A．] 7．D　[由题意得＝，解得ω＝2，易知x＝是f (x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f (x)＝sin ＝sin ，f＝＝sin ＝．故选D．] 8．BC　[A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点， 令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误； B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确； C选项，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z， g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z， 显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误． 故选BC．] 9．B　[对于A，f (x)＝sin x，最小正周期为＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin x的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos x，最小正周期为＝4，因为f (2)＝cos π＝－1，所以函数f (x)＝cos x的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin x和y＝cos x的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D．故选B．] 10．A　[由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3， 又因为函数图象关于点中心对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2， 所以ω＝－k，k∈Z， 所以ω＝，f (x)＝sin ＋2， 所以f＝sin ＋2＝1． 故选A．] 11．－　[对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π．　① 由题知|AB|＝xB－xA＝，又y＝，则两式相减，得ω(xB－xA)＝， 即ω＝，解得ω＝4． 代入①，得φ＝－，所以f (π)＝sin ＝－sin ＝－．] 12．解：　(1)因为f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，所以f (0)＝sin (ω·0)cos φ＋cos (ω·0)sin φ＝sin φ＝－，因为|φ|<，所以φ＝－． (2)因为f (x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin (ωx＋φ)，所以f (x)的最大值为1，最小值为－1． 若选条件①：因为f (x)＝sin (ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f＝无解，故条件①不能使函数f (x)存在． 若选条件②：因为f (x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1， 所以＝＝π，所以T＝2π，ω＝＝1，所以f (x)＝sin (x＋φ)． 又因为f＝－1，所以sin ＝－1， 所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z． 因为|φ|<，所以φ＝－．所以ω＝1，φ＝－． 若选条件③：因为f (x)在上单调递增，在上单调递减，所以f (x)在x＝－处取得最小值－1，即f＝－1．以下与条件②相同． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$