精品解析：福建省莆田市涵江区莆田锦江中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年下涵江第二片区八年级数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于的描述错误的是（ ） A. 面积为17的正方形的边长 B. 17的算术平方根 C. 体积为17正方体的棱长 D. 直角边分别为1和4的直角三角形斜边长 5. 如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ） A. 过点D作与交于点C B. 在下方作与交于点C，使 C. 在上截取，使，连接 D. 以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 6. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，若，，则长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7. 若则( ) A. B. C. D. 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，可分别绕点转动，当转动到，时，点在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 12. 命题“平行四边形两组对边平行”的逆命题是_____________． 13. 若x，y为实数，且，则__________． 14. 如图所示，在中，，以A为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点E，则的长是 _____． 15. 如图，中，，点，分别在，边上，且，，分别连接，，点，分别是，中点，连接，则线段的长为_________ ． 16. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 成立的有_________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演绎步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知点E、F分别是平行四边形的边、的中点．求证：． 20. 行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 21. （1）【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．请你尝试证明． 已知：如图1，是的中位线． 求证：． （2）【实践应用】 如图2，是的中位线，是边上的中线，与是否互相平分？请证明你的结论． 22. 【教材呈现】 下图为华师大版数学教材八年级上册第110页的部分内容： 图14.1.4是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．大正方形的面积等于，同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和，于是有，化简即得，这就证明了勾股定理． 这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．类比上面教材中证明勾股定理的方法，我们还可以通过别的图形来进行证明． 【动手操作】 （1）请你利用2个或4个图①所示的直角三角形设计出一个图形，画出来，并证明勾股定理． 【定理应用】 （2）如图②，四边形中，于点，，，，请求出值． 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． （1）【知识运用】如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． （2）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为多少？画图并写出解题过程． 24. 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当，即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，的最小值为______；当时，的最大值为______； （2）当时，求的最小值； （3）如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为1，的面积为4，求四边形面积的最小值． 25. 在四边形中，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系； ②如图3，当点在线段上时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下涵江第二片区八年级数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的判断方法及二次根式的化简进行判断即可． 【详解】解：A、为最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】题目主要考查最简二次根式的判断，理解最简二次根式的判断方法及化简方法是解题关键． 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘除法和加减法分别进行判断，即可求出正确答案． 【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列关于的描述错误的是（ ） A. 面积为17的正方形的边长 B. 17的算术平方根 C. 体积为17的正方体的棱长 D. 直角边分别为1和4的直角三角形斜边长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，勾股定理，根据算术平方根的定义和勾股定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、面积为17的正方形的边长为，描述正确，不符合题意； B、17的算术平方根为，描述正确，不符合题意； C、体积为17的正方体的棱长为，描述错误，符合题意； D、直角边分别为1和4的直角三角形斜边长，描述正确，不符合题意； 故选C． 5. 如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ） A. 过点D作与交于点C B. 在下方作与交于点C，使 C. 在上截取，使，连接 D. 以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定． 根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等，结合角平分线得到等腰三角形，进而找出线段间的关系． 根据平行四边形性质和角平分线，得出，再结合已知线段长度，通过线段和差关系求出的长． 【详解】∵四边形是平行四边形， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 若则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出的范围，得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， 解得，， 故选：D． 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键． 由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：设大正方形的边长为，则大正方形的面积是， ， ， ， ， 小正方形的面积为：， 即， ， ， ， 故选D． 9. 如图1是一台手机支架，图是其侧面示意图，可分别绕点转动，当转动到，时，点在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于，可得，即得，得到，又可得，得到，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，中位线定理，三角形三边之间的关系．令中点为点N，连接，则，根据勾股定理求出，由中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：令中点为点N，连接， ∵点N为中点， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，则， 故答案为：． 12. 命题“平行四边形两组对边平行”的逆命题是_____________． 【答案】两组对边平行的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，写出逆命题即可． 【详解】解：命题“平行四边形的两组对边平行”的逆命题是“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”． 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 13. 若x，y为实数，且，则__________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，继而解得，则，再代入求值． 【详解】解：由题意得， ∴解得：， ∴， ∴， 故答案为：2024． 14. 如图所示，在中，，以A为圆心，的长为半径作弧交于点D，连接；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点E，则的长是 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理： 由作图得垂直平分，根据线段垂直平分线性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图得垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，中，，点，分别在，边上，且，，分别连接，，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用，根据题意取的中点，连接，，根据三角形的中位线的性质，可得，，，，根据勾股定理，则，求出即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵中，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 成立的有_________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确， ∵，， ∵， ∴，故③错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演绎步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式、绝对值、计算二次根式的除法和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式，分母有理化等知识点，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先通分计算括号内的部分，然后将除法运算转化为乘法运算，约分化简得出结果后，再代入的值求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 已知点E、F分别是平行四边形的边、的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．由平行四边形的性质，推出，进而证明四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． 又点E、F分别是平行四边形的边、的中点， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． 20. 行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】（1） （2）不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简 。 （）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果，。 （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式然后，与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论. 【小问1详解】 解：根据题意得，． 把，，代入得 ， ∴该楼层落地时的速度为． 【小问2详解】 解：不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴． 将的值代入公式中，得： ∴， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确． 21. （1）【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．请你尝试证明． 已知：如图1，是的中位线． 求证：． （2）【实践应用】 如图2，是的中位线，是边上的中线，与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）与互相平分，见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质； （1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，，再由，即可证明； （2）如图，连接，证明四边形为平行四边形，从而可得结论． 【详解】证明：（1）如图所示，延长到F，使得， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴，且； （2）如图，连接， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴分别为的三边中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． 22. 【教材呈现】 下图为华师大版数学教材八年级上册第110页的部分内容： 图14.1.4是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．大正方形的面积等于，同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和，于是有，化简即得，这就证明了勾股定理． 这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．类比上面教材中证明勾股定理的方法，我们还可以通过别的图形来进行证明． 【动手操作】 （1）请你利用2个或4个图①所示的直角三角形设计出一个图形，画出来，并证明勾股定理． 【定理应用】 （2）如图②，四边形中，于点，，，，请求出的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）画出图形，利用等积法进行证明，推出即可； （2）根据，，，均为直角三角形，根据勾股定理得出即可求出的值. 【小问1详解】 方案一：图示为直角梯形，面积的两种求法： 方法一：， 方法二：， 则， 整理可得：， 即：， 故：勾股定理成立 方案二：图示内外均为为正方形，面积的两种求法： 方法一： 方法二： 则 即 故：勾股定理成立， 【小问2详解】 由题意可得，，，，均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①， ②， ③， ④， ①②，可得， ③④，， 即：， ， ， 【点睛】本题考查勾股定理的几何验证及勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理找到题目中的条件，进行证明． 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． （1）【知识运用】如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． （2）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为多少？画图并写出解题过程． 【答案】（1）的距离为16千米，图形见解析 （2）最小值为10，图与解题过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质与尺规作图，轴对称—最短路线问题等知识，熟练相关性质定理是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在中，中，利用勾股定理表示出，然后根据建立方程，解方程即可； （2）如图，，设 则，然后根据轴对称求最短路线的方法． 【小问1详解】 解：如图，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得，即的距离为16千米； 【小问2详解】 如图，，设，则， 由勾股定理得：，， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，则是的最小值， 即最小值为， ， 的最小值为：． 24. 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当，即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，的最小值为______；当时，的最大值为______； （2）当时，求最小值； （3）如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为1，的面积为4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）4； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，由，可得最小值，当时，由，可得的最大值； （2）由，结合（1）的结论可得答案； （3）设的面积为，可得四边形的面积，再结合（1）的结论可得答案． 【小问1详解】 解：当时， ， 当即时，的最小值为4； 当时，， ， ， 当即时，的最大值为； 【小问2详解】 而，由（1）可知的最小值为4 的最小值是． 【小问3详解】 设的面积为， ， 即，． 四边形的面积， 由（1）可知的最小值为4 的最小值是． 四边形面积最小为9． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解本题的关键． 25. 在四边形中，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系； ②如图3，当点在线段上时，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，，再由平行四边形的判定即可得证； （2）①连接，可知是等腰直角三角形，再证明，利用全等三角形性质即可得到； ②过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①， 理由如下：连接，如图所示： 由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②证明：过点作交于点，如图所示： ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，则， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$