精品解析：湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高一下学期第四次月考数学试卷

武汉六中2024~2025学年度高一下学期第四次月考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 沉着冷静 规范答题 端正考风 严禁舞弊 一、单选题 1. 已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的概念、复数的几何意义即可求解. 【详解】设，则. 若A在第二象限，则，，则，，所以B在第三象限. 反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件. 故选：A. 2. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】, 因为，则，即，于是 . 故选：B. 3. 甲、乙、丙三人排成一排，则甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据计数原理结合古典概型求解概率即可. 【详解】甲､乙､丙三人排成一排，共种情况， 符合题意的有丙､甲､乙或乙､甲､丙两种情况，故概率为． 故选：B． 4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 5. 某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 用水量 9.0 9.6 14.9 5.9 4.0 7.7 小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、极差的计算公式计算平均数、中位数、极差，再结合标准差的定义即可判断. 【详解】实际数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9， 其平均数为：，中位数为：， 极差为：， 录错数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96， 其平均数为：，中位数为：， 极差为：， 根据标准差的含义，标准差反映数据的离散程度可知， 错误的录入一个非常大的数据会导致数据的标准差变化， 所以这组数据中没有发生变化的量是中位数. 故选：B 6. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为60°，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线面垂直的性质和判定可得，由二面角的平面角的概念可得，进而可得，再将该四棱锥补成一个长方体，由长方体的外接球即可得解. 【详解】因为平面，底面为矩形， 所以，，所以平面， 所以，所以即为二面角的平面角，即， 所以， 将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为4、2、的长方体，如图， 该长方体外接球的半径， 所以该球的表面积， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 【点睛】本题考查了线面位置关系及二面角的应用，考查了几何体外接球的求解和转化化归思想，属于中档题. 7. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围. 【详解】依题意，由正弦定理得，所以， 由于三角形是锐角三角形，所以. 由. 所以 ， 由于，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，属于基础题. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多选题 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（ ） A. 事件是必然事件 B. 事件与事件是互斥事件 C. 事件包含事件 D. 事件与事件是相互独立事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本关系判断. 【详解】解：事件A的基本事件有：， 事件B的基本事件有： ， ，， 事件C的基本事件有： ， 事件AC的基本事件有： ， A.事件是必然事件，故正确； B.因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； C.因为，所以事件包含事件，故正确； D.因为，所以 ， 所以事件与事件是相互独立事件，故正确； 故选：ACD 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；，由底面积和高判断体积验证选项B；转化为点和点到点的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D. 【详解】连接，如图所示， 直三棱柱中，， 为正方形，， ，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，，A选项正确； 由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确； 设，，， ， ， ，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误； 当是的中点时，，，， ， ，， ，设点到平面的距离为，由， 得，， 直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为， 则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径. 三、填空题 12. 已知复数，且为纯虚数，则实数___________． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知计算得，结合已知可得，求解即可. 【详解】因为复数，所以， 又为纯虚数，所以，解得. 故答案为：. 13. 已知随机事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用互斥事件概率公式即可求得的值. 【详解】事件A和事件B是互斥事件，且，， 则 故答案为： 14. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的____________ ①在点运动过程中，直线与始终为异面直线 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线与直线所成的角为定值 ④在点运动过程中，不存在某个位置，使得平面平面 【答案】①②③ 【解析】 【分析】结合异面直线的定义，可判定①准确；根据三棱锥的体积，可判定②正确；根据线面垂直的性质，可判定③正确；根据线面平行的性质，可判定④不正确，即可得到答案. 【详解】对于①：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，，平面，平面， 所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内， 所以直线与始终为异面直线，故①正确； 对于②：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③：在正方体中，平面，因为平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故③正确； 对于④：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项②的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故④错误. 故答案为：①②③ 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若D为AC的中点，且，b＝3，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得出角B； （2）由向量的运算得出，由余弦定理得出，进而得出，最后得出面积. 【小问1详解】 因为，所以. 即，即 又，所以. 【小问2详解】 由，得，则由平行四边形法则可得， 则，即① 又，即② 由①②可得. 则. 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由底面是直角梯形，，，， 结合勾股定理计算可得， 取的中点，连接， 因为，，，所以四边形为正方形， 所以，故， 再由勾股定理可得：， 又因为，则由，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，且、平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明出，利用线面垂直的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理额可证得结论成立； （2）由二面角的定义可知为二面角的平面角，计算出的长，即可求出的余弦值，即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，所以为二面角的平面角． 因为平面，平面，所以， 在中，，，， 所以， 因此二面角的余弦值为. 17. 对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差. 【答案】（1）众数为；平均数为 （2）平均数为；方差为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义和计算方法，即可求解； （2）根据题意，得到分数在区间的学生为10人，分别为，得到，设第三组分别为，得到，设第四组分别为，其平均数和方差为，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为， 这800名学生成绩的平均数为： （分）. 【小问2详解】 解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人， 各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人， 其中分数在区间的学生为10人，分别为， 其中平均成绩与方差分别为，则， 设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则， 设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为， 由，可得， 由， 可得，解得， 所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1）证明：连接，设，连接. 因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）证明：取的中点，连结， 由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接，通过证明以及得到为等腰三角形，进而可得结论； （2）取的中点,通过证明平面以及平面可得面面平行，即可求证； （3）利用体积法求点到平面的距离，设与平面所成的角为，表示出，求其最值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 【点睛】线面角可以通过体积法求出点到面的距离后，利用（为斜线段的长度）来表示，可以避免建系产生的复杂计算. 19. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. （1）若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； （2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【小问1详解】 如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故， . 因为， 所以， 则. 【小问2详解】 如图2，设， 则. 因为， 所以， 则，解得， 故. 【小问3详解】 如图3， 因为是的等分点， 所以. 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉六中2024~2025学年度高一下学期第四次月考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 沉着冷静 规范答题 端正考风 严禁舞弊 一、单选题 1. 已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 甲、乙、丙三人排成一排，则甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 用水量 9.0 9.6 14.9 5.9 4.0 7.7 小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 标准差 6. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为60°，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 二、多选题 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（ ） A. 事件是必然事件 B. 事件与事件是互斥事件 C. 事件包含事件 D. 事件与事件是相互独立事件 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 三、填空题 12. 已知复数，且为纯虚数，则实数___________． 13. 已知随机事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且，，则__________． 14. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的____________ ①在点运动过程中，直线与始终为异面直线 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线与直线所成的角为定值 ④在点运动过程中，不存在某个位置，使得平面平面 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若D为AC的中点，且，b＝3，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，，记与平面所成角为，求的最大值. 19. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. （1）若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； （2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $