精品解析：四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

三台中学2023级高二下期期末适应性考试 数学试题 命题人： 审题人： （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 24 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 4. 在等比数列{an}中，an>0，且a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5的值为（ ） A. 16 B. 27 C. 36 D. 81 5. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.1 7. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 2020年4月22日是第51个世界地球日，今年活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校4名大学生到三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，若大学生甲不去社区，则不同的安排方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. 服从二项分布 C. D. 若，则 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是 B. 各项的系数和是64 C. 第4项二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 11. 已知，且 ，其中e为自然对数底数，则下列选项中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 展开式中的系数为________（用数字作答） 13. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答） 14. 已知函数，，若使不等式成立，的取值范围是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列是等差数列，且是数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列前项和，求证：. 16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （1）用表示甲同学上学期间三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列； （2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多”，求事件发生的概率． 17 已知函数. （1）求证：； （2）若函数无零点，求a的取值范围. 18. 为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 用频率估计概率，在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈. （1）用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差； （2）求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率. 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三台中学2023级高二下期期末适应性考试 数学试题 命题人： 审题人： （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点坐标，则组成不同点的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列知识求得正确答案. 【详解】从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标， 不同的点的个数是种. 故选：C 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以,所以. 故选：D. 3. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单复合函数求导法则判断A，根据导数的定义判断B，根据基本初等函数的导数公式判断C，求出函数的导函数，再令即可判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：因为，则， 令可得，解得，故D正确. 故选：D 4. 在等比数列{an}中，an>0，且a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5的值为（ ） A. 16 B. 27 C. 36 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的基本量的运算，由，根据an>0可得q=3，再根据，即可得解. 【详解】∵a1+a2=1，a3+a4=9， ∴q2=9. ∴q=3（q=-3舍去）， ∴a4+a5=（a3+a4）q=27. 故选：B 5. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解． 【详解】记第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件， 则，， 故． 故选：D． 6. 某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题得：，故， 因为，所以根据对称性得：. 故选：D. 7. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数的图象，可得 当时，，则，则单调递增； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递增； 则单调递增区间为，；单调递减区间为 故仅选项C符合要求. 故选：C 8. 2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校4名大学生到三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，若大学生甲不去社区，则不同的安排方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意甲不去社区，则对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个社区，②没有人与甲在同一个社区，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算即可． 【详解】根据题意，首先分配甲，甲不去社区，则对甲有种分配方法; 对于剩下的三人，分两种情况讨论： ①其中有一人与甲在同一个社区，则三名学生分配到三个社区，每个社区一人，有种情况; ②没有人与甲在同一个社区，则三人中有两人一组，另外一人单独一组，两组分配到除甲以外的另外两个地方，有种情况; 所以若甲不去社区，不同的安排方案有种. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. 服从二项分布 C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据超几何分布的定义判断，对于B，根据二项分布的定义判断，对于C，根据二项分布的概率公式求解判断，对于D，根据二项分布的期望公式求出，进而可求出. 【详解】对于AB，根据题意可知掷一次骰子相当于一次独立重复试验，且每次试验出现点数为奇数点的概率为， 所以连续试验四次骰子相当于4次独立重复试验，则随机变量服从二项分布，所以A错误，B正确， 对于C，因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确， 故选：BD 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是 B. 各项的系数和是64 C. 第4项二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；利用二项式系数的性质可判断C选项；求出奇数项的二项式系数和可判断D选项. 【详解】二项式的展开式通项为. 令，可得，故常数项是，A正确； 各项系数和是，B错误； 二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确； 奇数项二项式系数和为，D错误. 故选：AC 11. 已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数，求导，计算出其单调性即可判断. 【详解】构造函数 ， ， 当 时， ， 时， ， 时， ， 在处取最大值， ， ， 函数图像如下： ， ，A正确；B错误； ， ， ，C正确，D错误； 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 展开式中的系数为________（用数字作答） 【答案】90 【解析】 【分析】先根据展开式的通项公式求出和，从而求出答案. 【详解】展开式通项公式， 当时，， 当时，， 故展开式中的系数为. 故答案为：90 13. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】（1）根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理即可求解. 【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法， 区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法， 区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法， 共有种. 故答案为：144种. 14. 已知函数，，若使不等式成立，的取值范围是_________． 【答案】． 【解析】 【分析】将不等式恒成立转化为，构造函数并求出函数的最大值，即可得. 【详解】因为，使不等式成立， 则，即， 则问题转化为． 设，由， 令，得． 当在区间内变化时，，随的变化情况如下表： ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为，所以． 故的取值范围是． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列是等差数列，且是数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和，求证：. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可； （2）先求出，再求出，后裂项相消，求出，结合不等式性质证明即可. 【小问1详解】 由于则， 则，因此， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 则，即. ， 由于，则，故成立. 16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （1）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列； （2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多”，求事件发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列； （2）事件，根据互斥、独立事件、和事件概率公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意知：，则所有可能的取值为， ；； ；； 的分布列为： 【小问2详解】设乙同学上学期间的三天中之前到校的天数为，则， 事件． 由题意知：事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立， . 17 已知函数. （1）求证：； （2）若函数无零点，求a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立. （2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点. 【小问1详解】 ， 则当时，，当时，， 故在上为增函数，在上减函数， 故即. 【小问2详解】 ，故， 当时，在定义域上无零点; 当时，，故， 所以当时，，当时，， 故在上为增函数，在上减函数， 因为函数无零点，故，即； 当时，因为，所以， 即， 所以在定义域上无零点. 综上，的取值范围是. 18. 为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 用频率估计概率，在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈. （1）用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差； （2）求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率. 【答案】（1）分布列见解析，，; （2） 【解析】 【分析】(1)利用分层抽样，再利用超几何分布即可求解分布列及期望和方差； (2)利用全概率公式，先确定抽到经常整理错题的人数是1人还是2人，然后再针对这1个人是数学成绩优秀的概率为，这里要用到二项分布来求解即可. 【小问1详解】 在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生， 根据的比例，可知这5名学生中有3人是“经常整理错题”，有2人是“不经常整理错题” 再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数， 则X的可能取值有， 即，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则， ； 小问2详解】 设“这2名学生中含有经常整理错题的有1人”， “这2名学生中含有经常整理错题的有2人”，“这2名学生中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀” 则 根据全概率公式可得：， 所以抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率为. 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据导数的几何意义，列式求参数，再利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的极值； （2）首先不等式变形为，再构造函数，由函数的单调性，转化为函数单调递减求参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为，， 则，解得：， ∴， 令，解得：或， 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则当时，函数取得极小值，极小值为， 当时，函数取得极大值，极大值为. 【小问2详解】 由得， 不等式可变形为， 即，因为，且， 所以函数在上单调递减， 令，， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 因为当时，，所以函数在上单调递减， 所以，所以， 即实数m的取值范围为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$