精品解析：天津市南开田家炳中学2024-2025学年七年级下学期数学期中试卷

2024-2025学年度第二学期七年级质量检测（一） 数学学科试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A. - = y + 5x B. 3x + 1 = 2xy C. x = y2 + 1 D. x + y = 1 3. 下列生活现象中，是平移的是（ ） A. 水平拉动抽屉的过程 B. 将一张纸片对折 C. 教室门的打开 D. 荡秋千 4. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是内错角 C. 和是内错角 D. 和是同旁内角 5. 下列说法正确的是（ ） A. 3的平方根是 B. C. D. 的算术平方根是6 6. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 已知点在第二象限，到 轴的距离是，到轴的距离是，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题： ①相等的角是对顶角；②互补的角就是邻补角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥两个无理数的和仍为无理数．其中真命题的个数（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，则∠AOF的度数为（ ） A. 72° B. 60° C. 54° D. 36° 10. 若方程组的解为，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 11. 如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中有A，B，C三点，且点，点，点，若的立方根是2，的算术平方根为3，c是比小的最大整数，则下列结论： ①； ②的平方根为； ③； ④c是关于x的方程的解； ⑤若线段，且，则点E的坐标为或． 其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，是中国象棋棋盘的一部分，若“帅”位于点，“炮”位于点上，则“兵”位于点______. 14. 平面直角坐标系中，若点P（4﹣m，3m）在x轴上，则点P的坐标为 _____． 15. 若与是同一个数的平方根，则为_____． 16. 已知点，点是平面直角坐标系内两点，当的值为______时，线段有最小值． 17. 如图，在一块长为、宽为的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是，其他部分都是草地，则草地的面积为________． 18. 如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为________． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列二元一次方程组 （1）； （2） 21. 如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1． （1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 　　；顶点C1的坐标为 　　． （2）在图中画出△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积． （3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为 　　． 22. 有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客多少人？ 23. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）直接写出点的坐标，和位置关系是　 　； （2）如图（1）当分别在线段上时，连接，，使，求出点的坐标； （3）在的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期七年级质量检测（一） 数学学科试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内的点的坐标符号规律即可得． 【详解】解：因为点的横坐标为，纵坐标为， 所以点所在的象限是第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了点所在的象限，熟练掌握各象限内的点的坐标符号规律是解题关键． 2. 下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A. - = y + 5x B. 3x + 1 = 2xy C. x = y2 + 1 D. x + y = 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【详解】解：A、不是二元一次方程，因为不是整式方程； B、不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2； C、不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2； D、是二元一次方程． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解定义是解题的关键．二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 3. 下列生活现象中，是平移的是（ ） A. 水平拉动抽屉的过程 B. 将一张纸片对折 C. 教室门的打开 D. 荡秋千 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平移的含义，平移是指物体在平面内沿某一方向移动，不改变形状、大小和方向；根据平移的定义逐一分析即可． 【详解】解：A选项：水平拉动抽屉时，抽屉整体沿水平方向移动，各点运动方向、距离相同，符合平移定义． B选项：对折纸片属于翻折，改变了方向，属于轴对称，不是平移． C选项：教室门绕门轴旋转，属于旋转运动，而非平移． D选项：荡秋千是绕固定点摆动，属于旋转运动． 综上，只有A选项是平移现象． 故选：A 4. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是内错角 C. 和是内错角 D. 和是同旁内角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对平面几何中概念的理解，熟练掌握同位角和内错角以及同旁内角的定义是解题的关键． 由题意根据同位角和内错角以及同旁内角的定义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、和不是同位角，故本选项错误； B、和不是内错角，故本选项错误； C、和不是内错角，故本选项错误； D、和是同旁内角，故本选项正确； 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 3的平方根是 B. C. D. 的算术平方根是6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与平方根．根据算术平方根与平方根的性质即可得． 【详解】解：A、3的平方根是，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、的算术平方根是，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，再估计的范围即可. 【详解】解：， . 故选：C. 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练的确定一个无理数介于哪两个整数之间是解题的关键. 7. 已知点在第二象限，到 轴的距离是，到轴的距离是，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到轴的距离是，到轴的距离是，可得出点的纵坐标为±5，横坐标为±6，又因为点在第二象限，即可确定点A的坐标． 【详解】∵点到轴的距离是，到轴的距离是 ∴点的纵坐标为±5，横坐标为±6 ∵点在第二象限 ∴点A的横坐标小于0，纵坐标大于0 ∴A点坐标为(-6,5) 故选：B 【点睛】本题考查了直角坐标系中象限及点的坐标有关性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8. 下列命题： ①相等的角是对顶角；②互补的角就是邻补角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥两个无理数的和仍为无理数．其中真命题的个数（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是真假命题的判断，无理数的含义，逐一判断各命题的真假，结合对顶角、邻补角、同位角、垂线性质及无理数的定义进行分析即可． 【详解】解：对顶角相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线的同位角），故①为假命题； 互补的角就是邻补角．错误．互补的角只需和为，但邻补角还需相邻且有一条公共边．故②为假命题； 两条直线被第三条直线所截，同位角相等．错误．仅当两直线平行时同位角才相等，否则不成立．故③为假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确．符合垂线的唯一性公理．故④为真命题； 邻补角的平分线互相垂直．正确．邻补角和为，平分后形成的角为，故垂直．故⑤为真命题； 两个无理数的和仍为无理数． 错误．反例：与的和为0（有理数）．故⑥为假命题； 综上，真命题为④和⑤，共2个． 故选C． 9. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，则∠AOF的度数为（ ） A. 72° B. 60° C. 54° D. 36° 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得出∠BOC=2∠BOE=144°，由邻补角定义求出∠AOC=180°-∠BOC=36°，再根据垂直定义即可求出∠AOF的度数． 【详解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=72°， ∴∠BOC=2∠BOE=2×72°=144°， ∵∠BOC与∠AOC是邻补角， ∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-144°=36°， ∵OF⊥CD， ∴∠COF=90°， ∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线、邻补角、角平分线的定义；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键． 10. 若方程组的解为，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．把x、y的值代入原方程组可转化成关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】把代入方程组得, 两方程相加，得4a=12，a=3. 把a=3代入，得b=−2. 所以=1. 故选A. 【点睛】考查二元一次方程组的解，把x、y的值代入原方程组是解题的关键. 11. 如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； B．∵平分交于点． ， ∵， ， 根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， 根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； D．不能得出，故本选项符合题意． 故选：D． 12. 在平面直角坐标系中有A，B，C三点，且点，点，点，若的立方根是2，的算术平方根为3，c是比小的最大整数，则下列结论： ①； ②的平方根为； ③； ④c是关于x的方程的解； ⑤若线段，且，则点E的坐标为或． 其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，坐标与图形，根据题意分别求出、、的值，再逐一验证各个结论的正确性． 【详解】解：的立方根是，则，解得． 的算术平方根为，则， 代入得， 解得． 是比小的最大整数，，故． ∴ ①：，不符合题意． ②，，其平方根为，符合题意． ③∵，， ∴，，，符合题意． ④是方程的解： 方程为，解得，而，符合题意． ⑤ ∵线段，且，，， ∴点的坐标为或，不符合题意． 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，是中国象棋棋盘的一部分，若“帅”位于点，“炮”位于点上，则“兵”位于点______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，先建立平面直角坐标系，即可求解． 【详解】解：根据题意，可建立如下坐标系：（小正方形的边长是1） ∴“兵”位于点， 故答案为：． 14. 平面直角坐标系中，若点P（4﹣m，3m）在x轴上，则点P的坐标为 _____． 【答案】（4，0） 【解析】 【分析】根据在x轴上的点的坐标特征：纵坐标为0求出m即可解答． 【详解】解：∵点P（4﹣m，3m）在x轴上， ∴3m＝0， 解得m＝0， ∴4﹣m＝4， ∴点P的坐标为（4，0）． 故答案为：（4，0）． 【点睛】本题考查点的坐标，熟知点在坐标轴上的坐标特征是解答的关键． 15. 若与是同一个数的平方根，则为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平方根的有关定义，根据平方根的定义分两种情况讨论即可，解题的关键是正确理解平方根的定义． 【详解】解：∵与是同一个数的平方根， ∴时， 解得：， 时， 解得：， 综上可知，为或， 故答案为：． 16. 已知点，点是平面直角坐标系内两点，当的值为______时，线段有最小值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂线段最短，根据点，得出点在直线上的一点，结合点，且线段有最小值，则，据此即可作答． 【详解】解：∵点， ∴点在直线上的一点， ∵点，且线段有最小值， ∴， 此时， 故答案为：4． 17. 如图，在一块长为、宽为的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是，其他部分都是草地，则草地的面积为________． 【答案】300 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算，生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键． 根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是1米，高是15米的平行四边形，根据平行四边形的面积=底×高，长方形的面积=长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可． 【详解】解：由题意可得，草地的面积为， 故答案为：300． 18. 如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型中数字的变换类，解题的关键是找出变换规律“当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据偶数列首位数的变化，找出变化规律是关键． 设第n列第一个数为（n为正整数），观察发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…再根据，得出399在第20列第二行，即可得出答案． 【详解】解：设第n列第一个数为（n为正整数）， 观察偶数列第一个数：，，，… ∴发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为， 第n列第二行数为，第n列第三行数为，… ∵ ∴399在第20列第二行， ∴数对应的有序数对为． 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根以及算术平方根、化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据算术平方根，有理数的乘法、立方根进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根以及算术平方根是解题的关键． 20. 解下列二元一次方程组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的两种方法：代入法与加减法是解题的关键． （1）用加减法求解即可； （2）先化简，再用加减法求解即可． 【小问1详解】 解： 由，得， 解得：， 把代入②，得， 解得： ∴； 【小问2详解】 解： 化简得， 得：， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ∴． 21. 如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1． （1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 　　；顶点C1的坐标为 　　． （2）在图中画出△A1B1C1，并求出△A1B1C1的面积． （3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为 　　． 【答案】（1）（0，3），（4，0） （2） 如图，△A1B1C1即为所求， △A1B1C1的面积=4×4-×2×4-×1×2-×3×4=5． （3）（3，0）或（5，0） 【解析】 【分析】（1）根据平移方式，将横坐标加3，纵坐标加1可得点的坐标； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可画图，再把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）设P（m，0），根据三角形面积构建方程求解． 【小问1详解】 解：由平移可得： 点A1的坐标为（0，3），顶点C1的坐标为（4，0）； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 设P（m，0），则有×|4-m|×3=， 解得m=3和5， 故答案为（3，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 22. 有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客多少人？ 【答案】96人 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载客57名，可以列出相应的方程组，然后求解即可． 【详解】解：设1艘大船可以载乘客人，1艘小船可以载乘客人， 由题意可得：， 解得， 艘大船与6艘小船一次可以载客：（人， 答：3艘大船与6艘小船一次可以载客96人． 23. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）直接写出点的坐标，和位置关系是　 　； （2）如图（1）当分别在线段上时，连接，，使，求出点的坐标； （3）在的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1），平行 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出，得到点的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）过点作于，根据三角形的面积公式求出，得到点的坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ，，， 的纵坐标相同，点在轴上， ， 故答案为：平行； 【小问2详解】 ：过点作于， ， 设时间经过秒，， 则，，，， ，， ， ， 解得，， ， ， 点在上， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：或， 理由如下： 当点在点的上方，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 即； ②当点在点的下方时，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $