3.3 导数与函数的极值、最值（2大考点+6大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

3．3　导数与函数的极值、最值 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、函数的极值 3 二、函数的最值 3 常用二级结论 3 03 探究核心题型 5 题型一：根据函数图象判断极值 5 题型二：求已知函数的极值 7 题型三：已知极值(点)求参数 8 题型四：不含参函数的最值 9 题型五：含参函数的最值 10 题型六：极最值综合问题 12 04 好题赏析（一题多解） 15 05 数学思想方法 16 ①数形结合 16 ②转化与化归 16 ③分类讨论 17 06 课时精练（真题、模拟题） 18 基础过关篇 18 能力拓展篇 20 1、借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． 2、会用导数求函数的极大值、极小值． 3、掌握利用导数研究函数最值的方法． 4、会用导数研究生活中的最优化问题． 一、函数的极值 极小值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 极大值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点（的值，不是坐标），极小值、极大值统称为极值． 二、函数的最值 1、函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2、一般地，求函数在区间上的最大值和最小值的步骤如下： ⑴求函数在区间上的极值； ⑵将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，其中最小的一个是最小值． 常用二级结论 1、一般地，求函数的极值的方法是：解方程．当时： ⑴如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； ⑵如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 2、利用导数研究函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域 第二步：求，并可适当整理；尽量将整理成之积商的形式 第三步：解出方程在定义域内的所有实数根 第四步：将函数，随的变化情况分段标注在数轴上 第五步：确定的极值． 3、函数在有最值在有极值在有解． 4、函数关于直线对称，则必有；连续函数关于点对称，则必有． 题型一：根据函数图象判断极值 【典例1-1】（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【典例1-2】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 【解题总结】 原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 【变式1-1】（2025·广西河池·二模）已知函数，则以下最不可能是其图像的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上有极大值 D．是函数的极小值点 【变式1-4】（2025·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 题型二：求已知函数的极值 【典例2-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数的极值； (3)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． 【典例2-2】已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)求的极小值． 【解题总结】 利用导数研究函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域 第二步：求，并可适当整理；尽量将整理成之积商的形式 第三步：解出方程在定义域内的所有实数根 第四步：将函数，随的变化情况分段标注在数轴上 第五步：确定的极值． 【变式2-1】已知函数 . (1) 若，当时，，求的取值范围； (2) 若，求的极值； (3)若是的极小值点，求的取值范围． 【变式2-2】已知函数. (1)若在处的切线斜率为2，求切线方程. (2)求的单调区间； (3)当时，求函数的极值. 【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数 (1)当时，求单调区间 (2)讨论极值点的个数. 【变式2-4】已知函数.当时，证明: 有唯一极值点. 题型三：已知极值(点)求参数 【典例3-1】（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3-2】（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)验证：求解后验证根的合理性. 【变式3-1】（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式3-2】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式3-4】（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式3-6】已知函数在处取得极小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 题型四：不含参函数的最值 【典例4-1】（2025·陕西安康·三模）函数的最小值为 ． 【典例4-2】（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ． 【解题总结】 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 【变式4-1】函数在上的最大值是 ，最小值是 ． 【变式4-2】函数的值域是 ． 【变式4-3】函数在上的最大值为 . 【变式4-4】（2025·甘肃白银·二模）若曲线恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 ． 【变式4-5】（2025·山东聊城·三模）函数的最小值为 ． 题型五：含参函数的最值 【典例5-1】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【典例5-2】（2025·广东中山·模拟预测）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）： (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围： (3)求的最小值． 【解题总结】 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【变式5-1】已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的最小值是2，求实数a的值． 【变式5-3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【变式5-4】已知函数. (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围； 【变式5-5】已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 题型六：极最值综合问题 【典例6-1】（2025·河南许昌·三模）已知函数. (1)若 ①求的极小值； ②证明：当时，； (2)若的图象与直线切于点，求的值. 【典例6-2】（2025·湖南益阳·三模）已知函数，其中． (1)若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值； (2)若是的极小值点，试比较与的大小． 【解题总结】 分类讨论、数形结合的数学思想方法. 【变式6-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数. (1)若，求的极值； (2)证明：对于满足不等式的任意，均有. 【变式6-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知. (1)若是的极值点，求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； (2)设的最小值为. （i）求的解析式； （ii）证明：的最大值为2. 【变式6-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知. (1)若，求函数的值域； (2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； (3)若且函数有最小值，求的取值范围. 【变式6-4】（2025·陕西汉中·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数的最小值为1，求实数的值． 【变式6-5】（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 【变式6-6】（2025·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. (3)若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围. 【变式6-7】（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 2．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． ①数形结合 1．已知函数在区间上有极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为 A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则   A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 ②转化与化归 4．已知正四棱锥的侧棱长为，当该棱锥的体积最大时，它的高为（    ） A．1 B． C．2 D．3 5．已知函数，若，则最大值为    A． B． C．e D． 6．已知关于x的方程在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． ③分类讨论 7．已知和分别是函数且的极小值点和极大值点，若，则a的取值范围是           8．函数的最小值为          ． 9．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为          ． 基础过关篇 1．（2025·河北·模拟预测）函数在区间上所有极值点的和为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西汉中·一模）在等比数列中，，是函数的极值点，则（    ） A． B．3 C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 6．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 7．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 9．（2025·江西·模拟预测）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．675 B．676 C．2027 D．2028 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 11．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）正实数满足，则=（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 14．（多选题）（2025·海南海口·模拟预测）已知函数．则下列说法中正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时， C．当时，有一个零点 D．最多有两个不同的零点 15．（多选题）（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 16．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．是的极小值点 C．当时， D．若在上有最小值，则 17．（多选题）（2025·江苏苏州·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．时，有唯一的零点 B．时，存在极小值 C．时，存在极大值 D．若，则的范围为 18．（2025年高考全国二卷数学真题）若是函数的极值点，则 19．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 20．（2025·河北邢台·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为 .若恰有2个整数解，则实数的取值范围为 . 能力拓展篇 21．（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数在处取得极小值，则a的值为 ． 22．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 . 23．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 24．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的图象在处的切线与坐标轴所围绕成三角形的面积. (2)若函数在区间内有两个极值点，实数a的取值范围. 25．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 26．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 27．（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在处取得极大值，求实数的取值范围. 28．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 29．（2025年高考上海卷数学真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 30．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 31．（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 32．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 33．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．3　导数与函数的极值、最值 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、函数的极值 3 二、函数的最值 3 常用二级结论 3 03 探究核心题型 5 题型一：根据函数图象判断极值 5 题型二：求已知函数的极值 9 题型三：已知极值(点)求参数 14 题型四：不含参函数的最值 18 题型五：含参函数的最值 22 题型六：极最值综合问题 28 04 好题赏析（一题多解） 39 05 数学思想方法 44 ①数形结合 44 ②转化与化归 46 ③分类讨论 48 06 课时精练（真题、模拟题） 51 基础过关篇 51 能力拓展篇 63 1、借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． 2、会用导数求函数的极大值、极小值． 3、掌握利用导数研究函数最值的方法． 4、会用导数研究生活中的最优化问题． 一、函数的极值 极小值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 极大值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点（的值，不是坐标），极小值、极大值统称为极值． 二、函数的最值 1、函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2、一般地，求函数在区间上的最大值和最小值的步骤如下： ⑴求函数在区间上的极值； ⑵将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，其中最小的一个是最小值． 常用二级结论 1、一般地，求函数的极值的方法是：解方程．当时： ⑴如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； ⑵如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 2、利用导数研究函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域 第二步：求，并可适当整理；尽量将整理成之积商的形式 第三步：解出方程在定义域内的所有实数根 第四步：将函数，随的变化情况分段标注在数轴上 第五步：确定的极值． 3、函数在有最值在有极值在有解． 4、函数关于直线对称，则必有；连续函数关于点对称，则必有． 题型一：根据函数图象判断极值 【典例1-1】（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【解析】由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 【典例1-2】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 【答案】A 【解析】根据导函数图像知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，，单调递减，则，则A正确； 对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误； 对于C，不能确定零点个数，则C错误； 对于D，函数有两个极值点，则D错误. 故选：A． 【解题总结】 原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 【变式1-1】（2025·广西河池·二模）已知函数，则以下最不可能是其图像的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知函数， 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 且则选项B是函数的部分图像； 当时，，则，令得， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 且则选项C是函数的部分图像； 当时，，则在上单调递增，且，选项D是的部分图像， 对于A选项，显然， ，令得，所以一定有极值点，故A选项不符合. 故选：A. 【变式1-2】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 【变式1-3】函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上有极大值 D．是函数的极小值点 【答案】D 【解析】根据导函数图象知，当时，，当 时， ， 当时，，故AB正确； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，即函数在上有极大值，故C正确； 函数的极小值点为，故D错误. 故选：D. 【变式1-4】（2025·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 【答案】B 【解析】， 作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为， 在处的导数都等于， 在上，,单调递增， 在上，单调递减， 因此函数有三个极大值点，有两个极小值点. 故选：B. 题型二：求已知函数的极值 【典例2-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数的极值； (3)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以，， 所以，即， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）当时，， 由题意有的定义域为，所以， 令有，由有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值； （3）由，所以的定义域为， 所以， 由在上单调递增，即在上恒成立， 所以当时，显然在恒成立，所以， 当时，由，所以，即只需在恒成立， 所以，即，又在单调递增， 所以，与矛盾，所以不满足题意， 当时，令，由有，所以在恒成立， 令，由得或，且， 所以当时，与在矛盾， 所以不满足题意， 综上所述，即. 【典例2-2】已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)求的极小值． 【解析】（1）由，解得，所以x的取值范围为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减； 当时，在单调递减；当时，在上单调递增， 所以当时，取得极小值. 【解题总结】 利用导数研究函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域 第二步：求，并可适当整理；尽量将整理成之积商的形式 第三步：解出方程在定义域内的所有实数根 第四步：将函数，随的变化情况分段标注在数轴上 第五步：确定的极值． 【变式2-1】已知函数 . (1) 若，当时，，求的取值范围； (2) 若，求的极值； (3)若是的极小值点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 因为当时，， 即，不等式两边同除以得 ， 令，则， 当时，，单调递增， 所以，所以的取值范围为． （2）当时，，则， 令，则， 由，得；由，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且时，，， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （3）由题可得，. 令， 则，， 当，即时， 存在，使得当时，， 此时即在区间上单调递增， 故当时，，当时，， 所以当时，是的极小值点，符合题意． 当，即时， 存在，使得当时，， 此时即在区间上单调递减， 故当时，，当时，， 所以当时，是的极大值点，不符合题意． 当，即时，，， 令，得或0， 当时，， 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故在上，有， 所以当时，不是的极值点，不符合题意． 综上所述，的取值范围为. 【变式2-2】已知函数. (1)若在处的切线斜率为2，求切线方程. (2)求的单调区间； (3)当时，求函数的极值. 【解析】（1），，所以 切线方程为：，即. （2）， 若，由，得；由，得， 的单调递减区间为，单调递增区间为. 若，由，得；由，得， 的单调递减区间为，递增区间为. （3）当时，， . 由，得或. 当变化时，与的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 ， . 【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数 (1)当时，求单调区间 (2)讨论极值点的个数. 【解析】（1）当时，定义域为，且， 令，解得或（舍去），即， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增，即极值点的个数为个； 当时，令，，可得， 易知， 故解关于的方程得，（舍去），， 即，则， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 【变式2-4】已知函数.当时，证明: 有唯一极值点. 【解析】由得，， 令， 则在上恒成立， 则在上单调递增， 因， 则，， 则，使得，即， 则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则存在唯一极小值点. 题型三：已知极值(点)求参数 【典例3-1】（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 解得； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 【典例3-2】（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，根据绝对值的性质， 当时，，此时； 当时，，此时. 所以. 对分段函数求导， 当时，，对其求导，可得； 当时，，对其求导可得. 因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近. 当时，，令，即，解得； 当时，，令，即，解得. 要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得. 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【解题总结】 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)验证：求解后验证根的合理性. 【变式3-1】（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解析】由已知得，令，得， 当时，单调递减， 当或时，单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：A. 【变式3-2】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，由，可得 函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根， 即函数与在上有两个交点， 因，，， 所以，解得. 故选：A. 【变式3-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A 【变式3-4】（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意 ，若函数恰有两个极值点， 则只需有两个不同的根， 显然不是方程的根，所以只需有两个不同的根， 令，则， 当时，，是减函数； 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 极大值， 又当，当， 当，当，， 的图像如图所示， 结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足. 故选：B． 【变式3-5】（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，求导得， 由是的极值点，得，解得， 此时，当时，；当时，， 因此是的极值点，所以. 故选：B 【变式3-6】已知函数在处取得极小值，则实数a的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 令，得或. 由函数在处取得极小值可知，解得. 经验证此时满足题意. 故选：A. 题型四：不含参函数的最值 【典例4-1】（2025·陕西安康·三模）函数的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】，， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 故答案为： 【典例4-2】（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】因为， 又，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，所以在上的最小值为. 故答案为：. 【解题总结】 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 【变式4-1】函数在上的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 0 【解析】，令， 又，解得或， 当，，则在单调递增， 当，，则在单调递减， 当，，则在单调递增， 又，． 所以当时，有最小值， 当时，有最大值， 故答案为：，0． 【变式4-2】函数的值域是 ． 【答案】 【解析】由题意可得， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域是. 故答案为：. 【变式4-3】函数在上的最大值为 . 【答案】0 【解析】，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中， 故在上的最大值为0. 故答案为：0 【变式4-4】（2025·甘肃白银·二模）若曲线恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由曲线恒在直线的上方， 可得， 令，因为，所以， 则构造，求导得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以有，此时， 根据函数图象的交点可知： 即存在正数使得，此时， 要满足对任意恒成立， 则必须要使得时也要成立，即，解得，这是必要性， 再证明充分性，当， 所以实数a的取值范围是, 故答案为： 【变式4-5】（2025·山东聊城·三模）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 当时，. ， 故在上单调递减； 当时，. ， 在上单调递减； 当时，. ， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. 又为连续函数， 因此函数的最小值为. 故答案为：. 题型五：含参函数的最值 【典例5-1】（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【解析】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 【典例5-2】（2025·广东中山·模拟预测）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）： (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围： (3)求的最小值． 【解析】（1）平方关系：； 和角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系， ； ， 和角公式： 故； 导数：，； （2）构造函数，，由（1）可知， i．当时，由可知， 故，故单调递增， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ii．当时，令，， 则，可知单调递增， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在内单调递减， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数a的取值范围为． （3），， 令，则， 令，则， 当时，由（2）可知，，则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0. 【解题总结】 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【变式5-1】已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，， ∴，故 ∴曲线在处的切线方程为：， 即. （2）因的定义域为， 当时，，则在上单调递增，无最小值； 故. 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，（），则， 因，则在上单调递增， 又，故由可得， 即，解得， 故实数a的取值范围是. 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的最小值是2，求实数a的值． 【解析】（1）当时，， 将代入得：， 函数的导数为， 曲线在点处切线的斜率为， 因此，曲线在点处的切线方程为： ，即：． （2）对求导：， ①当时，恒有， 于是在上单调递减， 此时，无最小值； ②当时，令，得， 当都有在上单调递减； 当都有在上单调递增 因此在处取得最小值， 依题意，，即： 解得：． 综上，当时，函数的最小值是2． 【变式5-3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【解析】（1）由题意知的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，由，得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当，即时，在单调递减， 当时，有最小值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，有最小值； ③当，即时，在上单调递增， 当时，有最小值； 综上：. 【变式5-4】已知函数. (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围； 【解析】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在点处切线的方程为. （2）当时，，， 令，得或， 当即时，对，，即函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当，即时，，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，不合题意； 当即时，，，即函数在上单调递减， ，不合题意； 综上，实数的取值范围为. 【变式5-5】已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 【解析】（1）因为，所以， 所以. 由或. 所以当，所以， 所以在上单调递增， 所以. （2）的定义域为， ， 由. ①当，即时，或. 所以在上单调递增， ； ②当，即时，由或. 由. 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，由. 所以在上单调递减，. 综上， 题型六：极最值综合问题 【典例6-1】（2025·河南许昌·三模）已知函数. (1)若 ①求的极小值； ②证明：当时，； (2)若的图象与直线切于点，求的值. 【解析】（1）①的定义域为，当时，，， 令，得或（舍去） 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增， 在处取得极小值，极小值为； ②由①可得在处取得最小值，最小值为， ， 当时，，所以，，所以， . （2），由题意得 ， 消去得，令， 因为函数，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， ，将代入，得. 【典例6-2】（2025·湖南益阳·三模）已知函数，其中． (1)若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值； (2)若是的极小值点，试比较与的大小． 【解析】（1）函数，求导得，则， 因此在点处的切线为， 令，则；令，则， 切线与两坐标轴所围成三角形的面积，所以； （2）由（1）知，，，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，则，函数在上单调递增，无极值； 当时，，而，， 令，求导得，函数在上单调递增， ，因此，存在，使得， 当或时，，即；当时，，即， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极小值点，即， 所以. 【解题总结】 分类讨论、数形结合的数学思想方法. 【变式6-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数. (1)若，求的极值； (2)证明：对于满足不等式的任意，均有. 【解析】（1）因为，所以， 所以. 令，则，列表如下： 1 - 0 + 极小值 由上表可知的极小值为，无极大值. （2）证明：当满足时，， 所以. 设，可知在内单调递增， 因为，所以，所以 故，命题得证. 【变式6-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知. (1)若是的极值点，求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； (2)设的最小值为. （i）求的解析式； （ii）证明：的最大值为2. 【解析】（1）由，且，得. 当时，在上单调递减，上单调递增， 所以是的极小值点. （2）（i），令，得，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以． （ii）证明：注意到，要证的最大值为2，只需证明， 即证，即，等价于. 设函数， 则，令，得，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， ，即得证. 综上所述，的最大值为2. 【变式6-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知. (1)若，求函数的值域； (2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； (3)若且函数有最小值，求的取值范围. 【解析】（1）若，，则 所以在单调递减，， . （2）关于的方程有且仅有三个实数解 ，化简得， 设 ， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在单调递增，在单调递减； 所以在处取得极小值为，在处取得极大值为 当时，，所以. （3） ， 令， 则，可知， 因为，可得， 当时，，单调递增，，所以在单调增，所以无最小值，不符题意； 当时，，且单调递增，时，；先单调递减后单调递增，，必有. 又当时，， 先单调递减后单调递增；，且，取值先负后正，先减小后增大，所以有最小值；符合条件. 综上所述：. 【变式6-4】（2025·陕西汉中·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数的最小值为1，求实数的值． 【解析】（1）当时，， ， ，， 所求切线方程为，即． （2）当时，，其定义域为， ， 函数和在区间上都是增函数， 函数在区间上单调递增， 令，即， ，显然， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， 当且仅当时等号成立，此时，解得， 当时，，在单调递增，， 所以当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， ，符合题意， 实数的值为1． 【变式6-5】（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 【解析】（1）求导，得， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 将点代入切线方程，得． （2）函数的定义域为． 设函数，则， 由，得， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以存在唯一的，使得，即． 当变化时，与的变化情况如下： - 0 + 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 故函数存在极小值． （3）由（2）知，函数有最小值． 由，得． 所以． 设函数，则． 今，得（舍）或． 当变化时，与的变化情况如下： 1 + 0 - 极大值 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，，即当时，． 结合，知当时，． 由函数的导数，知其在区间上单调递减， 故当且仅当时． 所以当时，取得最大值0． 【变式6-6】（2025·广东广州·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. (3)若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 则，，所以切线方程为，化简得. （2）由可得，则，即函数定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，即，解得，因为定义域为， 所以，由，可得, 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述： 当时， 在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）可知当时函数无极值点，当时函数在处有极大值， 可得，代入得，化简得， 令，则， 因为，所以，在上单调递增， 因为，所以解得， 所以实数的取值范围是. 【变式6-7】（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 【解析】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以， 所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 2．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. ①数形结合 1．已知函数在区间上有极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 由题意，得， 因为函数在区间上有极值， 则在上有变号零点， 令， 当时，，当且仅当时，取等号， 又，， 则函数的值域为 则实数a的取值范围是 故选： 2．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 由， 得， 要使有两个极值点， 只需有两个变号根，即有两个变号根． 令，，则， 由得， 易知当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减． 所以， 而， 作出，的图象，可知： ，解得 故答案选： 3．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则   A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【答案】B  【解析】 由图可知，两个函数图象都在x轴上方，所以，单调递增， 所以实线为的图象，虚线为的图象，， 对A，，单调递增，无最大值，A错误； 对B，，， 由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，B正确； 对C，，由图可知， 所以在R上单调递增，无最大值，C错误； 对D，， 由图可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，D错误． 故选： ②转化与化归 4．已知正四棱锥的侧棱长为，当该棱锥的体积最大时，它的高为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D  【解析】 设底面边长为a， 则高 所以体积， 设 则，， 解可得，舍，舍 当时，， 函数在区间是减函数； 当时，， 函数在区间是增函数； 当时，函数取得最大值， 即此时体积最大，此时， 故选： 5．已知函数，若，则最大值为    A． B． C．e D． 【答案】A  【解析】 由题意，  ， 令 ，解得 ， 当 时， 令 ，解得 或 ， 令 ，解得 ，不满足 ， ， 当 时， 令 ，解得 或 ， 令 ，解得 ，不满足 ， ， 当 时，函数 成立，符合条件， 所以 ，即 ． 令 ， 则 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 所以 ． 则最大值为 6．已知关于x的方程在上有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 将方程视为关于a，b的一次函数，表示原点到此直线的距离平方， 由点到直线距离公式，得到原点到直线的距离为：， 令，由，得到，令， 则，故在上单调递减，当时，取最小值， 即时，取最小值，此时原点到直线的距离的平方取最小值， 即的最小值为， 故选： ③分类讨论 7．已知和分别是函数且的极小值点和极大值点，若，则a的取值范围是           【答案】  【解析】 至少要有两个零点和， 构造函数，对其求导，， 若，则在R上单调递增，此时若，则在上单调递减， 在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意， 若，则在R上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，即 ，， 故，所以 8．函数的最小值为          ． 【答案】1  【解析】 函数的定义域为， 当时，， 此时函数在上为减函数， 所以； 当时，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时取得最小值，为， ， 函数的最小值为 故答案为： 9．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为          ． 【答案】  【解析】 有两个极值点， 则有两个根， 则有两个根， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， ，，，， 所以有两个极值点，即 故答案为： 基础过关篇 1．（2025·河北·模拟预测）函数在区间上所有极值点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 由或， ①对于，当且仅当时，此时符合题意. ②对于，时符合题意，此时，，. 当或或时，， 当或时， 则是的一个极大值点； 是的一个极小值点； 是的一个极大值点；是的一个极小值点. 故所有极值点的和为. 故选：C. 2．（2025·陕西汉中·一模）在等比数列中，，是函数的极值点，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 因为在等比数列中，是函数的极值点， 所以，故，且， 故，故. 故选：D 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且， 由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则， 所以， 即， 当时，对任意的恒成立，，不合乎题意； 当时，由可得，由可得, 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意. 所以，由题意可得，则，解得， 因此，. 故选：C. 4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 6．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 7．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【解析】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 9．（2025·江西·模拟预测）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．675 B．676 C．2027 D．2028 【答案】B 【解析】由题意可得． 当时，显然，于是， 易知符合条件的解为的变号零点，即的极值点， 于是的极值点均可视作的图象与直线交点的横坐标， 由可知交点必在第四象限． 当时，由图象可知的解集为． 故的图象与直线在每一个区间上有且仅有一个交点． 由解得，故满足条件的区间共676个， 于是的图象与直线在区间上共有676个交点， 即在区间（0，2028）上共有676个极值点． 故选：B． 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意可得函数为奇函数，所以，， 又因为在处取得极值， 即关于对称，所以，，即，， 由为奇函数且在上单调，可得在上单调， 所以的周期，所以，又，所以. 故选：B. 11．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 12．（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增，所以， 又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以， 又当时，恒成立， 所以， 故实数的取值范围为． 故选：B 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）正实数满足，则=（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【解析】解析：由，得， 因为均为正实数，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以，即. 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 故当时，， 即（当且仅当时取等号）， 因此，即. 由和可得， 则有，解得， 所以. 故选：B. 14．（多选题）（2025·海南海口·模拟预测）已知函数．则下列说法中正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时， C．当时，有一个零点 D．最多有两个不同的零点 【答案】ACD 【解析】对于A，，，令， 则在上单调递增，故A正确； 对于B，，因，则. 令，则在上单调递减，在上单调递增，则，故B错误； 对于C，，令，得或. 若，则在R上单调递增，又， ，则有R上有唯一零点；若， 则，， 则在上单调递增，在上单调递减. 则极大值为， 极小值为，又，则此时只有1个零点； 若，由以上分析，类似可得 在上单调递增，在上单调递减， 则极小值为， 极大值为，又，则此时只有1个零点； 综上，当时，只有一个零点，故C正确； 对于D，由C分析，当时，只有一个零点.当，易得只有一个零点.当，由B分析可知，， 又注意到，， 则，使， 故时，有2个零点.则最多有两个不同的零点，故D正确. 故选：ACD 15．（多选题）（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【解析】对于A选项，由，得. 当时，有极小值. 因为的极值点是的零点. 所以，又，故，A对； 对于B选项，因为有极值，故有两相异实根， 由得，且，得. 此时有两个相异的实根，. 列表如下 极大值 极小值 故的极值点是、，从而，B对； 对于C选项，由A选项知，. 设，则. 当时，，从而在上单调递增. 因为，所以，故，即，则，C错； 对于D选项，由A选项可知，D对. 故选：ABD. 16．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．是的极小值点 C．当时， D．若在上有最小值，则 【答案】ACD 【解析】对于A，因为函数的图象关于点对称，且， 所以，解得， 所以，A正确； 对于B，由A可得， 令0，得或；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以是函数的极小值点，B错误； 对于C，当时，，，， 又由B分析可知函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，，C正确； 对于D，由BC分析可知，在上有最小值， 则，D正确. 故选：ACD. 17．（多选题）（2025·江苏苏州·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．时，有唯一的零点 B．时，存在极小值 C．时，存在极大值 D．若，则的范围为 【答案】AC 【解析】对于A，， 当时，，有唯一零点； 当时，恒成立，函数单调递增， 当时，，当时，，由零点存在定理可得有唯一的零点， 综上时，有唯一的零点，故A正确； 对于B、C，令，可得， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数存在极大值，故B错误，C正确； 对于D，因为，所以， 由B选项可得当，函数取得极大值，此时， 所以，故D错误. 故选：AC. 18．（2025年高考全国二卷数学真题）若是函数的极值点，则 【答案】 【解析】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 19．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ． 【答案】 【解析】函数，求导得，依题意，，解得， 令，解得，则当时，；当时，， 所以的极小值为. 故答案为： 20．（2025·河北邢台·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为 .若恰有2个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，，可得， 即，故，为常数， 又，解得，故，， 则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值； 由可得，， 因为，且在上单调递减，所以， 所以要使恰有2个整数解，则整数解为2，3， 所以，即，化简得， 故实数的取值范围为. 故答案为：； 能力拓展篇 21．（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数在处取得极小值，则a的值为 ． 【答案】1或2 【解析】由题设，则， 所以或， 当，则，， 若，则，此时，即在上单调递减， 若，令，则， 对于且，则，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，，故在上恒成立， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，故在上恒成立， 综上，在上恒成立，即， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增， 此时在处取极小值，满足； 当，则， 同上分析，易知在上单调递减， 若，令，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增， 此时在处取极小值，满足； 综上，或. 故答案为：或 22．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】，因为存在唯一极值点，所以存在唯一变号根. 即存在唯一变号根，设，， 函数在上单减；在上单增，在上单减； 当时，；当时，；则实数a的取值范围为. 故答案为：. 23．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 所以， 曲线在点处的切线方程为， （2）当时，， 所以该函数的定义域为， ， 由，解得或， 所以当时，求函数的单调递减区间为， （3）因为， 则， 令，因为函数在区间上只有一个极值点， 则函数在上有一个零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 24．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的图象在处的切线与坐标轴所围绕成三角形的面积. (2)若函数在区间内有两个极值点，实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则，， 所以， 所以切线方程为，与坐标轴的交点为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为． （2）令，则， 令，设函数在区间内的两个极值点为，， 则，是一元二次方程的两根. 因为，所以．又由对称轴满足，知， 所以，解得． 此时，， 列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 此时函数有两个极值点，所以． 25．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 【解析】（1）设，则． 当时，：当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，，即． （2）由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， ， 所以 ． 即． （3）， 则，设． 设，则，当时， 故在上为增函数. 由基本不等式知，，当且仅当时等号成立． 所以当时，，所以在R上单调递增． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，是的极小值点． 下面证明：当时，不是的极小值点． 当时，， 又因为是R上的偶函数，且在上单调递增， 所以当时，． 因此，在上单调递减． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 因此，是的极大值点，不是的极小值点． 综上，实数的取值范围是． 26．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【解析】（1）由得：， 则，又由直线的斜率为， 根据题意可知：； （2）由（1）可知， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； （3）当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的, 所以的最小值为； （4）因为存在两个不同的极值点 所以由可得： ，， 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故， 又由可得， 而 令， 则， ，即，， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 27．（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在处取得极大值，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 可得，，， 所以所求曲线的切线方程为，即. （2）的定义域为，. 因为在处取得极大值， 所以，且在处两侧的值异号. ①当时，在上单调递增，而， 所以在上，，在上单调递减， 在上，，在上单调递增， 则在处取得极小值，不符合题意. ②当时， （ⅰ）若，， 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，当且仅当时取到等号， 所以 则在上，为减函数，所以不是极值点，不符合题意. （ⅱ）若，设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减，则在处取得极大值，符合题意. （iii）若，， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以在上，，单调递减， 在上，，单调递增，则函数在处取得极小值，不符合题意. 综上，，即的取值范围为. 28．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【解析】（1）函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. （2）由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. （3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 29．（2025年高考上海卷数学真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【解析】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 30．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 31．（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 32．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 33．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【解析】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$