精品解析：四川省资阳中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

资阳中学高2023级第四学期6月月考测试 数 学 试 题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A 2. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布均值公式求得可判断A，由方差公式可判断B，由二项分布的概率公式可判断C，由均值性质可判断D. 【详解】对于A，，解得，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C符合题意； 对于D，由均值的性质可知，，故D不符合题意. 故选：C. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，满足，则， 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解判断A；根据样本中心点求得，进而求得预测值判断B；根据正态分布的对称性求解判断C；根据期望和方差的性质判断D． 【详解】对于A，由，得这组数据的第60百分位数为，A错误； 对于B，线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，正确； 对于C，随机变量服从正态分布，则，由， 得， 则，C错误； 对于D，由，则，，D错误. 故选：B 4. 函数的图象如图，则函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由图象知，先对函数进行求导，根据x=-2，x=3时函数取到极值点知，由一元二次方程根与系数关系可得：，再根据函数二次函数的性质可得解． 详解：∵，∴ 由图可知，且 由一元二次方程根与系数关系可得：，即 ∴，为开口向下的抛物线，对称轴为：. ∴函数的单调增区间是. 故选A. 点睛：本题主要考查了函数导数与函数单调性关系，属于中档题. 5. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用可得答案. 【详解】 ， 所以 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数判断其单调性，结合题意可得，进而得到，由此即可得解. 【详解】依题意， ， 令， 则， 所以函数上单调递增； 又， 得， 又， 则， 又函数在上单调递增， 则， 即， 所以， 选项A正确，B不正确； 又无法确定与关系， 故CD不正确； 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键. 7. 某单位选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可． 【详解】既有党员又有民主党派人士有种， 其中党员甲被选中有种， 所以在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为． 故选：C． 8. 已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 存在两对称点,,则,即,故与有交点,先求得与相切时的斜率,进而求解即可 【详解】由题,设两对称点,, 则,所以,即与有交点, 设与的切点为, 则切线斜率为, 又有,所以,即, 所以当与有交点时,, 故选:B 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查图像的对称点问题,考查数形结合思想 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）） 9. 等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，由，利用等差数列通项公式求出，由此利用等差数列通项公式和求和公式即可求解判断. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，所以， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，，所以,故C错误； 对于D，， 因为，所以当时，，即当时，的最小值为16，故D正确. 故选：AD. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可构造函数利用导数判断其单调性可得，再构造函数，由导数可得其单调性可知，便可得出结论. 【详解】令，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以，则，所以，可得，即B错误，C正确； 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即，即，所以，可得，即A正确，D错误； 故选：AC 11. 琴生（Jensen，1859-1925）是丹麦的一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，有 B. 若，有 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出并确定其正负，再由“琴生不等式”判断AB；由选项CD的信息构造函数，求出，再利用“琴生不等式”求解判断CD. 【详解】对于A，，，则在是“凸函数”， ，，A正确； 对于B，，，则在是“凹函数”， ，有，B错误； 对于C，令函数，， 函数在是“凹函数”， ， 因此，C正确； 对于D，令函数，， 在是“凸函数”， ，， 因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据给定的信息构造函数，再利用“琴生不等式”是求解选项CD的关键. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为正项数列的前项积，且．数列的通项公式是____ 【答案】 【解析】 【分析】根据前项积计算得出等比数列,计算求解通项即可. 【详解】由可得，，即， 又因为， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以； 故答案为：. 13. 若函数在取得极值，则函数的单调递减区间是____ 【答案】和. 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，由条件在取得极值算出的值，再利用导数性质求出函数的单调递减区间 【详解】已知，定义域为 则， 在取得极值， ，解得， 故，令，解得，令，解得或， 得，满足函数在取得极值， 则结合定义域可得函数的单调递减区间是和. 故答案为：和. 14. 已知函数，若在上有解，则的最小值___. 【答案】 【解析】 【分析】确定点在直线上，，设，求导得到导函数，确定单调区间计算最值得到答案. 【详解】设函数在上的零点为，则， 所以点在直线上. 设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方， 所以， 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求最值，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将转化为点到直线的距离的平方，再利用导数求最值是解题的关键. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某大学开了一家室内滑雪场．经过6个季度的经营，统计该滑雪场的季利润数据如下： 第个季度 1 2 3 4 5 6 季利润（万元） 2.2 3.6 4.3 4.9 5.3 5.5 设，，根据上面的数据得到的一些统计量如下： 4.3 0.5 101.4 14.1 1.8 （1）用方程拟合该滑雪场的季利润与季度的关系，根据所给数据求出方程； （2）利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元； 附：线性回归方程中，，．参考数据： 【答案】（1）； （2）第12个． 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法可得，进而即得； （2）由，解不等式进而即得． 【小问1详解】 由，先求y关于u的线性回归方程， 由已知数据得， 故， 所以y关于u的回归方程为， 故y关于x的回归方程为； 【小问2详解】 令，得， 所以， 故预测从第12个季度开始季利润超过6.5万元； 16. 在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种. （1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关： 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 （2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】 （1）根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论； （2）根据题意可得贫困指标在的贫困户共有（户），“亟待帮助户”共有（户）， 则的可能值为，，，列出分布列，计算期望值即可. 【详解】（1）由题意可知，绝对贫困户有（户），可得出如列联表： 受教育水平 良好 受教育水平 不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 ． 故有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关． （2）贫困指标在的贫困户共有（户）， “亟待帮助户”共有（户）， 依题意的可能值为，，， ，， ， 则的分布列为 故． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题． 17. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由与关系得到数列递推式，利用等比数列定义判断并求出其通项公式即得； （2）由数列递推式构造两方程，相减即可求得通项，检验首项即得； （3）根据数列为递增数列，得到对任意恒成立，化简得对任意恒成立，即，再由解得，综合即可求得参数范围. 【小问1详解】 由，，两式相减，可得， 即得，又，得，， 故数列为等比数列，且首项为2，公比为， 所以. 【小问2详解】 由（1）知. 则①，可得， 当时，②， 由①-②：可得， 故得，显然不满足此式， 故. 【小问3详解】 因为， 时，则. 因为数列递增，则对任意恒成立 由，化简得， 即对任意恒成立，故 又因为，则，解得. 综上，的取值范围为. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． （1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算公式可得结果； （2）①利用全概率公式计算可得，再由等比数列定义计算可得；②结合通项公式以及数列单调性可得，即求得的取值范围. 【小问1详解】 设为“第4天中午选择米饭套餐”， 根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择， 因此样本空间包含个样本点， 若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择， 即事件中包含个样本点， 所以， 所以第4天中午选择米饭套餐的概率 【小问2详解】 ①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐” 根据题意，，，， 由全概率公式得： ， ∴， 因为 ∴ 因此，因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 19. 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． （1）根据牛顿迭代法，求； （2）求与的关系式； （3）牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得在处的切线方程，计算切线与轴交点的横坐标即可求得； （2）求出函数在处的切线方程，再求出切线与轴交点的横坐标即可得与的关系式； （3）根据题意求出函数在处的切线方程为，即证明可得出结论. 【小问1详解】 ，，， 当时，，， 因此切线， 当时，可得； 【小问2详解】 当切点为时切线方程为：. 当时，可得： ， 即； 【小问3详解】 证明：由（1）知，函数在处的切线方程为. ①先证：当的图象恒在切线的上方， 即当时，，即. 令，则， 易知，令， 可得，易知， 在单调递减，在单调递增， 又，，， 存在使得， 在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又， 当时，，即，即. ②下证：. 即，即. 令， 则，则在单调递减，在单调递增， 又， 显然当时，恒成立，即恒成立， 由①②可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用牛顿迭代法中蕴含的“以直代曲”的数学思想，求出函数在处的切线方程，分别证明在切线的两侧即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资阳中学高2023级第四学期6月月考测试 数 学 试 题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，满足，则， 4. 函数的图象如图，则函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某单位选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）） 9. 等差数列的前项和为，则（ ） A B. C. D. 当时，的最小值为16 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 琴生（Jensen，1859-1925）是丹麦的一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，有 B. 若，有 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为正项数列的前项积，且．数列的通项公式是____ 13. 若函数在取得极值，则函数的单调递减区间是____ 14. 已知函数，若在上有解，则的最小值___. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某大学开了一家室内滑雪场．经过6个季度的经营，统计该滑雪场的季利润数据如下： 第个季度 1 2 3 4 5 6 季利润（万元） 2.2 3.6 4.3 4.9 5.3 5.5 设，，根据上面的数据得到的一些统计量如下： 4.3 0.5 101.4 14.1 1.8 （1）用方程拟合该滑雪场的季利润与季度的关系，根据所给数据求出方程； （2）利用（1）中得到的方程预测该室内滑雪场从第几个季度开始季利润超过6.5万元； 附：线性回归方程中，，．参考数据： 16. 在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种. （1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关： 受教育水平良好 受教育水平不好 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 （2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 17. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． （1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求取值范围． 19. 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． （1）根据牛顿迭代法，求； （2）求与的关系式； （3）牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $