精品解析：四川省西充中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

西充中学高2024级高一下期六月月考 数学试卷 审题人：高一数学组 使用时间：2025.6.17 总分：150 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 3. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则 5. 在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 8. 如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对按比例给分，选错或不选的得0分. 9. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 10. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面所在四边形的面积为定值 C. 棱总与水面所在的平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值） 11. 已知函数的部分图象如图所示，，，，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 当上恰有4个零点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则______． 13. 已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则此三棱台的体积是______. 14. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. （1）求证：，，，四点共面； （2）求证：平面平面； 17. 若. （1）求最小正周期及单调增区间； （2）若当时，的最小值为2，求的值. 18. 如图，在直三棱柱中，，点是的中点， （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求三棱柱外接球的表面积． 19. 设的外接圆半径为R，内切圆半径为r，且内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，定义的值为的“径比”． （1）若为等腰直角三角形，求的径比f； （2）证明：； （3）若，求f的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西充中学高2024级高一下期六月月考 数学试卷 审题人：高一数学组 使用时间：2025.6.17 总分：150 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合正切的倍角公式运算求解. 【详解】因为， 所以． 故选：A． 2. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原理作出原图形，求出边长即可得原图形的周长. 【详解】从直观图可得， 原图形为： 则四边形OABC为平行四边形，， ， 所以其周长为. 故选：C 3. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，，再由及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，均为锐角，则，又， 所以， 所以，， 所以 . 故选：C 4. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判断定理可判断A的正误，根据线面平行的定义可判断B的正误，根据面面平行的性质可判断C的正误，根据面面平行的判定定理可判断D的正误. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，，则或异面，故B错误； 对于D，由面面平行判定定理可证D成立， 故选：D. 5. 在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：C 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理、逆用两角和的正弦公式、诱导公式即可求解. 【详解】设所求为，由题意， 在三角形中，解得. 故选：A. 7. 某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 【答案】B 【解析】 【分析】求出正三棱锥的表面积与体积，由题意可知，这个球形饰品为正三棱锥的内切球时，表面积最大，然后由球的表面积公式求解即可. 【详解】 如图，在正三棱锥中底面正三角形中，，， 所以， 在中，，，所以， 所以该木材的表面积平方厘米， ，所以， 所以体积立方厘米. 要使这个球形饰品的表面积最大，则这个球形饰品是该木材的内切球. 设内切球的半径为厘米，则，所以. 设这个球形饰品的半径为厘米，则，故这个球形饰品的表面积平方厘米. 故选：B 8. 如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可求的值. 【详解】 如图，，，∴． 又，∴，根据勾股定理． 在中，根据正弦定理可知， 即，解得， 故选：C． 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对按比例给分，选错或不选的得0分. 9. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量运算公式，求得，可判定A不正确；利用向量的夹角公式，可判定B正确；由，可判定C正确；根据投影向量的计算公式，可得判定D正确. 【详解】由单位向量，满足， 对于A中，由， 所以，所以A不正确； 对于B中，由，因为，所以，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C正确； 对于D中，由， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：BCD. 10. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面所在四边形的面积为定值 C. 棱总与水面所在的平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值） 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义即可判断A、B、C选项，再根据棱柱的体积公式计算D选项. 【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形， 对于A：依题意，水面，而平面平面，平面，则，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故B错误； 对于C：因为，平面，平面，因此平面， 即棱总是与水面所在的平面平行，故C正确； 对于D :当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为， 又，，所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的部分图象如图所示，，，，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 当在上恰有4个零点时， 【答案】AB 【解析】 【分析】设函数的最小正周期为.根据图象可知及，即可求解判断选项A；根据和，即可求解判断选项B；由选项AB可知，求出的解析式，即可判断选项C；令，则，根据正弦函数在上有4个零点可得，即可判断选项D. 【详解】设函数的最小正周期为. 因为，所以，解得. 由题图可知，所以，，所以，故选项A正确； 因为，所以.因为，所以或. 当时，，， 所以不符合题意，所以，故选项B正确； 由选项AB可知，所以，不是奇函数，故选项C错误； 令，则，所以当在上恰有4个零点时，即为在上有4个零点，即，解得，故选项D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据余弦函数相位变换及诱导公式求得函数解析式，然后利用特殊角的余弦值求解即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为， 所以． 故答案为： 13. 已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则此三棱台的体积是______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求棱台高，再代入体积公式，即可求解. 【详解】如图，是上下底面的中心，， 则， 则三棱台的高为，上下底面的面积分别为和， 所以三棱台的体积. 故答案为： 14. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】取的中点为，把用表示，根据平面向量数量积的定义表示出，再根据投影向量的定义及平面向量数量积的几何意义即可求出的值，也就是的最小值. 【详解】 如图所示：取的中点为，则， 所以， 所以 ， 所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 16. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. （1）求证：，，，四点共面； （2）求证：平面平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明出，得到四点共面； （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行. 【小问1详解】 ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线，∴， 又在三棱柱中，，∴， ∴，，，四点共面. 【小问2详解】 ∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 又，是，的中点，所以，又. 所以， ∵平面，平面，∴平面. 又，平面， 所以平面平面. 17. 若. （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）若当时，的最小值为2，求的值. 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式将解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可计算出该函数的最小正周期；根据正弦函数的单调区间，利用整体法得到，即可求出该函数的单调递增区间； （2）由，可得，再根据正弦函数的性质，即可得当，即时，函数取得最小值，进而解方程即可求解. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期. 令， 解得， 的单调增区间是. 【小问2详解】 ，. 当，即时，函数取得最小值， . 18. 如图，在直三棱柱中，，点是的中点， （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求三棱柱外接球表面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，中点，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）在直三棱柱中，可得平面，根据，结合锥体的体积公式，即可求解； （3）根据题意，证得和，可把直三棱柱可以补成一个长方体，结合长方体的性质，求得直三棱柱的外接球的半径为，结合球的表面积公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接交于点，可得为的中点， 连接，因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在直三棱柱中，可得平面， 由，分别为的中点， 得， 所以三棱锥的体积为. 【小问3详解】 由直三棱柱中，可得平面， 因为平面，可得， 又由，可得，所以， 所以为外接圆圆心，该外接圆半径为， 取中点，则中点即为外接球球心， 设直三棱柱的外接球的半径为，则， 所以三棱柱外接球的表面积为. 19. 设的外接圆半径为R，内切圆半径为r，且内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，定义的值为的“径比”． （1）若为等腰直角三角形，求的径比f； （2）证明：； （3）若，求f的最值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最小值为，无最大值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直角边长为，得到斜边长为，求得外接圆的半径为和周长，得到，即可求得的值； （2）利用正弦定理和三角形的面积公式，得到和的周长为 ，结合，得到，即可得证； （3）根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，求得，得到，由（2）知，令，求得， 结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由为等腰直角三角形，设直角边长为，则斜边长为， 所以外接圆的半径为，且的周长为， 则，可得， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理，即， 又由得面积为， 且的周长为， 因为，可得 即， 所以. 【小问3详解】 由，可得， 即， 因为，可得，所以, 即，可得或， 当，即， 即，可得， 因为，所以，不符合题意（舍去）， 所以，由，可得，即为直角三角形， 由（2）知， 设，则， 因为，可得，可得， 所以在区间为单调递减函数， 可得，且当时，， 所以的最小值为，无最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $