2025年重庆市重点中学强基计划中考数学优质模拟卷（一）

2025年重庆市重点中学强基计划优质模拟卷（一） 参考答案 1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.5 7.± 8.27 9. 10.证明：(1)设点P的坐标为（x，x²）. ∵M(0,1), ∴PM=== 又∵点P到直线y=-1的距离为= ， ∴以点P位圆心，PM的长为半径的圆与直线y=-1相切. (2)如图，分别过点P,Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为点H,R, 由(1)知，PH=PM. 同理可得QM=QR. ∵RQ//MN//PH, ∴ , ∴ . 又∵∠QRN=∠PHN=90°, ∴△QRN∽△PHN, ∴∠QNR=∠PNH, ∴∠PNM=∠QNM. 11.解：(1)6个. (2)不一定. 由抛物线y=ax²过点A(-1,1), 得1=a×(-1)²,解得a=1, 故抛物线的表达式为y=x². 设点P的坐标为P(0,m). 当AP为边时，易得直线AP的表达式为y=(m-1)x+m, ∴AP=, 点O到AP的距离为 . ∵△AOP为“优美三角形”, 所以 = 解得m₁=1,m₂=2. ∴P₁(0,1),P₂(0,2). 同理，当PO为边时，m=1;当AO为边时，m=2. 当m=1时，B(1,1), ∴PO与PO边上的高相等， ∴△POB是“优美三角形”; 当m=2时，B(2,4), ∴PO与PO边上的高相等， ∴△POB是“优美三角形”, ∴P(0,1)或P(0,2). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年重庆市重点中学强基计划优质模拟卷（一） 姓名 班级 学号 考生须知： 1.整卷共4页，有3个大题，共11个题，满分75分；考试时间为45分钟. 2.答题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效. 3.请将姓名、就读初中、中考报名序号填写在规定位置上. 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.自然数7，8，8，a，b这组数据的中位数为7，且唯一的众数是8，那么，所有满足条件的a，b中，a+b的最大值是（ ） A.9 B.10 C.11 D.12 2.如图，等边三角形ABC的边长为2，点O为AC的中点，点D在射线BC上运动，以AD为边向右作等边三角形ADE，连结OE，则线段OE的最小值是（ ） A. B. C.1 D. 3.对任意两实数a，b，定义运算“*”如下：a*b=.根据这个规则，则方程2*x=9的解为（ ） A.-3 B. C.-3或 D.3或 4.已知二次函数y=（x—h）²+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ） A.1或-6 B.-1或6 C.1或-4 D.1或4 5.如图，四边形BCDE内接于⊙O，其中BC=4，DE=，分别延长BE，CD交于点A.若∠A=30°，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 6.一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其三视图如图所示，要摆成这样的图形，需用 块小正方体. （第6题图） 7.若x²+xy=10，y²+xy=9，则x-y的值为 . 8.如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO.若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，则△DCF的面积为 . （第8题图） （第9题图） 9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AO=16，半圆O与边AC相切于点E，与边AB交于点D，F，点G是弧DE上的动点，点H，I分别是边CG，BH的中点.当点G从点D运动到点E时，点I运动的路径长是 . 三、解答题（共30分） 10.（14分）如图，已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），P是抛物线y=上的一个动点. （1）求证：以点P为圆心，PM的长为半径的圆与直线y=-1相切. （2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM. 11.（16分）三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“优美三角形”. （1）如图①，在3×3的网格中找一个格点C，使△ABC是优美三角形，符合条件的点C有几个? （2）已知抛物线y=ax²经过A（-1，1），P是y轴正半轴上一动点（除原点），射线AP与抛物线交于另一点B.问：△AOP和△POB是否一定是“优美三角形”?若是，请说明理由；若不是，求出当点P在什么位置时，能使其成为“优美三角形”. 学科网（北京）股份有限公司 $$