精品解析：江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 现有一组样本数据，，，，都在直线上，则该组样本数据的相关系数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 设，，（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥PO的底面圆的直径和高均为4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 6. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有一个空盒的放法种数为（ ） A 30 B. 36 C. 42 D. 60 7. 某质点从原点O出发，在数轴上等可能地向左或向右移动，每次移动一个单位长度，则该质点移动6次后，位于2位置的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，，且，则（ ） A. 不存在平行四边形截面 B. 存在唯一的平行四边形截面 C. 存在两个平行四边形截面 D. 存在无穷多个平行四边形截面 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B. 线性回归直线一定过样本点中心 C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 10. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 11. 设是两个随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则是对立事件 B. 若，，则的最小可能值是0.3 C. 若，则不一定相互独立事件 D. 若，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，且，则__________. 13. 已知随机变量，若最大，则______． 14. 在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，，平面ABCD，，点是四棱锥的外接球表面上的一点，则三棱锥的体积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，，E为线段PD的中点. （1）证明：直线平面ACE； （2）求直线PC与平面ACE所成角的余弦值. 16. 已知是函数的极值点. （1）求满足的等量关系式； （2）若，求在上最值. 17. 教师节来临，学校预在今年的“教职工趣味运动会”中添加一个新的比赛项目.为了解教职工对该项目的兴趣，现从全校教职工中随机抽取100人进行调查，得到如下列联表. 性别 喜欢 不喜欢 总计 男 40 60 女 30 总计 100 （1）请补充完整该列联表，并判断能否在犯错误不超过0.001的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）现按性别从这100名教职工中分层抽样抽取5人参加抽奖活动，奖品共3份.如果是女职工获奖，那么奖品价值200元；如果是男职工获奖，那么奖品价值180元.求奖品总价值的分布列及期望. 18. 在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. （1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. （2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 19. 已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“优函数”. （1）试判断函数是否是上的“优函数”，请说明理由； （2）已知函数， ①证明：只有一个零点； ②已知是的零点，证明：是上的“优函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的性质解出结合，再由交集的运算可得. 【详解】由对数函数的性质可得，解得， 所以， ， 所以. 故选：B. 2. 现有一组样本数据，，，，都在直线上，则该组样本数据的相关系数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本相关系数的概念，即可求得. 【详解】因为所有样本点都在直线上， 所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关， 故这组样本数据的样本相关系数为负值， 且所有样本点都直线上，则有， 所以相关系数. 故选：B. 3. 设，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数的运算和指数函数的单调性比较可得. 【详解】，，， 所以. 故选：D 4. 已知圆锥PO的底面圆的直径和高均为4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合圆锥与圆柱的体积公式，利用圆锥减去圆柱体积可得. 【详解】 由题意可得截面圆的半径为1，圆柱的高为2， 所以剩下几何体的体积为. 故选：A. 5. 在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 它的展开式共计有项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：A． 6. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有一个空盒的放法种数为（ ） A. 30 B. 36 C. 42 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】按照分步乘法与分类加法原理，先分盒子再分球计算可得. 【详解】先选一个空盒子，有种， 再将四个球分组，第一组分为一、三个球，有种；第二组分为两两一组，有种； 然后放入盒子中，共有种. 故选：C. 7. 某质点从原点O出发，在数轴上等可能地向左或向右移动，每次移动一个单位长度，则该质点移动6次后，位于2位置的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知移动6次中，往右移动4次，往左移动2次，然后可求概率. 【详解】根据题意移动6次中，往右移动4次，往左移动2次， 而每次移动都有2种情况，所以向左或者向右移动的概率为， 则所求事件的概率. 故选：A. 8. 在四棱锥中，，且，则（ ） A. 不存在平行四边形截面 B. 存在唯一的平行四边形截面 C. 存在两个平行四边形截面 D. 存在无穷多个平行四边形截面 【答案】D 【解析】 【分析】根据四棱锥截面图形结合几何特征判断即可. 【详解】如图，过的截面交平面于，则因为，平面，平面， 所以平面， 因为，且，则存在，所以为平行四边形， 同时在四棱锥中，作底面的平行平面截四棱锥截面都是平行四边形， 所以存在存在无穷多个平行四边形截面， 即四棱锥中存在无穷多个平行四边形截面； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B. 线性回归直线一定过样本点中心 C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后， 新数据的方差与原数据方差相同，故A正确； 对B：由，故线性回归直线一定过样本点中心，故B正确； 对C：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误； 对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 其模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：ABD. 10. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 11. 设是两个随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则是对立事件 B. 若，，则的最小可能值是0.3 C. 若，则不一定是相互独立事件 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对立事件的定义可判断；根据概率加法公式分析可判断；根据条件概率及独立事件的定义可判断；根据条件概率及对立事件可判断. 【详解】对于：是对立事件，则，且， 仅无法保证互斥或穷尽样本空间，故错误； 对于：，而， 所以，解得， 因为，所以，故正确； 对于：, 所以， 无论是否独立，等式恒成立，故正确； 对于：，所以， ，所以， 所以，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，且，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求代数式的值. 【详解】由题意有正态分布曲线的对称轴是，所以， 故答案：. 13. 已知随机变量，若最大，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可. 【详解】由题意知：，要使最大，有， 化简得，解得，故，又， 故. 故答案为：24. 14. 在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，，平面ABCD，，点是四棱锥外接球表面上的一点，则三棱锥的体积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据几何关系确定四棱锥外接球的球心和半径，再求点到平面距离的最大值，最后求三棱锥体积的最大值. 【详解】如图，取的中点，因为四边形为等腰梯形，，， 所以四边形和都是菱形，所以， 所以点是底面等腰梯形外接圆的圆心，半径为 因为平面，且， 所以四棱锥的外接球半径，球心到底面的距离为， 所以点到平面距离的最大值为，， 所以三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，，E为线段PD的中点. （1）证明：直线平面ACE； （2）求直线PC与平面ACE所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于点H，证明，由线线平行即可证明线面平行； （2）先证明平面，建系后，求出相关点和向量的坐标，利用线面角的向量求法计算即得. 【小问1详解】 如图，连接BD交AC于点H，连接HE， 因四边形ABCD是正方形，则H是BD的中点， 又因E为线段PD的中点，可得， 由于平面ACE，平面ACE， 所以直线平面ACE； 【小问2详解】 因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以， 又因为，，且AD、平面， 所以平面， 因为，故可分别以AD，AP，AB为轴的正方向建立空间直角坐标系； 又底面ABCD为边长为1的正方形，， 则，，，，， 则，，， 设平面ACE的一个法向量为， 则， 令，则， 设直线PC与平面ACE所成角为， 则，因， 所以， 即直线PC与平面ACE所成角的余弦值为. 16. 已知是函数的极值点. （1）求满足的等量关系式； （2）若，求在上最值. 【答案】（1），且 （2）， 【解析】 【分析】（1）求导数，由是的极值点，可知，即，令，解得两根，再根据与3的大小关系，讨论两根的关系，进而验证是的极值点是否成立，进一步明确对的限制； （2）当时，得到的解析式，求导数，令，解得两根，再列表，判断在各区间的单调性，计算出极值和端点值，即可求出在上最值. 【小问1详解】 . 因为是的极值点， 所以，即，即， 所以， 令，解得或， ①当时，， 所以在和上单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，符合题意； ②当时，恒成立，所以在上单调递减， 此时无极值，不符合题意； ③当时，， 所以在和上单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极大值，符合题意. 综上，所以，且； 【小问2详解】 因为，所以当时，，， . 令，解得或， 0 1 2 0 0 0 -2 所以，. 17. 教师节来临，学校预在今年的“教职工趣味运动会”中添加一个新的比赛项目.为了解教职工对该项目的兴趣，现从全校教职工中随机抽取100人进行调查，得到如下列联表. 性别 喜欢 不喜欢 总计 男 40 60 女 30 总计 100 （1）请补充完整该列联表，并判断能否在犯错误不超过0.001的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 （2）现按性别从这100名教职工中分层抽样抽取5人参加抽奖活动，奖品共3份.如果是女职工获奖，那么奖品价值200元；如果是男职工获奖，那么奖品价值180元.求奖品总价值的分布列及期望. 【答案】（1）列联表见解析，在犯错误不超过0.001的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算，根据独立性检验即可求解； （2）根据题意男性抽取人数3，女性人数为2人，则的可能取值为，分别求出对应的概率即可求解. 【小问1详解】 由题意有： 性别 喜欢 不喜欢 总计 男 40 20 60 女 10 30 40 总计 50 50 100 零假设为：喜欢此项目与性别无关， 所以， 所以在犯错误不超过0.001的前提条件下，拒绝接受假设，即认为喜欢此项目与性别有关； 【小问2详解】 男性抽取人数人，女性抽取人数为人， 所以的可能取值为， 所以， 所以的分布列为： 540 560 580 所以, 18. 在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. （1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. （2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅰⅰ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据全概率公式，将事件分为“知道诗句答对”和“不知道诗句答对”这两种情况来计算. （ii）运用贝叶斯公式进行计算. （2）先分别计算答对每一题的概率，再根据获得分及以上的得分情况，分析出不同的答题组合，最后利用相互独立事件概率的乘法公式计算出每种组合的概率，将其相加得到挑战成功的概率. 【小问1详解】 （i）已知，则. 在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率. 根据全概率公式，将上述概率值代入可得： . （ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率 根据贝叶斯公式. 由前面计算可知，，，代入可得： . 小问2详解】 设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）. 已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为. 则； ； . 因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况： 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、、题，其概率为. 因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为： . 19. 已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“优函数”. （1）试判断函数是否是上的“优函数”，请说明理由； （2）已知函数，. ①证明：只有一个零点； ②已知是的零点，证明：是上的“优函数”. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，可得的单调性，进而可得，从而可得结论； （2）①求导，分，，三种情况讨论可证得结论；②由①知有唯一零点，分，，三种情况证明即可. 【小问1详解】 ，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以有唯一零点， 当时，， 所以是上的“优函数”； 【小问2详解】 ①， 令，解得或， （i）当时， m 1 0 0 因为，， 所以在无零点， 当时，， 令，解得， 所以，所以在上有一个零点， 所以在上有一个零点， （ii）当时，，所以在单调递减， 又，，所以在上有一个零点， （iii）当时， 1 m 0 0 因为，， 令，，，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以在无零点， 当时，， 令，解得， 所以，所以在上有一个零点， 所以在上有一个零点， 综上：在上只有一个零点； ②由①知有唯一零点， （i）当时，，， ，，令 ， 所以在上单调递减，所以， 所以. （ii）当时，，， ，，， 所以在上单调递减， 所以，所以， （iii）当时，，， ，，， 所以在上单调递减， 所以，所以， 综上，，所以是上的“优函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$