专题2.13 有理数的乘方（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.13 有理数的乘方（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】 【核心要点】（1）识记有理数乘方的定义及相关概念；（2）掌握有理数乘方的符号规律；（3）掌握科学记数法；（4）难点与易错点：底数是负数和分数，底数要加括号；对于有理数乘方的逆运算，不能灵活运用. 【知识点1】有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 【要点提示】 （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 【知识点2】有理数乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 【要点提示】 （1）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． （2）任何数的偶次幂都是非负数． 【知识点3】科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝. 【要点提示】 （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 【题型目录】 【考点一】有理数的乘方 【题型一】有理数幂的概念理解（题型：底数、指数、幂的识识；幂的书写规则）.................2 【题型二】有理数的乘方运算（易错点：乘方中的符号问题与乘方意义的理解）...................3 【题型三】有理数乘方逆运算（易错点：忽视分类讨论）.......................................4 【题型四】乘方运算的符号规律（符号规律问题+探究循环规律问题）............................6 【题型五】乘方的应用（探究我国古代数学问题）.............................................8 【考点二】科学记数法 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数..............................................10 【题型七】将用科学记数法表示的数变回原数................................................11 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考......................................................................12 【题型九】拓展延伸（有理数加减运算中的新定义、规律问题、绝对值几何意义）................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】有理数的乘方 【题型一】有理数幂的概念理解（题型：底数、指数、幂的识识；幂的书写规则） 【例题1】（23-24六年级下·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． （1） （2） （3） 【答案】（1）底数是，指数是3；（2）底数是，指数是4；（3）底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． （1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方，相反数的意义解答即可． 本题考查了乘方，相反数，熟练掌握定义是解题的关键． 解：表示的意义是5个2相乘的相反数， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·云南昭通·期中）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 2 【分析】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘． 根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； 解：的底数是，指数是2， 故答案为：，2． 【题型二】有理数的乘方运算（易错点：乘方中的符号问题与乘方意义的理解） 【例题2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． （1）每组两个算式的结果是否相等？ （2）根据（1）的结果猜想等于什么？ （3）用（2）的结论计算． 【答案】（1）相等；（2）；（3）1 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据运算法则进行计算后，判断即可； （2）利用（1）中规律即可得出结论； （3）利用规律得到，计算即可． 解：（1）解：相等： ， ∴； ，， ∴； （2）由（1）可得： （3） 【变式1】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方，分别计算各选项中两个表达式的值，比较是否相等． 解：A.，，结果不相等，故选项A不符合题意； B.，，结果相等，故选项B符合题意； C.，，结果不相等，故选项C不符合题意； D.，，结果不相等，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 解： ， 故答案为：． 【题型三】有理数乘方逆运算（易错点：忽视分类讨论） 【例题3】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 【题型四】乘方运算的符号规律（符号规律问题+探究循环规律问题） 【例题4】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； （2）请探索出的个位数字． 【答案】（1）3，2；（2）7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 解：（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 【变式1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 【题型五】乘方的应用（探究我国古代数学问题） 【例题5】（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）趣味题 阿凡提给地主打工，地主开价每月200元工钱，阿凡提却说：“不要，不要，你只要第一天付给我1角，第二天付给我2角，第三天付给我4角，第四天付给我8角，以此类推到月底即可"．地主听了暗暗高兴，赶快签下协议，其实阿凡提挣到200元工钱不必做到一个月．设最多只要n天，估算n的值是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，理解题意找到工钱增长的规律是解题的关键． 通过分析每天工钱的增长规律，利用乘方计算总工钱，再估算找到满足条件的天数． 解：∵第一天1角，即角； 第二天2角，即角； 第三天4角，即角； …… 以此类推，第天就是角， ∴做到第天共挣到的钱为， ∴第一天共挣到的钱为； 第二天共挣到的钱为； 第三天共挣到的钱为； 第四天共挣到的钱为； …… 由此可得第天共挣的钱, 又∵， ∴当天的时候，挣到的钱刚过2000角，即元， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． （1）根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． （2）中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】（1）11；（2）采集到的野果数量为个 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 解：（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 【考点二】科学记数法 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例题6】（2025·江苏扬州·二模）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线三个星期后达到了33700000．将33700000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 解：， 故答案为：． 【变式1】（2025·河南郑州·模拟预测）国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 解：67313万． 故选：C． 【变式2】（2025·内蒙古赤峰·三模）年春节上映的《哪吒之魔童闹海》在海内外持续上映，目前票房为亿，数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据科学记数法的表示方法，进行作答，即可求解； 解：亿， 故选：B； 【题型七】将用科学记数法表示的数变回原数 【例题7】（2025·河北邢台·二模）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 【变式1】（2020·山东滨州·二模）截止到月日时，美国新冠病毒确诊感染人数累计约万人，死亡人数累计约为人．下列用科学记数法表示感染人数和用原数表示死亡人数正确的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】①用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同;②表示出科学记数法的原数：直接利用科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数，进而得出答案． 解：万==; ==． 故选：B． 【点拨】此题考查科学记数法的表示方法，以及科学记数法-原数，能正确理解科学记数法的方法是解答此题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【答案】47000 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 解：． 故答案为：47000． 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考 【例题8】（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 【变式1】（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解答本题的关键． 运用有理数加法、乘方、除法逐个判断即可． 解：①，即①错误；②，即②错误；③，即③正确；④，即④正确． 综上，正确的有2个． 故选C． 【变式2】（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案． 解： ， 故选C 【点拨】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键． 【题型九】拓展延伸 【例题9】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 （1）图1中阴影部分的面积是 ，= ． （2）请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） （3）根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】（1），；（2）如图所示（标序号部分）即为所求：（3）①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 解：（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点拨】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 【变式2】（20-21七年级上·甘肃张掖·期末）观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）= 【答案】 【分析】先根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数的乘法运算即可． 解：由已知等式可知：， ， ， 归纳类推得：，其中n为正整数， 则， 因此， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】此题考查的是有理数运算的规律题，根据已知等式探索出运算规律并应用是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.13 有理数的乘方（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】 【核心要点】（1）识记有理数乘方的定义及相关概念；（2）掌握有理数乘方的符号规律；（3）掌握科学记数法；（4）难点与易错点：底数是负数和分数，底数要加括号；对于有理数乘方的逆运算，不能灵活运用. 【知识点1】有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 【要点提示】 （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 【知识点2】有理数乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 【要点提示】 （1）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． （2）任何数的偶次幂都是非负数． 【知识点3】科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝. 【要点提示】 （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 【题型目录】 【考点一】有理数的乘方 【题型一】有理数幂的概念理解（题型：底数、指数、幂的识识；幂的书写规则）.................2 【题型二】有理数的乘方运算（易错点：乘方中的符号问题与乘方意义的理解）...................2 【题型三】有理数乘方逆运算（易错点：忽视分类讨论）.......................................3 【题型四】乘方运算的符号规律（符号规律问题+探究循环规律问题）............................3 【题型五】乘方的应用（探究我国古代数学问题）.............................................4 【考点二】科学记数法 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数...............................................4 【题型七】将用科学记数法表示的数变回原数.................................................5 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考.......................................................................5 【题型九】拓展延伸（有理数加减运算中的新定义、规律问题、绝对值几何意义）.................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】有理数的乘方 【题型一】有理数幂的概念理解（题型：底数、指数、幂的识识；幂的书写规则） 【例题1】（23-24六年级下·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． （1） （2） （3） 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【变式2】（24-25七年级上·云南昭通·期中）的底数是 ，指数是 ． 【题型二】有理数的乘方运算（易错点：乘方中的符号问题与乘方意义的理解） 【例题2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． （1）每组两个算式的结果是否相等？ （2）根据（1）的结果猜想等于什么？ （3）用（2）的结论计算． 【变式1】（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【题型三】有理数乘方逆运算（易错点：忽视分类讨论） 【例题3】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【题型四】乘方运算的符号规律（符号规律问题+探究循环规律问题） 【例题4】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； （2）请探索出的个位数字． 【变式1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【题型五】乘方的应用（探究我国古代数学问题） 【例题5】（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）趣味题 阿凡提给地主打工，地主开价每月200元工钱，阿凡提却说：“不要，不要，你只要第一天付给我1角，第二天付给我2角，第三天付给我4角，第四天付给我8角，以此类推到月底即可"．地主听了暗暗高兴，赶快签下协议，其实阿凡提挣到200元工钱不必做到一个月．设最多只要n天，估算n的值是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． （1）根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． （2）中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【考点二】科学记数法 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例题6】（2025·江苏扬州·二模）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线三个星期后达到了33700000．将33700000用科学记数法表示为 ． 【变式1】（2025·河南郑州·模拟预测）国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·内蒙古赤峰·三模）年春节上映的《哪吒之魔童闹海》在海内外持续上映，目前票房为亿，数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【题型七】将用科学记数法表示的数变回原数 【例题7】（2025·河北邢台·二模）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（2020·山东滨州·二模）截止到月日时，美国新冠病毒确诊感染人数累计约万人，死亡人数累计约为人．下列用科学记数法表示感染人数和用原数表示死亡人数正确的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考 【例题8】（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（2022·湖南娄底·中考真题）若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【题型九】拓展延伸 【例题9】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 （1）图1中阴影部分的面积是 ，= ． （2）请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） （3）根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级上·甘肃张掖·期末）观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）= 1 学科网（北京）股份有限公司 $$