专题2.11 有理数的乘法与除法（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.11 有理数的乘法与除法（知识梳理与题型分类讲解） 一、【目标要点】 （1） 掌握有理数乘除法法则；（2）熟练运用有理数乘法运算律进行简便运算；（3）转化思想的运用； 二、【知识储备与题型展示】 【知识储备1】有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0． 【题型1】两个有理数乘法运算 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换． （1）（2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）根据0乘以任何数都是0，即可求解； （4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；． （1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）的化简结果是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的计算进行计算即可． 解：， 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若规定，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新定义列式计算即可． 解：， ∴， 故答案为：． 【题型2】多个有理数乘法运算 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算等，掌握多个有理数相乘的符号规律为解题的关键． （1）先确定积的负号，然后进行计算即可； （2）先确定积的负号，然后进行约分计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，多个有理数相乘，熟练掌握多个有理数相乘计算法则是解题的关键； 根据多个有理数相乘计算法则即可求解； 解：A、，故该选项错误； B、 故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）绝对值大于2而不大于5的所有负整数的积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得绝对值大于2而不大于5的所有负整数有，，，然后再根据有理数的乘法运算法则计算即可． 本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘法运算，绝对值，熟练掌握有理数的大小比较方法，有理数的乘法运算法则是解题的关键． 解：绝对值大于2而不大于5的所有负整数有，，， 它们是积为：． 故答案为：． 【知识储备2】有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 2. 有理数除法法则：（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【题型3】倒数 【例题3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）若互为相反数，互为倒数，是最小的正整数． （1）直接写出，，的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查相反数，倒数，代数式的计算，理解相关概念，掌握代数式的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数，倒数的定义及计算即可求解； （2）代入求值即可． 解：（1）解：互为相反数，互为倒数，是最小的正整数， ∴，，； （2）解： ． 【变式1】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据绝对值、倒数的定义解答即可． 解：， 的倒数是， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查求代数式的值，解题的关键是根据相反数的意义得，根据倒数的定义得，根据绝对值的意义得，然后分两种情况代入计算即可． 解：∵，互为相反数，，互为倒数，， ∴，，， 当，，时，； 当，，时，； ∴的值为或． 故答案为：或． 【题型4】有理数的除法运算 【例题4】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）4；（2）；（3）0；（4） 【分析】（1）-（4）根据有理数除法运算法则进行计算即可； 本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． 解：（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·北京通州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法、减法、乘法和除法，根据法则计算后即可得到答案． 解：A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项正确，符合题意． 故选：D 【变式2】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 【答案】 3 610 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据任意相邻三个台阶上数的和都相等，得到求出即可； （2）先求出，进而求出相邻三个数的和，根据每三个数一循环，且和等于，进行计算即可． 解：（1）∵任意相邻三个台阶上数的和都相等， ； （2） 每三个数一循环，且和等于 ， ． 故答案为：3，610． 【知识储备3】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【例题5】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． （1）（2）（3）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先确定运算符号并将带分数转化成假分数，再根据有理数的乘除混合运算的法则计算即可；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先确定运算符号并做括号内的运算，再将带分数转化成一个整数和一个分数的和，然后根据乘法分配律计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（）（2）（3）（4）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； 本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【知识储备4】有理数乘除的简便运算 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即： 【题型5】有理数乘除混合运算 【例题6】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算题 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）（2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）先确定运算结果的符号，将带分数转化成假分数，根据有理数的乘除法可以解答本题； （4）根据乘法分配律计算． 解：（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 【答案】；； 【分析】本题考查乘法交换律和结合律、拆分计算法、通过约分简化分数乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据乘法交换律把变成，再按顺序计算；②把改写成，然后根据加法交换律，加法结合律，把变成，再按顺序计算；③根据乘法交换律把变成，再按顺序计算． 解：① ② ③ ． 【变式2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 解：（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 【题型七】有理数乘除运算的实际应用 【例题7】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，得到的数据分别如下（单位：）：． （1）请计算小明家这10天轿车行驶的路程； （2）若该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 【答案】（1）小明家这10天轿车行驶的路程为；（2）元 【分析】本题考查正数与负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）记录数字的和再加上10个20即可得到结果； （2）用（1）的结论乘以3即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元”列式解答即可． 解：（1）解：， 小明家这10天轿车行驶的路程为， 答：小明家这10天轿车行驶的路程为； （2）解：由（1）知，小明家这10天轿车行驶的路程为， 小明家一个月（按30天算）的汽油费用为： （元）， 答：估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用为元． 【变式1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）某地的气象观测资料表明，高度每增加，气温大约下降，该地地面温度为． （1）求距地面高度处的温度； （2）若高空某处气温为，求此处距地面的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际运用，解题的关键是求出温度差； （1）根据高度每增加，气温大约下降，列式计算，即可解题； （2）根据题意得到温度差，再除以，即可解题． 解：（1）解： ； （2）解：， 答：此高空比地面高． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）一只小虫从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为：． （1）通过计算说明小虫是否回到起点； （2）如果小虫爬行的速度为厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间． 【答案】（1）小虫能回到起点；（2）108秒 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，联系实际，学以致用是解决问题的关键． （1）把记录到得所有的数字相加，看结果是否为0即可； （2）记录到得所有的数字的绝对值的和，除以0.5即可． 解：（1）解：∵ ， ∴小虫能回到起点； （2）解： （秒）， 答：小虫共爬行了108秒． 【知识储备5】有理数加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【例题8】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9；（2）0 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先根据有理数减法法则进行变形，然后再运用加法交换律和结合律进行简算即可； （2）原式先计算括号内的，再进行除法运算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）数学里，通常把式子叫做二阶行列式，并规定它的运算法则为，如，那么计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义运算法则计算即可求解，理解新定义运算法则是解题的关键． 解：由题意得，，， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 解：第一组所有数的和为， 第二组所有数的和为， 第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是， 同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是， 故答案为：． 【题型九】有理数加减乘除混合运算的实际应用 【例题9】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）体育课上，七年级男生进行了引体向上测试．以能做7个为标准，多于标准的次数记为正数，其中8名男生的成绩为． （1）这8名男生中达到标准的占百分之几？ （2）他们共做了多少次引体向上？ 【答案】（1）；（2）67次 【分析】本题主要考查了正数和负数、有理数混合运算的应用等知识点，理解“正”和“负”的相对性是解题关键． （1）首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义．根据题意，0和正数表示达到标准，有5个人达标，然后再求出所占的百分比即可解答； （2）根据题意直接列式并用有理数的混合运算法则计算即可． 解：（1）解：（1）根据题意可得：0表示达到标准，“+”表示超过标准． 所以，这8名男生达到标准的人数为5人，则其所占百分比为． （2）解：他们共做引体向上：（次）． 答：他们共做了67次引体向上． 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，得第二根绳上共有个，结合一个结表示5个，故有（个），解答即可． 本题考查了计算方法，正确理解数位的内涵是解题的关键． 解：根据题意，得第二根绳上共有个， 由一个结表示5个， 故有（个）， 故选：C． 【变式2】（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数运算的应用，根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 解：由题意得， （米）， 故答案为：． 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型十】直通中考 【例题10】（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可. 解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 【变式1】（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案. 解：∵， ∴则内的数字是， 故选：A 【变式2】（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键． 解：∵x与y互为相反数，z的倒数是， ∴，， ∴， 故选：D． 【题型十一】拓展延伸 【例题11】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 【变式1】（2025·四川南充·模拟预测）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，两点间的距离，绝对值的意义，有理数的运算法则． 利用数轴上点分别表示数，，，利用两点间距离求出，由，利用有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 解：数轴上点分别表示数，，， ，， ， ，，故选项B、C错误； ， ， ，故选项A错误； ，故选项D正确； 故选：D． 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： （1）若都是有理数，，且，求的值； （2）若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； （3）若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 【答案】（1）的值是10或4；（2）的值为2或；（3）的值可能是或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的性质等知识点， （1）根据,都是有理数，,,且,可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可； （2）根据都是非零的有理数，且满足同号，可知或,然后代入所求式子计算即可； （3）根据都是有理数，且,可知中三正或一正两负，然后代入所求式子计算即可； 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 解：（1）解：都是有理数,,且， 或, 当时，， 当时，； ∴由上可得，的值是10或4； （2）解：都是非零的有理数，且满足同号， ,或,, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值为2或； （3）解：都是有理数，且, 中三正或一正两负，不妨设或, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值可能是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.11 有理数的乘法与除法（知识梳理与题型分类讲解） 一、【目标要点】 （1） 理解有理数乘除法法则；（2）熟练运用有理数乘法运算律；（3）转化思想的运用； 二、【知识储备与题型展示】 【知识储备1】有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0． 【题型1】两个有理数乘法运算 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）的化简结果是（   ） A．2024 B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若规定，则 ． 【题型2】多个有理数乘法运算 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）绝对值大于2而不大于5的所有负整数的积是 ． 【知识储备2】有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 2. 有理数除法法则：（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【题型3】倒数 【例题3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）若互为相反数，互为倒数，是最小的正整数． （1）直接写出，，的值； （2）求的值． 【变式1】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，且，则的值为 ． 【题型4】有理数的除法运算 【例题4】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【变式1】（24-25七年级上·北京通州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 【知识储备3】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【例题5】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【知识储备4】有理数乘除的简便运算 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即： 【题型5】有理数乘除混合运算 【例题6】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算题 （1） （2） （3） （4） 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 【变式2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【题型七】有理数乘除运算的实际应用 【例题7】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，得到的数据分别如下（单位：）：． （1）请计算小明家这10天轿车行驶的路程； （2）若该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 【变式1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）某地的气象观测资料表明，高度每增加，气温大约下降，该地地面温度为． （1）求距地面高度处的温度； （2）若高空某处气温为，求此处距地面的高度． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）一只小虫从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为：． （1）通过计算说明小虫是否回到起点； （2）如果小虫爬行的速度为厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间． 【知识储备5】有理数加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【例题8】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）数学里，通常把式子叫做二阶行列式，并规定它的运算法则为，如，那么计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 【题型九】有理数加减乘除混合运算的实际应用 【例题9】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）体育课上，七年级男生进行了引体向上测试．以能做7个为标准，多于标准的次数记为正数，其中8名男生的成绩为． （1）这8名男生中达到标准的占百分之几？ （2）他们共做了多少次引体向上？ 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型十】直通中考 【例题10】（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【变式1】（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式2】（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 【题型十一】拓展延伸 【例题11】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【变式1】（2025·四川南充·模拟预测）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： （1）若都是有理数，，且，求的值； （2）若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； （3）若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$