专题04有理数的乘法与除法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则（两数相乘符号与绝对值、多个非0数“奇负偶正”、0的特殊性）、倒数概念、乘法运算律，衔接除法法则（转化为乘法、直接计算）及乘除混合运算步骤，搭建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料以13个分层题型（★到★★★★）覆盖实际应用（如折扣、60进制）与传统文化（“铺地锦”算法），通过易错点提示培养运算能力与推理意识，数轴翻折问题强化几何直观，课中助力分层教学，课后帮助学生针对性巩固查漏补缺。

专题04有理数的乘法与除法精讲学案 核心立意 掌握有理数乘、除法法则，理解倒数概念，熟练进行乘除运算；活用乘法运算律简便运算，重点突破符号判定、分配律漏乘等易错点，规范乘除混合运算步骤。 有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数与0相乘，积为0； ③多个不为0的数相乘，负因数个数为奇数则积负，负因数个数为偶数则积正（口诀：奇负偶正）； ④乘数中只要有0，积直接为0。 倒数定义： 乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数；a(a≠0)的倒数是；倒数符号与原数保持一致。 乘法运算律： 乘法交换律ab=ba； 乘法结合律(ab)c=a(bc)； 乘法分配律a(b+c)=ab+ac； 简便技巧优先约分、凑整；使用分配律注意不要漏乘、注意符号。 有理数除法法则： ①转化法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a b=a(b≠0)； ②直接计算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0，0不能作除数。 有理数乘除混合运算： ①先统一转化为乘法； ②先根据负因数个数确定符号； ③再约分计算绝对值；同级运算从左往右，有括号先算括号内。 1. 多个非0有理数相乘，只看负因数个数定符号，正因数不影响符号； 2. 0没有倒数，切勿误认为0的倒数是0；区分相反数（和为0）、倒数（积为1）； 3. 除法没有分配律，不能对除数拆分套用分配律； 4. 乘除属于同级运算，不可随意调换运算顺序； 5. 运用乘法分配律时，容易出现漏乘、符号搞错的问题。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数乘除中的简便运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十三 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一： 两个有理数的乘法运算 解题思路：①判断两数同号或异号；②按“同号得正，异号得负”确定积的符号；③绝对值相乘；注意任意数乘0，积为0。 1．计算的结果是________． 2．若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 3．若，，且，则______ 4．明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型二：多个有理数的乘法运算 解题思路：①先检查因数中是否含0，有0直接得积为0；②无0时，数负因数个数，遵循奇负偶正定符号；③绝对值相乘、约分计算。 5．大于而小于7的所有整数的积是________． 6．四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 7．已知六个整数的积，、、、、、互不相等，则的值是__________． 8．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型三：有理数乘法的实际应用 解题思路：①规定正负基准；②把实际数量转化为有理数；③列乘法算式计算；④结合实际意义解释结果。 9．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花______元． 10．古巴比伦使用的60进制与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示，左手的五根手指表示倍．如左手伸出1根手指，右手掐住第6指关节时，表示的十进制数字是．现有十进制数55用古巴比伦使用的60进制计数方式正确的是（   ） A．左手伸出2根手指，右手掐住第5指关节 B．左手伸出3根手指，右手掐住第9指关节 C．左手伸出3根手指，右手掐住第8指关节 D．左手伸出4根手指，右手掐住第7指关节 11．一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 12．如图，三角形的面积是，圆的面积是（   ）平方米（取） A． B． C． D． 题型四：倒数 解题思路：①乘积为1的两数互为倒数，0没有倒数；②非0数a的倒数是；③倒数和原数符号一致，区分倒数与相反数。 13．倒数：与互为倒数等价于___________________． 14．甲、乙都是正整数，若甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲、乙两个数的大小关系是（     ） A．乙甲 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 15．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 16．已知：，并且a、b、c都不等于0，把a、b、c 三个数按从大到小排列是（    ） A． B． C． D． 题型五：有理数乘法运算律 解题思路：①灵活使用交换律、结合律、分配律；②优先分组约分、凑整；③使用分配律时警惕漏乘、符号出错。 17．计算：________． 18．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 19．______． 20．张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 题型六：有理数的除法运算 解题思路：①优先转化：除以不为0的数等价于乘它的倒数；②也可直接用“同号得正，异号得负，绝对值相除”；牢记0不能作除数。 21．计算：___________． 22．某种药品的说明书上贴有如下的标签，用法用量：口服，每天60～90，分2-3次服，规格：########，贮藏：########，一次服用这种药品的剂量范围是______～______．（    ） A．20～30 B．20～45 C．30～45 D．25～45 23．已知，，，则的值等于____________． 24．若在正方形的四个顶点处依次标上“最”“棒”“五”“中”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“五”“中”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“最”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2025对应的字是（    ） A．五 B．中 C．最 D．棒 题型七：有理数除法的应用 解题思路：①设定正负标准；②读懂题意列出除法算式；③转化为乘法计算；④结合实际场景说明结果含义。 25．升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 26．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）；以2025年为例； 天干为；地支为； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2049年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．己巳年 27．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 28．如题图，1个和4个叠在一起的杯子放在刻度尺的两侧，刻度尺的0刻度线与两叠杯子底面平齐，左右两叠杯子上边缘对应刻度尺上的读数分别是和．若多个杯子叠放一起的总高度是，则杯子的个数为（    ）． A．13 B．14 C．15 D．16 题型八：有理数乘除混合运算 解题思路：①全部统一转化为乘法；②根据负因数个数定符号；③约分计算绝对值；同级运算从左向右，优先处理括号。 29．计算：______． 30．计算：得（     ） A． B． C． D． 31．某种少年读物，如果按照原价格销售，每销售一本获利元，现在降价销售，结果销售量增加一倍，获利增加倍，则每本书售价降价_______元． 32．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型九：有理数乘除中的简便运算 解题思路：①先统一化为乘法；②观察数字特征，利用乘法运算律分组凑整、约分；③简化运算，减少分步计算失误。 33．的值为________． 34．计算： 35．用简便方法计算下列各题 (1) (2) 题型十：有理数四则混合运算 解题思路：①遵循运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；②分步定符号，合理使用运算律简便计算。 36．根据规律，“？”处应填___________． 37．定义一种新运算：，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 38．已知，那么____． 39．有下列四个算式：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①②⑤ B．①②③ C．④⑤ D．③④ 题型十一：有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①审题设定正负；②根据题意列出四则混合算式；③按运算顺序计算；④回归实际问题作答。 40．如图，把正方形分成了四个长方形，长________． 41．下表反映的是某地区的用电量与应缴电费之间的关系： 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 …… 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 …… 下列叙述错误的是（    ） A．应缴电费随用电量的增加而增加； B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元； C．若用电量为8千瓦·时，则应缴电费4.6元 D．若所缴电费为3.3元，则用电量为6千瓦·时 42．甲、乙、丙三种糖售价分别为每千克5元，6元，7元，若将甲种糖，乙种糖，丙种糖混到一起，则售价应定为每千克____元． 43．一家冷饮店规定在本店购买汽水喝完后，每3个空瓶可以换原装汽水1瓶，渌口区五中篮球队共买了瓶汽水喝完后，又用空瓶换汽水喝，喝完又用新产生的空瓶换汽水喝，如此继续，最后没有一点浪费，那么他们一共喝了（  ）瓶汽水． A． B． C． D． 题型十二：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①由数轴位置判断数的正负、绝对值大小；②结合乘除符号法则（奇负偶正）判断代数式正负；③必要时赋值验证。 44．有理数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 45．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 46．有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中： ①； ②； ③； ④； 其中正确的是______（所有正确结论的序号都选上）． 47．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（    ） A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab 题型十三：数轴上的翻折 解题思路：①先确定翻折中心点（中点）；②利用中点公式：中点=；③结合有理数乘除、大小关系求解，注意分类讨论。 48．如图在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和6，点为、之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，当点A落在与点B的距离为3个单位长度时，点C表示的数是________． 49．已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数2024的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 50．如图，一条数轴上有，，三点，其中点表示的数分别是，6，现在以为折点，将数轴向右对折．若点落在数轴上，且落点距离点为2个单位长度，则点表示的数为______． 51．如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 解答题 1．对于有理数a、b、c，定义一种新运算：．例如：．求的值． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 4．新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． (1)李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ (2)王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 5．某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 6．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的乘法与除法精讲学案 核心立意 掌握有理数乘、除法法则，理解倒数概念，熟练进行乘除运算；活用乘法运算律简便运算，重点突破符号判定、分配律漏乘等易错点，规范乘除混合运算步骤。 有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数与0相乘，积为0； ③多个不为0的数相乘，负因数个数为奇数则积负，负因数个数为偶数则积正（口诀：奇负偶正）； ④乘数中只要有0，积直接为0。 倒数定义： 乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数；a(a≠0)的倒数是；倒数符号与原数保持一致。 乘法运算律： 乘法交换律ab=ba； 乘法结合律(ab)c=a(bc)； 乘法分配律a(b+c)=ab+ac； 简便技巧优先约分、凑整；使用分配律注意不要漏乘、注意符号。 有理数除法法则： ①转化法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a b=a(b≠0)； ②直接计算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0，0不能作除数。 有理数乘除混合运算： ①先统一转化为乘法； ②先根据负因数个数确定符号； ③再约分计算绝对值；同级运算从左往右，有括号先算括号内。 1. 多个非0有理数相乘，只看负因数个数定符号，正因数不影响符号； 2. 0没有倒数，切勿误认为0的倒数是0；区分相反数（和为0）、倒数（积为1）； 3. 除法没有分配律，不能对除数拆分套用分配律； 4. 乘除属于同级运算，不可随意调换运算顺序； 5. 运用乘法分配律时，容易出现漏乘、符号搞错的问题。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数乘除中的简便运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十三 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一： 两个有理数的乘法运算 解题思路：①判断两数同号或异号；②按“同号得正，异号得负”确定积的符号；③绝对值相乘；注意任意数乘0，积为0。 1．计算的结果是________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则，异号两数相乘，积为负，再计算两个绝对值的乘积即可． 【详解】解：． 2．若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘积为正判断两个因数同号，再结合选项特征筛选，最后计算验证即可得到答案. 【详解】解：∵ 有理数乘法中，乘积为正数时，两个因数同号，已知其中一个因数是负数， ∴ 方框内的数一定是负数， 观察选项，只有A选项是负数， 验证计算得：，符合题意. 3．若，，且，则______ 【答案】或3 【分析】本题考查了化简绝对值，以及有理数的运算． 先由，得到，又因为，所以a和b异号，从而计算的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴a和b异号． 当时，，则； 当时，，则； 故的值为或3． 故答案为：或3． 4．明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了“铺地锦”乘法计算方法的理解与应用，解题的关键是根据斜行相加的进位规则，结合乘积2176的各位数字，通过代入选项验证确定和的可能值． 根据“铺地锦”规则，结果2176的十位数字为，结合图中格子数字和的位置关系，可得的个位数字为，即（舍去，选项无此答案）或结合进位分析，十位斜行相加为；同时千位和百位的数字组合需满足21的结果，结合选项中的取值，代入验证的合理性． 【详解】解：由“铺地锦”计算规则，结果2176的十位数字为，对应图中十位斜行相加的结果个位为，即的个位为（或含进位情况）． 逐一分析选项： A、，，，此选项不符合题意； B、，，，此选项不符合题意； C、，，结合进位规则，（十位斜行），符合2176的数字特征，此选项符合题意； D、，，，此选项不符合题意． 故选：C． 题型二：多个有理数的乘法运算 解题思路：①先检查因数中是否含0，有0直接得积为0；②无0时，数负因数个数，遵循奇负偶正定符号；③绝对值相乘、约分计算。 5．大于而小于7的所有整数的积是________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算．注意到，在这个范围内有整数0，故它们的积为0． 【详解】解：大于而小于的所有整数为，，，，，，，，，，， ． 6．四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 7．已知六个整数的积，、、、、、互不相等，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据六个整数的积，可得，确定六个数后计算和即可． 【详解】解：∵六个整数的积，、、、、、互不相等， ∴， ∴符合条件的六个整数为， ∴． 8．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 题型三：有理数乘法的实际应用 解题思路：①规定正负基准；②把实际数量转化为有理数；③列乘法算式计算；④结合实际意义解释结果。 9．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花______元． 【答案】144 【分析】根据折扣的含义，先算出全场八折后的价格，再在此基础上算出持会员卡打六折后的最终价格，通过乘法运算即可得到结果． 【详解】解：（元） 答：小明持会员卡购买这个电动汽车需要花144元． 10．古巴比伦使用的60进制与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示，左手的五根手指表示倍．如左手伸出1根手指，右手掐住第6指关节时，表示的十进制数字是．现有十进制数55用古巴比伦使用的60进制计数方式正确的是（   ） A．左手伸出2根手指，右手掐住第5指关节 B．左手伸出3根手指，右手掐住第9指关节 C．左手伸出3根手指，右手掐住第8指关节 D．左手伸出4根手指，右手掐住第7指关节 【答案】D 【分析】该题主要考查了有理数的四则混合计算，根据题意用左手的手指数乘以12加上右手的关节数字即求解判断即可． 【详解】解：A、表示的十进制数为，故不符合题意； B、表示的十进制数为，故不符合题意； C、表示的十进制数为，故不符合题意； D、表示的十进制数为，故符合题意； 故选：D． 11．一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 【答案】222.2 【分析】本题需要分类讨论两种购买方案，分别计算总价后比较大小，得到最少花费． 【详解】分两种情况计算： 方案1：直接购买本，不享受优惠，总价为：元； 方案2：购买本，满足优惠条件，可享受优惠单价，总价为：元； 比较大小得， 因此最少需要元． 12．如图，三角形的面积是，圆的面积是（   ）平方米（取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据题意，三角形的面积为，圆的面积为：，代入解答即可． 本题考查了三角形的面积，圆的面积，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为x，根据题意，三角形的面积为， 圆的面积为：， 故． 故选：D． 题型四：倒数 解题思路：①乘积为1的两数互为倒数，0没有倒数；②非0数a的倒数是；③倒数和原数符号一致，区分倒数与相反数。 13．倒数：与互为倒数等价于___________________． 【答案】 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 因此与互为倒数等价于． 14．甲、乙都是正整数，若甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲、乙两个数的大小关系是（     ） A．乙甲 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：甲、乙都是正整数，如果甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲数小于乙数，即乙数大于甲数． 15．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查倒数． 根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得． 【详解】解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．已知：，并且a、b、c都不等于0，把a、b、c 三个数按从大到小排列是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分数的大小比较、倒数，假设，则，，，通分比较出，再利用绝对值比较a、b、c 三个数的大小即可． 【详解】解：假设， 则，，， 所以，，， 因为，，． 所以，即， 所以， 所以， 故选：A． 题型五：有理数乘法运算律 解题思路：①灵活使用交换律、结合律、分配律；②优先分组约分、凑整；③使用分配律时警惕漏乘、符号出错。 17．计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 18．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐个进行计算，即可解答． 【详解】解：A、，故A计算正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C计算正确，不符合题意； D、，故D计算错误，符合题意； 故选：D． 19．______． 【答案】 【分析】令，，则，将所求式子进行变形，计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则， ∴ ． 20．张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法运算律（结合律、分配律）的灵活应用，熟练掌握运算律对算式进行等价变形是解题的关键． 将原式通过运算律（乘法结合律、分配律）变形，避开数字“9”，逐一验证选项是否与原式等价． 【详解】解：原式：， 选项A：， ； 选项B：， ； 选项C：， ； 选项D：，， ； 故选：B． 题型六：有理数的除法运算 解题思路：①优先转化：除以不为0的数等价于乘它的倒数；②也可直接用“同号得正，异号得负，绝对值相除”；牢记0不能作除数。 21．计算：___________． 【答案】 【分析】先将带分数化为假分数，再根据分数除法法则计算，约分后得到结果． 【详解】解：原式 22．某种药品的说明书上贴有如下的标签，用法用量：口服，每天60～90，分2-3次服，规格：########，贮藏：########，一次服用这种药品的剂量范围是______～______．（    ） A．20～30 B．20～45 C．30～45 D．25～45 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法，解题的关键是求出一次服用这种药品的剂量的最小值和最大值．根据每日服用剂量范围，分别计算分2次、3次服用时单次剂量的范围，再合并两个范围得到最终单次剂量范围． 【详解】设一次服用剂量为 ∵每日分2次服用时， ∴解得 ∵每日分3次服用时， ∴解得 ∴一次服用这种药品的剂量范围是20~45， 故选：B． 23．已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 24．若在正方形的四个顶点处依次标上“最”“棒”“五”“中”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“五”“中”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“最”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2025对应的字是（    ） A．五 B．中 C．最 D．棒 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的规律探究问题，找出“最”“棒”“五”“中”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知：“五”字是数字除以4余2的，“中”字是数字除以4余3的，“最”字是数字能被4整除的，“棒”字是数字除以4余1的， ∵； ∴数2025对应的字是“棒”， 故选：D． 题型七：有理数除法的应用 解题思路：①设定正负标准；②读懂题意列出除法算式；③转化为乘法计算；④结合实际场景说明结果含义。 25．升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法，根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】解：. 故答案为 ： 26．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）；以2025年为例； 天干为；地支为； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2049年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．己巳年 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用． 根据题目给出的天干、地支计算方法，列出算式计算后对照表格判断即可． 【详解】解：计算天干：，对照天干表，第6位为己， 计算地支：，对照地支表，第6位为巳， ∴2049年应为己巳年． 故选：D． 27．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【答案】104 【分析】全程比赛分两阶段计算，第一阶段小组循环赛按单循环场次计算，第二阶段淘汰赛按淘汰球队数加额外三四名决赛场次算，最后求和． 【详解】解：第一阶段：总共48支球队，每4支一组， 组数为：（组）， 每组单循环比赛的场次：（场）， ∴第一阶段比赛的总场次为：（场）． 第二阶段：∵晋级球队32支，采用单场淘汰赛决出冠军， ∴决出冠军需要淘汰的球队数量为：（支）， ∴淘汰赛场次为31场， 又∵半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛， ∴第二阶段比赛的总场次为：（场）． 全程总场次为：（场）． 28．如题图，1个和4个叠在一起的杯子放在刻度尺的两侧，刻度尺的0刻度线与两叠杯子底面平齐，左右两叠杯子上边缘对应刻度尺上的读数分别是和．若多个杯子叠放一起的总高度是，则杯子的个数为（    ）． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：多一个杯子增加的高度为， ∴（个）， （个）， 故选：A． 题型八：有理数乘除混合运算 解题思路：①全部统一转化为乘法；②根据负因数个数定符号；③约分计算绝对值；同级运算从左向右，优先处理括号。 29．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将除法化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 30．计算：得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可； 【详解】解：原式， ． 31．某种少年读物，如果按照原价格销售，每销售一本获利元，现在降价销售，结果销售量增加一倍，获利增加倍，则每本书售价降价_______元． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除法的应用，先根据题意得出现在每本读物获利的金额，进而算出每本书售价降价的金额，即可解题． 【详解】解：假设原销售量为本，则降价后销售量为本， 则根据题意可得现在每本书获利（元）， 每本书售价降价（元）； 故答案为：． 32．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 题型九：有理数乘除中的简便运算 解题思路：①先统一化为乘法；②观察数字特征，利用乘法运算律分组凑整、约分；③简化运算，减少分步计算失误。 33．的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 34．计算： 【答案】 【详解】解：原式 35．用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十：有理数四则混合运算 解题思路：①遵循运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；②分步定符号，合理使用运算律简便计算。 36．根据规律，“？”处应填___________． 【答案】 【分析】观察前三个方框里的四个数字，发现第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数，据此解答． 【详解】解：方框1： 方框2： 方框3： 规律：第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数． “？”处应填． 37．定义一种新运算：，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 38．已知，那么____． 【答案】 【分析】结合式子特征，，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵，且 ∴． 39．有下列四个算式：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①②⑤ B．①②③ C．④⑤ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算法则． 根据有理数的运算法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：①，①错误； ②，②错误； ③，③错误； ④，④正确； ⑤，⑤正确； 正确的算式是④和⑤， 故选：C． 题型十一：有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①审题设定正负；②根据题意列出四则混合算式；③按运算顺序计算；④回归实际问题作答。 40．如图，把正方形分成了四个长方形，长________． 【答案】厘米/厘米 【分析】先求出正方形的边长，进而分别求出10平方厘米的长方形和40平方厘米的长方形的长，再作差即可． 【详解】解：正方形的面积为（平方厘米）， 则正方形的边长是10厘米， 10平方厘米和20平方厘米的两个长方形组成了一个长为10厘米的大长方形， 则宽为（厘米）， 那么10平方厘米的长方形的宽是3厘米，则长是厘米． 同理40平方厘米和30平方厘米的两个长方形组成了一个长为10厘米的大长方形， 则宽为（厘米）． 那么40平方厘米的长方形的宽是7厘米，则长是厘米． 所以的长就是40平方厘米的长方形的长平方厘米的长方形的长． 即（厘米）． 41．下表反映的是某地区的用电量与应缴电费之间的关系： 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 …… 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 …… 下列叙述错误的是（    ） A．应缴电费随用电量的增加而增加； B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元； C．若用电量为8千瓦·时，则应缴电费4.6元 D．若所缴电费为3.3元，则用电量为6千瓦·时 【答案】C 【分析】本题先通过表格数据得出用电量与应缴电费的变化规律，即每1千瓦时电费为0.55元，再逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵由表格数据可得：，，， ∴可得每1千瓦时电费为0.55元，用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元， 对选项逐一判断： A、应缴电费随用电量的增加而增加，该选项正确，不符合题干要求； B、用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，该选项正确，不符合题干要求； C、若用电量为8千瓦·时，应缴电费为元元，该选项错误，符合题干要求； D、若所缴电费为3.3元，用电量为 千瓦·时，该选项正确，不符合题干要求． 故本题选C． 42．甲、乙、丙三种糖售价分别为每千克5元，6元，7元，若将甲种糖，乙种糖，丙种糖混到一起，则售价应定为每千克____元． 【答案】5.85 【详解】解：混合糖果的总售价为（元） 混合糖果的总质量为（千克） 因此混合后每千克售价为（元）． 43．一家冷饮店规定在本店购买汽水喝完后，每3个空瓶可以换原装汽水1瓶，渌口区五中篮球队共买了瓶汽水喝完后，又用空瓶换汽水喝，喝完又用新产生的空瓶换汽水喝，如此继续，最后没有一点浪费，那么他们一共喝了（  ）瓶汽水． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，理解并掌握题干“3个空瓶换1瓶汽水”的规则，然后即可求解； 本题可逐步计算每次用空瓶换得的汽水数量，再将所有喝到的汽水数量相加，核心是利用“3个空瓶换1瓶汽水”的规则，逐步兑换直到无法再换为止，然后即可求解； 【详解】解：∵ 初始购买瓶汽水，喝完后有个空瓶， 又∵ 每3个空瓶换1瓶汽水， ∴ 个空瓶可换汽水：（瓶），此时共喝了（瓶），喝完7瓶后有7个空瓶， ∴ 7个空瓶可换汽水：（瓶）（个）空瓶，此时共喝了（瓶），喝完2瓶后有（个）空瓶， ∴ 3个空瓶可换汽水：（瓶），此时共喝了（瓶），喝完1瓶后剩1个空瓶，无法再兑换， ∴ 一共喝了31瓶汽水； 故选：D； 题型十二：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①由数轴位置判断数的正负、绝对值大小；②结合乘除符号法则（奇负偶正）判断代数式正负；③必要时赋值验证。 44．有理数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，有理数的运算， 先根据数轴可知，且，再分别判断各式的值即可． 【详解】解：根据数轴可知，且， 则，，， 所以正确的有①③． 故答案为：①③． 45．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出之间的关系． 【详解】解：由数轴可得，，且， ∴，． 46．有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中： ①； ②； ③； ④； 其中正确的是______（所有正确结论的序号都选上）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，化简绝对值，有理数的乘法运算，有理数的减法运算，有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则和绝对值的性质． 观察数轴可知：，，再根据有理数的加减乘除法则和绝对值的性质，对各种说法进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，， ， ∴， 则， 则，，， ①③④正确，②错误， 故答案为：①③④． 47．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（    ） A．abc＜0 B．b＋c＜0 C．a＋c＞0 D．ac＞ab 【答案】B 【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负． 【详解】解：∵， ∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边， ∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数， ，但是的符号不能确定，故A错误； 若b和c都是负数，则，若b是负数，c是正数，且，则，故B正确； 若a和c都是负数，则，若a是正数，c是负数，且，则，故C错误； 若b是负数，c是正数，则，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的正负． 题型十三：数轴上的翻折 解题思路：①先确定翻折中心点（中点）；②利用中点公式：中点=；③结合有理数乘除、大小关系求解，注意分类讨论。 48．如图在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和6，点为、之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，当点A落在与点B的距离为3个单位长度时，点C表示的数是________． 【答案】或0 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，数轴上的翻折；设点C表示的数为x，根据题意列式或计算即可， 【详解】解：设点C表示的数为x， 点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴， ∵对折后点A的对应点与点B的距离为3， ∴解得， 或解得． 故答案为：或0． 49．已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数2024的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的折叠问题，找出对折的中心是解题的关键．根据折叠的性质，先找出中心，再根据对称关系，可以确定与表示数2024的点重合的点． 【详解】解：折叠纸面，数轴上表示数的点与表示数0的点重合， 折叠的中心是， ∵数轴上表示数2024的点与A点重合， ∴点A所表示的数为： ． 故选：D． 50．如图，一条数轴上有，，三点，其中点表示的数分别是，6，现在以为折点，将数轴向右对折．若点落在数轴上，且落点距离点为2个单位长度，则点表示的数为______． 【答案】0或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴上的折叠问题，熟练掌握折叠的性质（对应点到折点的距离相等）和数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 先确定点A的落点可能的位置，再根据折叠的性质（折叠后点C到点A的距离等于点C到其落点的距离），设点C表示的数为x，列方程求解． 【详解】解：设点表示的数为，点的落点为． 当在点右侧，距离点为个单位长度时，表示的数为． 折叠后， 解得， 当在点左侧，距离点为个单位长度时，表示的数为． 折叠后 解得， 故答案为：0或． 51．如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 解答题 1．对于有理数a、b、c，定义一种新运算：．例如：．求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了新定义运算与有理数的混合运算，熟练掌握新运算的规则并准确进行有理数的加减运算是解题的关键．先根据新运算的定义，分别计算两个三角形对应的运算结果，再将结果相乘． 【详解】 解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （4）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 3．【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【答案】（1）解法二； （2） 【分析】（1）除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘法分配律计算是正确的； （2）先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果． 【详解】（1）解：解法一中将拆分为的做法不符合运算法则，除法不满足分配律，是错误的； 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则，是正确的． 正确的解法是解法二． （2）解：原式的倒数为， ． 原式． 4．新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． (1)李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ (2)王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)24吨 【分析】（1）根据题意及有理数的乘法计算即可； （2）先计算第一阶梯满额水费，然后再计算第二阶梯满额累计水费，进行比较求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴全部按第一阶梯单价收费：（元） 答：李叔叔家上月应交水费元． （2）解：第一阶梯满额水费：（元） 再计算第二阶梯满额累计水费（即用水25吨时的费用）： （元） ∵， ∴王阿姨家用水量超过15吨但不超过25吨，处于第二阶梯． 第二阶梯部分的水费：（元） 第二阶梯部分的用水量：（吨） 总用水量：（吨） 答：王阿姨家上月用水24吨． 5．某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 【答案】(1)最高分是分，最低分是分 (2)数学成绩低于80分的占的百分比是 (3)总分是分，平均分是分 【分析】（1）利用80加上记录数字中的最大数可得最高分；利用80加上记录数字中的最小数可得最低分； （2）利用负数的个数除以抽查的学生总人数即可； （3）将记录数字相加，再计算10名同学的基准总分数可得总分，再除以人数可得平均分． 【详解】（1）解：由题意得：最高分是（分）， 最低分是（分）， 答：这10名同学的数学成绩中最高分是分，最低分是分． （2）解：在记录的结果中，负数共有5个， ∴10名同学中，数学成绩低于80分的人数为5人， ∴， 答：数学成绩低于80分的占的百分比是． （3）解：总分是 （分）， 平均分是（分）， 答：10名同学数学成绩的总分是分，平均分是分． 6．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)① ②， (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．解决本题的关键是根据数轴上两点表示的数表示出两点之间的距离． (1)根据表示的点与表示的点重合，可知对称点表示的数为，与表示的点关于原点对称的点表示的数是； (2)①根据两个对称点表示的数分别是和，可以求出对称点表示的数是，根据关于对称点对称的两个点到对称点的距离相等，求出表示的点关于对称的点表示的数； ②因为，两点之间的距离为，所以，两点到对称点的距离都是，因为点在对称点的左侧，可知点表示的数是，因为点在对称点的右侧，可知点表示的数是； (2)根据数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，再根据两个对称的点到对称点的距离相等求出的对称点表示的数． 【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 折叠的时候折痕过数轴的原点， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 到对称点的距离是， 与表示的点重合的点表示的数是； 故答案为：； ②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合， ，两点到对称点的距离为， 又对称点所表示的数是， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，， 对称点为， 当在对称点右侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 当在对称点左侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 综上所述，与数表示的点重合的点为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $