专题2.9 有理数的加法与减法（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.9 有理数的加法与减法（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】 【核心要点】（1）理解有理数加减法法则；（2）熟练运用有理数加法运算律；（3）转化思想的运用；（4）难点与易错点：符号变化问题；不熟悉运用加法运算律简便运算，不能举一反三. 【知识点1】有理数加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 3.解题步骤： （1）观察：是同号还是异号；特别注意如果异号，还要看是不是互为相反数； （2）定符号：同号取相同符号；异号取绝对值大的符号； （3）运算：转化为小学加减法运算． 简记：一看、二定、三算 【知识点2】有理数减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 3.解题步骤： （1）观察：减去一个数是正数不是负数，即是还是； （2）转化：若是则转化为；若是则转化为； （3）运算：运用小学学习加法法则得出结果． 简记：一看、二转、三算. 【要点理解】运算法则涵义：（1）利用转化思想把减法运算转化为加法运算；（2）转化为加法运算时，符号变化是解题的关键，也是初学学生易错的地方.关键掌握“减号”变“加号”，减数符号取相反符号，两步必须同步操作. 【知识点3】有理数加法运算律 1.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 （a+b）+c＝a+（b+c） 2.运用运算律解题步骤： （1）观察：题中是否有同号、凑整、同分母、相反数、带分数等等； （2）结合：把有同号、凑整、同分母、相反数、带分数组合在一起，注意符号要跟上； （3）运算：运算有理数加法法则计算． 简记：一看、二合、三算. 【题型目录】 【考点一】有理数的加法 【题型一】有理数加法运算（解题基本步骤：一看、二定、三算）...............................2 【题型二】有理数加法运算中的符号问题（四类题型：绝对值确定加数符号；判断文字叙述是否正确；数轴位置确定符号；改写成省略加号和的形式）.................................................4 【题型三】有理数加法运算律（解题基本步骤一看、二合、三算）...............................6 【考点二】有理数的减法 【题型四】有理数的减法运算（解题基本步骤：一看、二转、三算）.............................8 【考点三】有理数的加减运算 【题型五】有理数加减混合运算（解题基本步骤：1.减法转化为加法; 2看; 3.定;4.算）..........9 【题型六】有理数加减中的简便运算（解题基本步骤1.简化符号；2.看；3.合;4.算）..............11 【题型七】有理数加减运算的实际应用......................................................14 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考......................................................................16 【题型九】拓展延伸（有理数加减运算中的新定义、规律问题、绝对值几何意义）................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】有理数的加法 【题型一】有理数加法运算（解题基本步骤：一看、二定、三运算） 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0. 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，在题型设计上包括了有理数加法运算法则的四类题型． （1）根据“0加任何数仍得这个数”；（2）根据“同号两数相加取相同的符号”；（3）根据异号两数相加取绝对值大的符号；（4）根据“互为相反数两数相加和为0”．进行运算，注意三步走：一看；二定；三算步骤进行. 解：（1）解：． （2） ． （3） ． （4） ． 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下列计算中，正确的有（    ） （1） （2） （3） （4）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数的加法运算即可判断，掌握有理数的加法法则是解题的关键．基本运算方法是：一看；二定；三算步骤进行. 解：（1），故不符合题意； （2），故不符合题意； （3），故不符合题意； （4），计算正确，故符合题意； ∴计算正确的有个， 故选：B． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）0；（4） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，4小题包括了有理数四种题型，基本解题办法是：一看，二定，三算步骤进行，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 解：（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型二】有理数加法运算中的符号问题（四类题型：绝对值确定加数符号；判断文字叙述是否正确；数轴位置确定符号；改写成省略加号和的形式） 【例题2】（20-21七年级上·天津·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【答案】或 【分析】根据、的绝对值求出、的值，然后利用，求出、的值，计算出即可． 解：，， ，， ， ，，或，， 或． 【点拨】题目考查了有理数的加法和绝对值的性质，在计算过程中，不要出现漏解现象，题目整体难易程度适中，适合课后训练． 【变式1】（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0（填或）    【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，则，再根据有理数加法计算法则求解即可． 解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：①，②． 【点拨】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，正确根据题意得到以及a、b、c的符号是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 解：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型三】有理数加法运算律（解题基本步骤：一看、二合、三算） 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）10；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用符号相同与凑整原则并用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用凑整与互为相反数和为0原则并用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用同分母凑整与互为相反数和为0原则加法交换律和结合律运算即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）在括号里填上合适的运算律． （ ） （ ） ． 【答案】 加法交换律 加法结合律 【分析】此题考查有理数的加法．加法交换律：在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变；先把前两个数相加，或者把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律． 解： （加法交换律） （加法结合律） ． 故答案为：加法交换律；加法结合律． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数加法运算； （1）利用符号相同同时凑整原则结合加法交换律和加法结合律，即可求解； （2）利用符号相同同时凑整原则利用结合交换律和加法结合律，即可求解； 掌握有理数运算律及加法法则是解题的关键. 解：（1）解：原式； ； （2）解：原式． . 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 解：原式 ． 【点拨】拆项法的关键是符号要跟上. 【考点二】有理数的减法 【题型四】有理数的减法运算（解题基本步骤：一看、二转、三算） 【例题4】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）67；（2） 【分析】本题考查了有理数的减法运算． （1）先去掉括号，根据有理数的加减运算法则从左到右进行计算； （2）先算中括号里面的减法，再算括号外面的减法． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 解：（1）解： ； （2） 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（） A． B． C．或 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义和有理数的减法，根据绝对值的意义先确定的值，再代入求值，根据绝对值的意义确定的值是解决本题的关键． 解：∵，， ∴，， ∴当，或，时，满足， 当，时，， 当，时，， ∴的值是或， 故选：D． 【考点三】有理数加减运算 【题型五】有理数加减混合运算（解题基本步骤：1.减法转化为加法; 2看; 3.定;4.算） 【例题5】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了化简绝对值、有理数加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先将减法转化为加法，然后根据加法运算法则求解即可； （2）首先化简绝对值，并将减法转化为加法，然后根据加法运算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）0；（2）8；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）利用加法交换律和结合律求解即可； （4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可； 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则进行解题即可； （2）根据有理数的加法法则进行解题即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型六】有理数加减中的简便运算（解题基本步骤1.简化符号；2.看；3.合;4.算） 【例题6】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶ （1）-（3）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行一看二合三算即可计算； 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律及简便运算等知识，掌握运算法则是解题的关键；利用一看二合三算即可. （1）第一、四项相加，第二、三项相加，最后再相加即可； （2）正数与负数分别相加，即可求解； （3）同分母的分数分别相加即可求解； （4）两个小数、两个分数分别相加即可，最后再相加； （5）互为相反数的两个数、同分母两个数及两个小数分别结合相加，最后再相加即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算: 【答案】1011 【分析】本题考查了数的规律，整式的加减法的速算与巧算，根据分组的方法计算是解答本题的关键． 根据观察，式子中一共有个加数，每两个加数为一组，和是3，这些数分成组，再算出结果即可．其中观察规律是关键 解： 【题型七】有理数加减运算的实际应用 【例题7】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． （1）小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ （2）小虫离开出发点O最远时多少厘米？ （3）在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】（1）小虫最后是回到了出发点O；（2）12厘米；（3）54粒 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 解：（1）解： ， ∴小虫最后是回到了出发点O； （2）解：① 厘米， ② 厘米， ③ 厘米， ④ 厘米， ⑤ 厘米， ⑥ 厘米， ⑦ 厘米， ∴小虫离开出发点O最远时12厘米． （3）解：（厘米） （粒） 答：小虫一共得到54粒芝麻． 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法是解题的关键． 设小圈上的数为和，大圈上的数为，根据，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出两个圈的和是2，横，竖的和也是2，由此进行分析即可． 解：设小圈上的数为和，大圈上的数为， ∵，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横，竖的和也是2， ， 得， ， ∴和为和和为和6；或和为和和为和4， 或6或或4， 或或或， ∴不可能为3， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【问题解决】 一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？ 解：画图分析如下： 将所有同学分成A，B，C，D四部分，答对第一题的有32人，即；答对第二题的有27人，即；两题都答对的有20人，即，因此，所以. 因此，两题都答错的有6人． 【类比迁移】 一次测试共有三道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有30人，答对第三题的有28人，答对第一和第二题的有24人，答对第二和第三题的有23人，答对第一和第三题的有22人，三道题都答对的有20人，那么三道题都答错的有 人． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列出算式是解题的关键． 根据题意列出算式，正确计算即可得到答案． 解：根据题意得， ， ， ∴三道题都答错的有人， 故答案为： ． 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考 【例题8】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 【变式1】（2025·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 解：， 故答案为：． 【变式2】（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 解：； 故选B． 【题型九】拓展延伸（有理数加减运算中的新定义、规律问题、绝对值几何意义） 【例题9】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可． 解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为， 的最小值是， 故选：． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算． 【答案】1011 【分析】首先根据规律可得是这一组数中的第个数，把这一组数两两分组可得组，每组数的和都是，所以可得原式，经过计算即可求出结果． 解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 【变式2】（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算． 根据表示不超过的最大整数求解，列式计算． 解：由题意得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 有理数的加法与减法（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】 【核心要点】（1）理解有理数加减法法则；（2）熟练运用有理数加法运算律；（3）转化思想的运用；（4）难点与易错点：符号变化问题；不熟悉运用加法运算律简便运算，不能举一反三. 【知识点1】有理数加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 3.解题步骤： （1）观察：是同号还是异号；特别注意如果异号，还要看是不是互为相反数； （2）定符号：同号取相同符号；异号取绝对值大的符号； （3）运算：转化为小学加减法运算． 简记：一看、二定、三算 【知识点2】有理数减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 3.解题步骤： （1）观察：减去一个数是正数不是负数，即是还是； （2）转化：若是则转化为；若是则转化为； （3）运算：运用小学学习加法法则得出结果． 简记：一看、二转、三算. 【要点理解】运算法则涵义：（1）利用转化思想把减法运算转化为加法运算；（2）转化为加法运算时，符号变化是解题的关键，也是初学学生易错的地方.关键掌握“减号”变“加号”，减数符号取相反符号，两步必须同步操作. 【知识点3】有理数加法运算律 1.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 （a+b）+c＝a+（b+c） 2.运用运算律解题步骤： （1）观察：题中是否有同号、凑整、同分母、相反数、带分数等等； （2）结合：把有同号、凑整、同分母、相反数、带分数组合在一起，注意符号要跟上； （3）运算：运算有理数加法法则计算． 简记：一看、二合、三算. 【题型目录】 【考点一】有理数的加法 【题型一】有理数加法运算（解题基本步骤：一看、二定、三算）...............................2 【题型二】有理数加法运算中的符号问题（四类题型：绝对值确定加数符号；判断文字叙述是否正确；数轴位置确定符号；改写成省略加号和的形式）.................................................3 【题型三】有理数加法运算律（解题基本步骤一看、二合、三算）...............................3 【考点二】有理数的减法 【题型四】有理数的减法运算（解题基本步骤：一看、二转、三算）.............................4 【考点三】有理数的加减运算 【题型五】有理数加减混合运算（解题基本步骤：1.减法转化为加法; 2看; 3.定;4.算）..........4 【题型六】有理数加减中的简便运算（解题基本步骤1.简化符号；2.看；3.合;4.算）...............5 【题型七】有理数加减运算的实际应用.......................................................5 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考.......................................................................6 【题型九】拓展延伸（有理数加减运算中的新定义、规律问题、绝对值几何意义）.................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】有理数的加法 【题型一】有理数加法运算（解题基本步骤：一看、二定、三运算） 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1）； （2）； （3） 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下列计算中，正确的有（    ） （1） （2） （3） （4）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型二】有理数加法运算中的符号问题（四类题型：绝对值确定加数符号；判断文字叙述是否正确；数轴位置确定符号；改写成省略加号和的形式） 【例题2】（20-21七年级上·天津·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【变式1】（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0（填或）    【变式2】（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【题型三】有理数加法运算律（解题基本步骤：一看、二合、三算） 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）在括号里填上合适的运算律． （ ） （ ） ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【考点二】有理数的减法 【题型四】有理数的减法运算（解题基本步骤：一看、二转、三算） 【例题4】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算． （1）； （2）． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（） A． B． C．或 D．1或3 【考点三】有理数加减运算 【题型五】有理数加减混合运算（解题基本步骤：1.减法转化为加法; 2看; 3.定;4.算） 【例题5】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． （1） （2） （3） （4） 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【题型六】有理数加减中的简便运算（解题基本步骤1.简化符号；2.看；3.合;4.算） 【例题6】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算: 【题型七】有理数加减运算的实际应用 【例题7】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． （1）小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ （2）小虫离开出发点O最远时多少厘米？ （3）在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 【变式2】（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【问题解决】 一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？ 解：画图分析如下： 将所有同学分成A，B，C，D四部分，答对第一题的有32人，即；答对第二题的有27人，即；两题都答对的有20人，即，因此，所以. 因此，两题都答错的有6人． 【类比迁移】 一次测试共有三道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有30人，答对第三题的有28人，答对第一和第二题的有24人，答对第二和第三题的有23人，答对第一和第三题的有22人，三道题都答对的有20人，那么三道题都答错的有 人． 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考 【例题8】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【变式1】（2025·安徽·中考真题）计算： ． 【变式2】（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 【题型九】拓展延伸（有理数加减运算中的新定义、规律问题、绝对值几何意义） 【例题9】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算． 【变式2】（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$